Использование элементов математической логики в курсе математики начальной школы

Условимся отрицание предложения записывать как , а отрицание предложения - как . Очевидно, что предложение имеет тот же смысл, а следовательно, то же значение истинности, что и предложение , а предложение - тот же смысл, что . Иначе говоря, равносильно ; равносильно .

Кванторы общности и существования называют двойственными относительно друг друга. Выясним теперь, как строить отрицание предложения, начинающегося с нескольких кванторов, например, такого: .

Последовательно применяя сформулированное выше правило, получим: равносильно , что равносильно , что равносильно



1.4 Схемы дедуктивных рассуждений

Схем правильного рассуждения (логических законов) бесконечное число. Многие из них известны нам из практики рассуждения. Мы применяем их интуитивно, не отдавая себе отчета, что в каждом правильно проведенном умозаключении мы используем тот или иной логический закон.

Вот некоторые из наиболее часто используемых схем.

«Если есть первое, то есть второе; есть первое; следовательно, есть второе». Эта схема позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания перейти к утверждению следствия. По этой схеме протекает, в частности, рассуждение: «Если лед нагревают, он тает; лед нагревают; значит, он тает».

Это логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия условного высказывания к утверждению его основания: «если есть первое, то есть второе; есть второе; значит, есть первое». Последняя схема не является логическим законом, от истинных посылок она может привести к ложному заключению. Скажем, идущее по этой схеме рассуждение «Если человеку восемьдесят лет, он стар; человек стар; следовательно, человеку восемьдесят лет», ведет к ошибочному заключению, что старику ровно восемьдесят лет.

«Если есть первое, то есть второе; но второго нет; значит, нет первого». Посредством этой схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания высказывания. Например: «Если наступает день, то становится светло; но сейчас не светло; следовательно, день не наступил». Иногда эту схему смешивают с логически некорректным движением мысли от отрицания основания условного высказывания к отрицанию его следствия: «если есть первое, есть и второе; но первого нет; значит, нет и второго» («Если у человека повышенная температура, он болен; но у него нет повышенной температуры; значит, он не болен»).

«Если есть первое, то есть второе; следовательно, если нет второго, то нет и первого». Эта схема позволяет, используя отрицание, менять местами высказывания. К примеру, из высказывания «Если есть гром, есть также молния» получается высказывание «Если нет молнии, то нет и грома».

«Есть, по меньшей мере, или первое или второе; но первого нет; значит, есть второе». Например: «Бывает день или ночь; сейчас ночи нет; следовательно, сейчас день».

«Либо имеет место первое, либо второе; есть первое, значит, нет второго». Посредством этой схемы от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеется налицо, осуществляется переход к отрицанию другой альтернативы. Например: «Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге; он родился в Москве; значит, неверно, что он родился в Петербурге». В американском вестерне «Хороший, плохой и злой» говорится о таком разделении человеческих ролей. Бандит говорит: «Запомни, Однорукий, что мир делится на две части: тех, кто держит револьвер, и тех, кто копает. Револьвер сейчас у меня, так что бери лопату». Это рассуждение также опирается на рассматриваемую схему.

«Неверно, что есть и первое, и второе; следовательно, нет первого или нет второго»; «Есть первое или есть второе; значит, неверно, что нет первого и нет второго». Эти и близкие им схемы позволяют переходить от утверждений с союзом «и» к утверждениям с союзом «или», и наоборот. Используя данные схемы, от утверждения «Неверно, что сегодня ветер и дождь» можно перейти к утверждению «Неверно, что сегодня ветер или неверно, что сегодня дождь» и от утверждения «Амундсен или Скотт был первым на Южном полюсе» перейти к утверждению «Неверно, что ни Амундсен, ни Скотт не является первым человеком, побывавшим на Южном полюсе».

Таковы некоторые из бесконечного множества схем правильного рассуждения.

1.5 Язык числовой алгебры

Язык любой алгебры состоит из множества знаков, называемого алфавитом этого языка.

Знаки алфавита по аналогии со знаками алфавита естественного языка называют буквами.

