главнаяреклама на сайтезаработоксотрудничество Коллекция рефератов Otherreferats
 
 
Сколько стоит заказать работу?   Искать с помощью Google и Яндекса
 


Деякі спеціальні функції

Функція Матьє - лінійне диференціальне рівняння з періодичними коефіцієнтами. Властивості поліномів Ерміта: диференціювання, ортогональність, рекурентні співвідношення, парність. Представлення ортогональності поліномів Лагерра через твірну функцію.

Рубрика: Математика
Вид: реферат
Язык: украинский
Дата добавления: 11.03.2011
Размер файла: 234,1 K

Полная информация о работе Полная информация о работе
Скачать работу можно здесь Скачать работу можно здесь

рекомендуем


Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже.

Название работы:
E-mail (не обязательно):
Ваше имя или ник:
Файл:


Cтуденты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны

Подобные работы


1. Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння
Визначення гіпергеометричного ряду. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції. Властивості гіпергеометричної функції.
курсовая работа [462,3 K], добавлена 26.01.2011

2. Інтерполювання функцій
Сутність інтерполяційних поліномів. Оцінка похибок інтерполяційних формул, їх застосування. Програма обчислення наближених значень функції у випадку, коли функція задана таблично, використовуючи інтерполяційні формули для рівновіддалених вузлів.
курсовая работа [956,4 K], добавлена 29.04.2011

3. Дослідження дзета-функції Римана
Дзета-функція Римана та її застосування в математичному аналізі. Оцінка поводження дзета-функції в околиці одиниці. Теорія рядів Фур'є. Абсолютна збіжність інтеграла. Функціональне рівняння дзета-функції. Властивості функції в речовинній області.
курсовая работа [329,1 K], добавлена 28.12.2010

4. Використання властивості неперервності функції при розв'язуванні різних задач математичного аналізу
Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлена 04.04.2012

5. Диференціальні рівняння вищих порядків
Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлена 02.03.2010

6. Факторіальні кільця та їх застосування
Поняття кільця в математиці, обов'язкові умови та основні властивості, приклади, що підтверджують несуперечливість системи аксіом кільця. Сутність ідеалу по відношенню до кільця, операції над ними. Факторіальність евклідових кілець. Кільце поліномів.
курсовая работа [123,6 K], добавлена 26.04.2010

7. Похідні та диференціали функції багатьох змінних
Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
реферат [278,8 K], добавлена 02.05.2011

8. Аналітична геометрія
Розв’язання системи рівнянь методом Крамера, методом оберненої матриці та методом Гаусса. Розрахунок довжини ребра, кута між ребрами, рівняння висоти, рівняння площини грані і кута між ребром та гранню. Дослідження функції та побудува її графіку.
контрольная работа [397,0 K], добавлена 30.10.2011

9. Гармонічні функції та їх застосування
Означення та приклади застосування гармонічних функцій. Субгармонічні функції та їх деякі властивості. Розв’язок задачі Діріхле з використанням функції Гріна. Теореми зростання та спадання функції регулярної в нескінченній області (Фрагмена-Ліндельофа).
курсовая работа [349,0 K], добавлена 10.09.2013

10. Диференціальні рівняння вищих порядків
Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку. Лінійні диференціальні рівняння II порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих як загальний метод розв’язування та й приклад розв’язання задачі Коші.
лекция [202,1 K], добавлена 30.04.2014


Другие работы, подобные Деякі спеціальні функції


Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферативна розробка

на тему

"Деякі спеціальні функції"

Київ, 2005р.

Функції Матьє

Рівняння Матьє виникає при розгляді коливань з еліптичними граничними умовами. Це рівняння має одну цікаву особливість - це є лінійне диференціальне рівняння з періодичними коефіцієнтами. Воно має такий загальний вигляд:

(??y??x?) + (б + в cos2x) y = 0. (1)

Здебільшого роль х відіграє кут, коли розглядають рух на площині. Тоді період функції має складати 2р.

