Вектори та їхні властивості

Серед множини базисів можна виділити базиси, у яких базисні вектори перпендикулярні один одному і мають одиничну довжину. Наприклад, у двомірному випадку це базис

, де і ;

а в тривимірному випадку це базис

, де і , і .

Системи координат, базис яких є декартовим, називаються прямокутними, або ортогональними та мають власну назву: декартові системи координат. Довжина базисних векторів у таких системах координат дорівнює одиниці, тому ці вектори є ортами. З цієї причини таки системи мають ще одну назву - ортонормовані системи координат.

Декартові системи координат найчастіше застосовуються при розв'язку математичних і фізичних задач, і тому координати в такій системі мають власні позначення - і найменування - абсциса, ордината й апліката, відповідно.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.2. Декартова система координат на площині

До головної переваги застосування декартових систем координат відноситься простота формули для обчислення відстані між двома точками (або довжини вектора) за допомогою теореми Піфагора. Для прикладу розглянемо точки на рис. 5.2. Довжина напрямленого відрізка дорівнює , а відстань між точками і дорівнює .

Друга перевага цієї системи - незалежність ортів від точки простору. Наприклад, орти, побудовані з точки N (Рис. 5.2.), збігаються з ортами, побудованими з точки O. Це зовсім природно. Адже від точок O і N ми відкладаємо напрямлені відрізки, відповідні тим самим векторам - ортам базису. Дотепер ми вивчали векторні простори і базиси у векторному просторі, тому в нас не виникало поняття точки і поняття орта, відкладеного від якоїсь точки.

Тепер ми перейшли до вивчення систем координат на множини точок (наприклад, на площині або в просторі). У таких системах цілком може трапитися так, що нам зручно ввести координати, які будуть однозначно описувати місце розташування точок, але при цьому не будуть відповідати координатам яких-небудь векторів у якому-небудь векторному просторі. До таких систем, зокрема, відносяться полярна, циліндрична і сферична системи координат.

Полярна система координат

У декартових системах відліку дві різні точки відрізняються одна від одної своїми декартовими координатами. Тому зміст координатного методу полягає в тому, що про місце розташування точок можна судити не з графічних побудов, а з порівнянь між собою чисел. Це, як ми не раз уже говорили, є однією з основних задач аналітичної геометрії.

При розв'язку деяких прикладних задач вибір декартових координат не є найкращим. Наприклад, при вивченні обертання по колу з постійним радіусом різні положення обертової крапки відрізняються одне від одного лише кутом повороту. Тому математично простіше буде вирішувати таку задачу не в декартових змінних, а задаючи як координату кут повороту. Цей кут тоді буде єдиною величиною, яка не є сталою.

З іншого боку, існує велика кількість систем, що мають так звану центральну симетрію, коли стан системи визначається тільки відстанню від деякого центра і не залежить від кутів повороту. У цьому випадку досить однієї змінної - відстані від точки до центра - для повного опису розв'язку задач, а перехід до двох декартових координат тільки ускладнить розгляд.

Однак, у загальному випадку, відстань від точки до центра не цілком характеризує місце розташування точки. Наприклад, на рис. 5.3 зображені дві різні точки M₁ і M_2, які знаходяться на однаковій відстані від початку відліку - точки O, а отже, лежать на одному колі з центром у точці О. Для того, щоб дати математичний опис різним місцям розташування цих точок, необхідно вказати, де на колі знаходяться ці точки. Зокрема, ці точки можна було б розрізняти довжиною дуги між цими точками і деякою початковою точкою, наприклад точкою М₀, що є перетином кола й осі абсцис. Ці два числа - радіус і довжина дуги однозначно б визначали положення точки і тому цілком би підійшли на роль координат. Цим координати мали б однакову розмірність і цим були б схожі на декартові.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.3. Полярна система координат

Однак загальноприйнятим є трохи інший підхід. В якості другої координати вибирають не довжину дуги, а її кутову величину. Наприклад, для точки М₁ друга координата дорівнює . Помітимо, що цей кут може бути пов'язаний (хоча і не завжди) з довжиною дуги за відомою формулою .

Таким чином, набір із двох чисел - відстань до центра і кут між променем, що відходить від центра до точки, і якимсь заданим променем - може служити координатами для точок на площині. Такі координати називаються полярними координатами. Для повного визначення таких координат потрібно задати на площині початок відліку - полюс, деякий промінь - полярний промінь і напрямок відліку кута, наприклад, проти ходу годинникової стрілки. Якщо ми спочатку мали деяку декартову систему відліку, то як полюс прийнято вибирати початок відліку - точку О, а в якості променя - піввісь Ох, що відповідає позитивним значенням абсцис.