Естественно возникает вопрос: какие буквы должны содержаться в алфавите языка числовой алгебры?

Прежде всего, очевидно, мы должны иметь буквы для обозначения элементов множества -- носителя алгебры, в данном случае для обозначения чисел, и переменные для элементов этого множества.

Применяя для обозначения чисел десятичную систему счисления, мы должны включить в алфавит числовой алгебры десять букв, называемых цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью которых по определенным правилам конструируются названия любых чисел.

В качестве числовых переменных (переменных для чисел любого из множеств N, N0, Z, Q или R) применяются буквы латинского алфавита а, Ъ, с, х, у, z или одна какая-нибудь из этих букв с индексом, например Х1, X2, Xn.

Иногда буквы латинского алфавита применяются и в качестве числовых постоянных, т. е. в качестве названий чисел (когда речь идет об определенном, но не важно, каком именно, конкретном числе). В таком случае начальные буквы латинского алфавита а, b, с обычно применяются в качестве постоянных, а последние буквы х, у, z -- в качестве переменных.

Нам нужны также буквы для обозначения операций. Для сложения и умножения применяются известные знаки (буквы) + и * соответственно.

Кроме того, роль знаков препинания в языке алгебры играют скобки (левая и правая).

Таким образом, алфавит языка, на котором описывается какая-нибудь числовая алгебра, должен включать множество, состоящее из четырех классов букв: I -- цифры, из которых конструируются названия чисел; II -- буквы латинского алфавита -- числовые переменные или постоянные; III -- знаки операций; IV -- скобки.

Знаки вычитания (--) и деления (:) могут быть введены определениями соответствующих операций.

Постепенно алфавит числовой алгебры дополняется и другими «буквами», в частности, вводятся знаки бинарных отношений «равно», «меньше», «больше».



Глава 2. Психолого-педагогические основы использования элементов математической логики

Сегодняшняя реформа школы, вызванная информатизацией общества, направлена на гуманизацию образования, она ставит перед школой основную задачу - подготовить школьника к повседневной жизни в современном информационном обществе.

Среди математических дисциплин широкими интегративными возможностями обладает курс математической логики. Ведь умение мыслить последовательно, рассуждать доказательно, строить гипотезы, опровергать неправильные выводы не приходит само по себе - это умение развивает наука логика. Поэтому данный курс в силу своего универсального применения, занимательности, и, вместе с тем, высокой абстрактности на уровне основ математической логики может быть интересен и, безусловно, полезен всем учащимся.

Возможность включения курса основ математической логики на данном этапе подготовки обеспечивается достаточной для его освоения математической подготовкой учащихся, а их включённость в широкий спектр научных отраслей знаний позволяет сделать процесс обучения эффективным, реализовывать компетентностный подход и подготовку к выбору профиля.

С одной стороны курс позволит углубить, обобщить ранее приобретенные школьниками программные знания по математике, информатике, позволит увидеть уникальность, высокую абстрактность математических объектов (подготовка к математическому профилю), с другой - покажет широкие возможности применения математики в технике, искусстве, в практической деятельности, в быту, применения математики к анализу текста литературных произведений, задач, научит применять логику и здравый смысл к решению различных, в том числе, и жизненных задач (подготовка к выбору технического, гуманитарного и других видов профилей).

Содержание данного элективного курса предполагает решение большого количества логических задач, поскольку решение задач - это практическое искусство, научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь. Мышление, как учит психология, начинается там, где нужно решить ту или иную задачу. Каждая задача непременно заканчивается вопросом, на который надо дать ответ. Задача будит мысль учащегося, активизирует его мыслительную деятельность. Решение задач по справедливости считается гимнастикой ума. Все задачи, входящие в элективный курс, их доказательства не вызовут трудности у учащихся, т.к. не содержат громоздких выкладок, а каждая предыдущая готовит последующую, задачи подобраны так, чтобы исключить повторений, продвигаться от простого к сложному, сохраняя занимательность и увлечение. Таким образом, программа применима для различных групп школьников, в том числе, не имеющих хорошей математической подготовки.