За теоремою Флоке існує розв"язок у(х) такий, що у(х+2 р) = kу(х). Тоді якщо задати

k = 2рм та f(х) = е-мxу(х),

то тоді неважко бачити, що f(х+2р) = f(х). Тобто тоді розв"язок рівняння Матьє можна подати у вигляді

у(х) =А e -мх f(х) + В e мх f(-х).

Якщо м рівне 0 або має вигляд м=іа/b, де а та b>0 - цілі взаємно прості числа, то у(х) має період 2рb. При м уявному, але не рівному іа/b функція у(х) коливається аперіодично, при м дійсному у(х) -->? при х-->?.

Роздивимось, при яких значеннях б та в рівняння Матьє (1) має періодичні чи інші розв"язки.

Нехай в= 0. Тоді маємо:

(??y??x?) + б y = 0

Очевидно, що періодичні розв"язки з періодом 2р існують при б=0 ( у=1 ), 1 ( у=sin x, cos x ) або 2n ( y=sin nx, cos nx ).

У випадку довільного в ситуація дещо ускладнюється. Вводять спеціальні функції Матьє Сn(m)(х) та Sn(m)(х) m-ого роду. Функції першого роду - це парні та непарні розв"язки з періодом 2р (b=1, м=іn), що виражаються через тригонометричні функції, а саме:

(Очевидно, що Aк тут різні для різних функцій)

Функції Матьє другого роду виражаються через функції першого роду:

Вони, власне кажучи, вже не будуть 2р - періодичними.

Роздивимось функції Матьє першого роду. Можливі різні варіанти нормування. Нехай коефіцієнти у відповідному члені у ряді Фур"є рівні 1. Тоді:

С1(х) =cos x + в/16 cos 3x +...

Підставимо ряд для у в рівняння Матьє (1). Прирівнюючи до 0 коефіцієнти у правій та лівій частинах, дістанемо систему:

і т.д.

Коефіцієнти Аn дуже швидко ростуть, а саме: Аn+2/ Аn2, тому не для будь-яких б та в можна знайти рішення. Запишемо рекурентне співвідношення у формі

=0

Звідси маємо нескінченний дріб:

=

Тепер прирівняємо два вирази для А20:

б =

Знайдемо коефіцієнти для С0(х). Цей розв"язок починається з б =0 та в=0. Із рекурентного співвідношення ітераціями отримуємо ( А0=2 ):

А2 = -2б / в = в/4 - 7в3 /1024 +....,

А4 = -2 - 2 (б - 4) А2/ в ? в2 /128 +...

Таким чином, отримуємо що:

С0(х)= 1+

Поліноми Ерміта

Нехай маємо задачу на власні функції:

= 0

на всій дійсній осі х є R з власними значеннями л = 0, 2, 4, 6... Крайова умова ставиться таким чином: на нескінченності фундаментальна функція u(x) обертається в нескінченність не швидше, ніж кінцевий ступінь х.

lu(x)l ? xk, k є N

Розв"язком цієї задачі є поліноми Ерміта Hn(x). У фізичній інтерпритації вони є розв"язками рівняння Шредінгера для гармонічного осцилятора.

Його також можна визначити за допомогою твірної функції ш(с, х), якщо покласти:

ш(с, х) =

Звідси одержимо такий вираз для поліномів Ерміта:

Поліноми Ерміта мають такі властивості:

1. Диференціювання

Із співвідношення

слідує:

H'n(x) = 2n Hn-1(x)

А із рівності

неважко одержати наступне:

H''n(x) = 2xH'n(x) - 2nHn(x)

2. Ортогональність

3. Рекурентні співвідношення

xHn(x) = ? Hn+1(x) + n Hn-1(x)

Hn(x) = 2n Hn-1(x)

4. Властивість парності

Hn(-x) = (-1)n Hn(x) (з формули (2) це видно майже неозброєним оком, адже d(-x)n = (-1)n dxn )

5. Значення в нулі

H2n+1(0) = 0, H2n(0) =

Випишемо перші декілька поліномів Ерміта.