У цьому випадку можна написати співвідношення між декартовим і полярними координатами:

, (5.1)

. (5.2)

Ми бачимо, що одержані співвідношення однозначно визначають тільки тангенс полярного кута. Отже, сам кут буде визначений з точністю до 180 градусів. Тому співвідношень (5.2) не вистачає для визначення кута, тому що якщо ми візьмемо замість х і у протилежні їм значення, то одержимо ті ж значення .

Таким чином, для однозначного визначення полярних координат треба доповнити співвідношення (5.2) ще якимсь співвідношенням, що враховує знак координат x і y. Наприклад, якщо область значень функції визначена нерівностями , то полярний кут можна знаходити за таким правилом:

(5.3)

Причому, якщо , то при і при . У випадку рівності обох координат нулю, що відповідає нульовому радіусу-вектору , будемо вважати кут невизначеним. Такий вибір визначення кута зручний, наприклад, при розв'язку задач про малі коливання поблизу точки з

Однак, в інших фізичних додатках зручніше користуватися іншим способом визначення кута, при якому кут завжди визначається в напрямку обертання проти годинникової стрілки. У цьому випадку область значень функції визначають так: , а полярний кут знаходять за наступним правилом:

(5.4)

Такий вибір кута може виявитися зручним при дослідженні поворотів на великі кути, зокрема при дослідженні обертань.

Якщо використовувати поняття радіуса-вектора точки М, то для полярних координат цієї точки виходять наступні співвідношення:

. (5.5)

У цій формулі ми використовуємо поняття кута між напрямленими відрізками, проведеними з загального початку. Узагальнення поняття кута на вектори ми проведемо в наступному розділі.

Тут для однозначності визначення кута додамо умову

(5.6)

яка, аналогічно (5.4), дозволяє задати таку область зміни полярного кута: .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.4. Координатні лінії й орти в полярній системі відліку

Визначимо тип ліній, уздовж яких постійні значення координат, тобто побудуємо лінії рівня. У випадку постійного радіуса одержуємо коли з центром на початку координат (див. рис. 5.4), а при постійному полярному куті такими лініями є промені, що виходять з початку відліку. Ці лінії рівня утворять своєрідну сітку на площині, причому через будь-яку точку в просторі проходить рівно по одній лінії рівня відповідної кожної з координат. У цьому значенні картина схожа на декартову систему (див. рис. 5.2). Більш того, як і в декартової системі координат, у полярній системі лінії рівня, що відповідають різним координатам, перпендикулярні між собою, тобто між собою перпендикулярні дотичні до цих ліній у точках перетину цих ліній (дивись додаток 3). Таким чином, полярна система відліку так же, як і декартова, є прямокутною (або ортогональною системою відліку).

Однак, на відміну від декартової системи, у полярній системі лініями рівня є не прямі, а промені й коли. Тому така система відноситься до так званих криволінійних систем відліку.

Крім того, виникає питання про те, куди напрямлені базисні вектори в полярній системі відліку. У випадку з радіальною координатою цей вектор спрямовується уздовж променя, що йде від початку координат, тобто e_r=r/|r|, а виходить, цей орт фактично є ортом радіуса-вектора.

Напрямок орта e , який відповідає полярному куту, можна вибрати виходячи з ортогональності полярних координат. Це значить, що цей орт повинний бути перпендикулярний орту радіальної координати, що спрямований уздовж радіуса. Отже, орт e кутової змінної можна направити уздовж дотичної до кіл, причому направляємо його убік збільшення полярного кута. Таким чином, напрямок ортів у криволінійних системах координат визначають за допомогою такого правила.

У прямокутних криволінійних системах координат орти напрямлені за дотичними до координатних ліній убік зростання відповідної координати.

На рис. 5.4 показані орти в полярній системі відліку, відкладені від різних точок. Ми бачимо, що орти в полярній системі координат мають істотну відмінність від ортів у декартової системі. Їхній напрямок залежить від точки спостереження! Цей факт необхідно враховувати під час розв'язку фізичних задач, тобто враховувати, що, наприклад, при русі частки в просторі змінюються не тільки її полярні координати, але і полярні орти.

Найпростішим прикладом є рівномірне обертання точки за колом, який буде розглянутий в одній із задач наприкінці розділу.