Организация деятельности школьников: ученику необходимо давать время на размышление, учить рассуждать, выдвигать гипотезы. При решении ряда задач необходимо рассмотреть несколько случаев.

Изучение курса осуществляется посредством активного вовлечения учащихся в различные виды и формы деятельности:

введение нового материала в форме дискуссии на основе эвристического метода обучения, что возможно благодаря уже имеющимся у учащихся знаний по математике, литературе и другим школьным предметам, активизации и развитию интеллектуальных умений учащихся;

уроки "общения", на которых еще раз разбираются важные, часто применяемые свойства, изученные на предыдущих занятиях. На таких уроках каждый ученик побывает в роли учителя и ученика и оценит свой ответ и ответ соседа по парте;

решение заданий для самостоятельной работы в форме индивидуальной, групповой работы с последующим обсуждением;

самостоятельное выполнение отдельных заданий, включение учащихся в поисковую и творческую деятельность, предоставляя возможность осмыслить свойства и их доказательства, что даёт возможность развивать интуицию, без которой немыслимо творчество. "Интуиция гения более надежна, чем дедуктивное доказательство посредственности" (Клайн).

Основные цели и задачи

Чем выше уровень развития общества, тем больше требования предъявляются к самому человеку, уровню его собственного развития, его общей культуре. Все более настоятельной необходимостью становиться умение масштабно мыслить и рассуждать, способность глубоко разбираться в происходящих процессах общественной жизни. Отсюда -- особое значение логики. Изучение логики открывает возможности надежно контролировать мышление со стороны его формы, проверять его правильность, предупреждать логические ошибки и исправлять их. Главное значение логики состоит в том, что она усиливает наши мыслительные способности и делает наше мышление более рациональным.

Предполагаемые результаты изучения курса

В результате изучения курса учащиеся должны

знать \ понимать

- способы решения логических задач: сопоставление данных, с помощью схем и таблиц, с помощью графов, перебор возможных вариантов;

- определение высказывания, понятия инверсии, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности;

- определение операции отрицания, её свойства;

- назначение таблицы истинности;

- законы и правила алгебры логики, понятия логического тождества (тавтологии);



уметь

- решать логических задач различными способами: сопоставление данных, с помощью схем и таблиц, с помощью графов, перебор возможных вариантов, составлением таблиц истинности, составлением и упрощением логических формул по тексту задачи;

- приводить примеры предложений, являющихся и не являющихся высказываниями;

- применять понятия инверсии, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности для проверки истинности и ложности сложных высказываний;

- конструировать истинные и ложные сложные высказывания на основе определения сложения и умножения высказываний;

- применять таблицы истинности для иллюстрации определений логических операций, для доказательства их свойств.



Глава 3. Элементы логики в школьном курсе математики

3.1 Числовые равенства, числовые неравенства

Числовое выражение - это совокупность одного или нескольких чисел, соединенных знаками арифметических операций и скобками.

Примеры числовых выражений:

3 * 4 + (23- 11);

3 * 4 + 4;

(2 * 4 + 1) + 8/2 - sin 0 .

Значением числового выражения является число, которое получается после выполнения указанных действий.

Не для любого числового выражения определяется его значение. Причина этого заключается в том, что некоторые алгебраические действия определены не для всех чисел. Например, 2/0, v?5 --числовые выражения, не имеющие смысла: их значение не определено. Выражение 2/0 не имеет смысла, поскольку операция деления на ноль не определена, а v?5 не имеет смысла, поскольку не определено извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

Для того чтобы вычислить значение первого выражения, действия будем выполнять в следующей последовательности:

1. Выполним действия в скобках в следующей последовательности - сначала 2 возведем в третью степень, затем от полученного числа отнимем 11:

3 * 4 + (23 - 11) = 3 * 4 + (8 - 11) = 3 * 4 + (-3)



2. Умножим 3 на 4:

3 * 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Выполним последовательно операции слева направо:

12 + (-3) = 9.

Изучение числовых выражений по программе М.И.Моро начинается в первом классе со страницы 44. Здесь дети знакомятся с понятием равенство и неравенство. И для закрепления этой темы в учебнике предложены следующие упражнения:

1. Прочитай выражения и найди их значения 90 - 4; 38 + 20.