Н0(х) = 1,Н1(х) = 2х,

Н2(х) = 4х2 - 2,Н3(х) = 8х3 - 12х,

Н4(х) = 16х4 - 48х2 + 12.

Загальний вираз для поліномів Ерміта такий:

Його можна одержати з формули (2), якщо згадати розклад в ряд Тейлора для експоненти. В цьому представленні останній член рівний

при парному n та при n непарному.

Розглянемо детальніше ортогональність поліномів Ерміта.

Проінтегрувавши m разів частинами (при n ? m), з урахуванням того, що при х>? усі похідні від прямують до нуля, одержимо:

Якщо ж n = m, то:

, тобто доведено властивість 2.

Поліноми Лагерра

Розглянемо диференціальне рівняння

ху?? + (1-х)у? + nу = 0 (3)

Загальним розв"язком такого рівняння є

у = С ? еtx (1-t)n t -n-1dt

Якщо ці розв"язки при цілому невід"ємному n, регулярні в нулі, нормувати за допомогою початкової умови у(0) = n!, то одержимо якраз поліноми Лагерра. Вони можуть бути представлені рядом

у = ? скхк з коефіцієнтами ск+1 = -ск(n - k)/( k+1).

Поліноми Лагерра також можна визначити за допомогою твірної функції ш(х, t), якщо покласти:

Зокрема маємо:

L0(x) = 1,L1(x) = 1- х,

L2(x) = 2 - 4х + х2,L3(x) = 6 - 18х + 9х2 - х3.

Виведемо деякі властивості поліномів Лагерра.

Диференцюючи твірну функцію ш(х, t) по х і по t, одержимо дві тотожності:

(1 - х)2 шх - (1 - х - t) ш = 0

(1 - х) шt - хш = 0

Підставляємо сюди ряд (*) і прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступенях:

(n + 1)Ln+1 - (2n + 1 - x)Ln + nLn-1 =0

L'n+1 - L'n + Ln = 0

Диференціюючи першу і двічі використовуючи другу формулу, одержимо:

xL'n + (n + 1 - x)Ln - (n + 1)Ln+1 = 0

Розглянемо тепер ортогональність поліномів, спираючись на їх представлення через твірну функцію. Нехай m ? n.

Інтегруємо m разів частинами і враховуємо, що всі позаінтегральні члени обертаються в нуль через наявність множника xke-x. Одержимо:

при m < n, бо при інтегруванні частинами отримаємо похідну (m + 1) - ого порядка від полінома m - ого порядку, а вона рівна нулеві. Якщо m = n, то одержимо:

Ln(n) = (-1) n і тоді

функція матьє поліном ерміт лагерр

Таким чином, показано, поліноми Ларегга ортогональні з вагою е.

Візьмемо тепер твірну функцію у вигляді

Тоді відповідні поліноми

називаються узагальненими поліномами Ларегга. Зокрема L0s (x) = 1, L1s (x) = 1 + s - х.

Ці поліноми також можна отримати при розв"язку рівняння

ху?? + (s + 1 - х)у? + (л - (s + 1) / 2)у = 0

на додатній півпрямій при умові обмеженості в нулі і не швидшого, ніж хk зростання на нескінченності. Власні значення лn = n + (s + 1)/ 2.

Узагальнені поліноми Ларегга також ортогональні, але з іншою вагою:

Слід зазначити, що під рівняння виду (3) підпадає рівняння Шредінгера для кулонівського потенціалу. Рух частинки в цьому випадку описується через узагальнені поліноми Лагерра.

Перелік літератури:

1. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский "Уравнения математической физики"

2. Р. Курант, Д. Гильберт "Методы математической физики", т.1

3. Э. Маделунг "Математический аппарат физики"

4. Дж. Мэтьюз, Р. Уокер "Математические методы физики"

Размещено на Allbest.ru


Скачать работу можно здесь Скачать работу "Деякі спеціальні функції" можно здесь
Сколько стоит?

Рекомендуем!

база знанийглобальная сеть рефератов