Циліндрична система координат

Найпростішим узагальненням полярної системи координат на тривимірний простір є циліндрична система відліку. У цій системі для визначення положення точки додається третя координата, що характеризує «висоту», на якій знаходиться точка. Циліндричні координати можна ввести в такий спосіб. Спочатку задамо якусь декартову систему відліку, у якій точка має координати M=(x,y,z), а потім опустимо перпендикуляр із точки M на площину xOy. Основою цього перпендикуляра буде деяка точка M₁ з координатами M₁=(x,y,0). Положення цієї точки на площині xOy можна задавати в полярній системі відліку, тобто M₁=(с,ц,0). Набір із трьох чисел: радіуса с, полярного кута ц і аплікати z буде однозначно описувати положення в просторі вихідної точки M=(с, ц ,z). Ці координати називаються циліндричними. Така назва з'явилася через те, що координатними поверхнями, що відповідають радіусу с, тобто поверхнями, у всіх точок яких ця координата однакова, є циліндри. Циліндричні координати використовуються при розв'язку задач у випадку, коли в умові присутня виділена вісь, що найчастіше є віссю симетрії досліджуваної системи. До таких систем, наприклад, відносяться системи, у яких заданий струм, що тече по центральному провіднику, або системи, у яких задане зовнішнє стале в просторі поле.

Зв'язок декартових і циліндричних координат при урахуванні, що третя координата в цих системах однакова, виходить безпосередньо з аналогічного зв'язку полярних і декартових координат (5.1) і (5.2):

, . (5.7)

.Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.5. Циліндрична система координат

Сферична система координат

Більш послідовним узагальненням полярної системи відліку на тривимірний випадок є так звана сферична система відліку. Вона вводиться, коли ми хочемо в якості однієї з координат вибирати, як і у випадку з полярною системою, відстань від точки до початку відліку, тобто довжину радіуса-вектора точки:

. (5.8)

Тоді координатною поверхнею, що відповідає цій координаті (радіусові), тобто поверхнею, уздовж якої не змінюється ця координата, а саме не змінюється відстань від точок до початку відліку, є сфера з центром на початку відліку. Для того, щоб розрізняти між собою точки на цій сфері, вводять кут між радіусом-вектором і віссю аплікат Оz, що показує, наскільки точка відхилилася від вертикального положення:

. (5.9)

Заданим значенням цих двох координат буде відповідати множина точок, а саме коло у горизонтальній площині і центром на осі Оz. Для того, щоб розрізняти точки на цьому колі, зробимо таким чином. Проведемо промінь з початку координат у точку спостереження. Побудуємо ортогональну проекцію цього променя на площину xOy і визначимо в якості координати кут між цим променем-проекцією і віссю абсцис Ox, так як і в полярній системі координат. Таким чином, третя координата буде визначатися наступним виразом:

(5.10)

який для однозначності визначення кута доповнюється умовою, аналогічною (5.6). Нагадаємо, що величина позначає проекцію вектора на площину, утворену векторами і .

Уведені таким способом координати називаються сферичними й одно-значно визначають положення точки в просторі М=(, и, ц).

Співвідношення (5.9)-(5.11) дозволяють визначити зв'язок між декартовими і сферичними координатами:

(5.11)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.6. Сферична система координат. Координатні поверхні й орти

Сферична система координат, так само як полярна і циліндрична системи, є криволінійною й ортогональною системою. На рис. 5.6 наведені приклади координатних поверхонь у сферичній системі координат. Постійному значенню радіуса відповідають сфери з центром на початку відліку. Якщо визначити множину точок, у яких однаковий кут , то одержимо напівплощини, краї яких збігаються з віссю Oz. Постійному значенню кута відповідає конус, вершина якого знаходиться на початку відліку.

У сферичній системі відліку через її криволінійність напрямок ортів залежить від точки спостереження. Тому рівні напрямлені відрізки, відкладені від різних точок простору, будуть мати різні координати в сферичній системі координат, хоча їхні довжини і напрямки будуть збігатися. Так, якщо орт відкласти від точки спостереження, що знаходиться на осі абсцис (точка К на рис. 5.6), то він буде в сферичній системі відліку мати координати , а якщо цей же орт відкласти від точки на осі ординат (наприклад, точка L на рис. 5.6), то його сферичні координати стануть рівними . У той же час сферична система є ортонормованою системою, і тому довжина будь-якого вектора, заданого своїми координатами в цій системі відліку , дорівнює

. (5.12)

Основне застосування сферична система відліку знаходить у задачах руху часток у полях, що володіють центральною симетрією, тобто в полях, у яких величина поля залежить тільки від відстані до заданого центра. Це, наприклад, гравітаційне або електростатичне поле сферично симетричної частки.

Базиси і системи відліку різної орієнтації

Розглянуті нами декартова, полярна, циліндрична і сферична системи відліку не вичерпують усього різноманіття ортогональних систем. Щоб розібратися в тім, яким ще чином системи можуть відрізнятися одна від одної, розглянемо найпростіший приклад одномірного простору - прямої лінії.

Проведемо пряму і виберемо на ній базис , що складається, природно, з одного вектора . Поряд з цим базисом ми могли взяти і будь-який інший базис у цьому просторі, наприклад, базис , що складається з вектора , такого, що . Як базисний вектор можна було взяти і вектор , протилежно спрямований векторам і .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.7. Базиси різної орієнтації на прямій

Ми помічаємо, що всі базиси на прямій можуть бути розділені на дві групи, кожна з яких містить базиси, вектори яких напрямлені в один бік. Приналежність базису до тієї або іншої групи називається орієнтацією базису. Зокрема, на горизонтальній прямій зручно всі базиси, вектори яких напрямлені вправо, називати правими базисами (або базисами з правою орієнтацією), а базиси, вектори яких напрямлені вліво, - лівими базисами (або базисами з лівою орієнтацією). Наприклад, наведені на рис. 5.7 базиси і є базисами правої орієнтації, а і - базисами лівої орієнтації.

Якщо ми розглянемо тільки ортонормовані базиси, то основне правило, що дає відповідь на питання, чи мають два ортонормовані базиси однакову орієнтацію, може бути сформульоване так:

Ортонормовані базиси однакової орієнтації можуть бути сполучені рухами усередині простору, у якому вони визначені.

Так, базис на рис. 5.7 може бути сполучений з базисом , а базис лівої орієнтації не можна ніяким рухом уздовж прямої перевести в базиси або .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.8. Базиси різної орієнтації на площині

Тепер розглянемо різні ортонормовані базиси на площині. На рис. 5.8 наведені приклади базисів , , і . Ми бачимо, що деякі з цих базисів можуть бути сполучені між собою за допомогою рухів уздовж площини, тобто рухів, що переводять площину саму в себе. До таких рухів відносяться паралельний перенос і повороти навколо якої-небудь осі, перпендикулярної площині. З рисунка видно, що базиси , можуть сполучитися так, щоб і перші, і другі вектори базисів збіглися між собою. Можна сполучити між собою і базиси та .

У той же час, ніякими переміщеннями, що не виходять із площини, не можна сполучити, наприклад, базис і базис так, щоб вектор збігся з вектором , а вектор - з вектором .

Ми бачимо, що і на площині всі базиси можуть бути розділені на дві групи: одні аналогічні базису , а інші - базису. Приналежність базису до якоїсь з цих груп називається так само, як і в одномірному випадку, орієнтацією базису. Причому, назви орієнтацій теж залишаються такими ж, як і в одномірному випадку, - права і ліва. Однак, на площині ці назви не так очевидні, як на прямій, тому необхідно різним орієнтаціям дати відповідні визначення.

Размещено на http://www.allbest.ru/

У лівих базисах перший вектор сполучається з другим, якщо його обертати убік меншого кута за годинниковою стрілкою.

Помітимо, що поняття орієнтації виникло тільки після того, як ми ввели упорядкування базису, тобто почали відрізняти, який з векторів базису перший, а який - другий.

У тривимірному просторі базиси також поділяються на дві групи, що відрізняються своєю орієнтацією. Для того щоб зрозуміти розходження між ними, давайте на площині виберемо два двовимірні базиси з однаковою орієнтацією (див. рис. 5.9) - праві базиси і .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.9. Базиси різної орієнтації в просторі

Тепер додамо до цих базисів по одному вектору, який їм не компланарний, так, щоб одержати базиси для тривимірного простору. Причому, до першого базису додамо третій вектор , що спрямований в одну сторону від вихідної площини, а до іншого базису додамо третій вектор , спрямований в інший бік від цієї площини.

Ми одержали різні базиси в тому значенні, що їх не можна сполучити один з одним ніякими рухами в просторі. Тепер можна дати найменування цим базисам. Для цього зручно використовувати поняття правого і лівого базису, що ми використовували на площині і на прямій (де ці назви очевидні).

Через те, що найчастіше представлення тривимірних фігур викликає деякі труднощі, ми наведемо три визначення правого базису, що найбільше часто використовуються.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.10. Визначення правого базису

Якщо сполучити кінці базисних векторів на початку відліку (у точці О), то можна уявити собі, що точка О є вершиною піраміди, ребрами якої є три базисні вектори. Тоді спостереження з боку точки О допомагає дати ще одне визначення базису з правою орієнтацією.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Однак найбільш часто вживається третє визначення базисів із правою орієнтацією, відоме як «правило буравчика», або «правило правого гвинта». Особливо часто це правило використовується у фізиці, тому що за його допомогою визначають напрямок сили, яка діє з боку магнітного поля на електричні заряди, що рухаються.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найпростішим методом визначення орієнтації базису є, очевидно, знайоме усім зі шкільного курсу фізики правило правої руки. Відповідно до цього правила порядок векторів у правому базисі відповідає порядкові пальців правої руки - великого, вказівного і середнього при їхньому певному розташуванні.

Як ми вже говорили, існує простий спосіб визначення того, чи мають два базиси однакову орієнтацію. Для цього досить спробувати сполучити їх безперервними рухами - паралельним переносом і обертанням - у просторі. Якщо вдається знайти рух, що сполучає ці базиси, то вони мають однакову орієнтацію. У противному випадку базиси належать до різних орієнтацій і для їхнього сполучення необхідно хоча б один з векторів базису поміняти на протилежний йому вектор. Як приклад можна взяти базиси і на рис. 5.8 або базиси і на рис. 5.9. Таким чином, існують такі перетворення базисів, що не змінюють їхньої орієнтації. Ці перетворення називаються власними перетвореннями. Перетворення, що змінюють орієнтацію базису, називаються невласними. Більш докладно власні і невласні перетворення, а також чисельний їхній опис ми розглянемо пізніше в главі про перетворення координат.

Поняття орієнтації можна застосувати не тільки до ортонормованих базисів, але і до будь-яких упорядкованих трійок векторів. Дійсно, усі визначення орієнтації не містять інформації про довжину векторів і кути між ними. Тому можна ввести поняття орієнтованих трійок векторів.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Звичайно, визначити, чи мають різні трійки векторів однакову орієнтацію, за допомогою їхнього сполучення, уже не удасться, тому що в ці трійки можуть входити вектори з різними довжинами і кути між векторами в цих трійках можуть бути неоднаковими.

Типові задачі

Задача 5.1. Визначити вектор швидкості точки при рівномірному обертанні.

Розв'язок. Припустимо, що точка обертається за колом з постійним радіусом і кутовою швидкістю щ. Радіус-вектор цієї точки дорівнює , а швидкість дорівнює похідній від радіуса-вектора за часом:

. (5.13)

В останньому перетворенні враховується, що радіус обертання не змінюється з часом. Орт залежить від положення точки, тому він змінюється з часом і похідна не дорівнює нулю. Щоб обчислити цю похідну, можна представити цей орт як лінійну комбінацію якихось векторів, що не змінюються з часом. Наприклад, можна представити у вигляді розкладання по базисним векторам декартового базису:

,

де і - координати вектора в базисі :

, .

Кути, що входять у ці співвідношення, виражаємо через кут ц між радіусом-вектором і віссю х (полярний кут у системі координат) і одержуємо, що

.

Тепер можна взяти похідну за часом від цього виразу:

.

Тут ми використовували той факт, що похідна за часом від кута є кутовою швидкістю. Якщо тепер знайти вираз для орта у полярній системі відліку:

то ми одержимо шуканий вираз для швидкості точки, що обертається:

.

Цей вираз визначає як величину лінійної швидкості обертання , так і напрямок , тобто швидкість спрямована по дотичній до кола, по якому обертається точка.

Задача 5.2. Знайти відстань між точками в полярній системі координат.

Розв'язок. Нехай нам задані дві точки і у полярній системі координат через свої координати: і . Відстань між ними просто виражається через декартові координати:

.

Для використання цієї формули нам досить виразити декартови координати точок через полярні за допомогою співвідношень і . Підстановка цих виразів у формулу для довжини дає:

Отримане співвідношення є не що інше, як теорема косинусів, і наведений висновок може розглядатися як доведення теореми косинусів за допомогою координатного методу. У той же час це співвідношення можна переписати іншим способом, явно виділивши квадрат різниці довжин радіусів-векторів і доданок, що є малий, якщо малим є кут між радіусами-векторами:

Такий вираз є особливо зручним у фізичних додатках, коли, наприклад, виникає необхідність розкладати величину в ряд Тейлора за малим параметром .

Більш того, одержаний вираз дозволяє знайти так званий «елемент довжини» у полярній системі відліку або, іншими словами, відстань між двома нескінченно близькими точками:

.

Здобуті співвідношення дозволяють вивести основні нерівності трикутника. Якщо врахувати, що величина лежить у межах від мінус одиниці до одиниці, то величини одержимо:

.

Звідси випливають нерівності, що пов'язують між собою довжини сторін будь-якого трикутника:

. (5.14)

Задача 5.3. Самостійно доведіть, що елемент довжини в сферичній системі координат дорівнює

.

Размещено на Allbest.ru