Данное упражнение развивает вычислительные навыки у детей, умение правильно читать выражения.

2. Запиши выражения и найди их значения:

а) Сумма чисел 2 и 9; 5 и 6.

б) Разность чисел 16 и 7; 14 и 6.

Задание формирует умение записывать числовые выражения и развивает вычислительные навыки.

3. Сравни выражения 45 - 10 * 45 - 8; 18 + 40 * 18 + 30.

При выполнении данного упражнения у детей развивается логическое мышление.

4. Сумма каких однозначных чисел равна 15, 16, 17?

Данное упражнение развивает логическое мышление, вычислительные навыки, активизирует мыслительную деятельность.

5. Слагаемые 18 и 80. Найди сумму.

При решении данного задания закрепляются знания таких компонентов как слагаемые и сумма, умение пользоваться ими.

6. Представь число 8 в виде суммы одинаковых слагаемых.

Развивает логическое мышление учащихся.

7. Составь задачи по выражениям: 2 · 4; 12 : 3.

Развивает логическое мышление.

В учебнике М.И. Моро много заданий данных типов, они отрабатывают вычислительные навыки учащихся, помогают осознать понятие «числовые выражения», но они не содержат элементов занимательности. А так же, очень мало упражнений направленных на развитие логического мышления. Поэтому необходимо использовать дополнительные задания развивающего характера. Это могут быть следующие задания:

1. Найдется ли среди трех чисел такое, которое является разностью двух других:

а) 4; 8; 4. б) 2; 4; 4. в) 2; 7; 5. г) 3; 3; 3.

2. Какие из выражений имеют одинаковые значения: 480 + 20; 75 + 25; 294 + 0; 480 - 20; 300 - 200; 294 + 0; 75 - 25; 300 + 200.

В данном задании формируется одновременно два понятия: нахождение значения выражения и сравнение полученных значений выражений.

Числовым равенством называется запись вида A=B, (1), где A и B -- числовые выражения. Если хотя бы одно из выражений A и B не имеет смысла( т. е. его значение не определено), то говорят, что равенство (1) не имеет смысла. Если же оба выражения A и B имеют смысл, то и равенство (1) имеет смысл. Если значения числовых выражений A и B равны, то равенство (1) называют верным; в противном случае его называют неверным.

Приведём примеры верных числовых равенств и неверных числовых равенств, вообще не имеющих смысла:



32=2·7?v25 -- верное числовое равенство;

2+7=21 -- неверное числовое равенство;

Вычислить числовое выражение -- значит найти его значение, записанное в максимально простом виде. Если же исходное выражение не имеет смысла, то вычислить его -- значит доказать, что оно не имеет смысла.

Числовые неравенства -- одно из фундаментальных понятий математики.

Если два действительных числа a и b соединены знаком неравенства >, <, >,<, = , то говорят, что задано числовое неравенство.

Неравенства отношений > , < называют строгими, неравенства , называют нестрогими.

Неравенства отношений < и , а также неравенства > и называются неравенствами одного знака (одного смысла), неравенства < и > , а также > и ,< и , и называются неравенствами разного смысла (разного знака)

Свойства числовых неравенств

Среди свойств числовых неравенств выделяют следующие:

1. a > b, тогда b < a. Верно и обратное.

2. Если a > b и b > c, то a > c.

3. Если a > b, то для любого Верно и обратное.

4. Если a > b, то для любого Верно и обратное.

5. Если a > b, то для любого Верно и обратное.

6. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. (Возможность почленного сложения неравенств одинакового смысла)

7. Если a > b и c < d, то a ? c > b ? d. (Возможность почленного вычитания неравенств разного смысла)

8. Если и , то ac > bd (Возможность почленного умножения неравенств одинакового смысла)

9. Если и ,то a / c > b / d. (Возможность почленного деления неравенств разного смысла)

10. Если , то для любого натурального n справедливо (Возможность почленного умножения n одинаковых неравенств неотрицательных чисел)

На странице 58 вводятся понятия «равенство и неравенство». А для закрепления данной темы Моро предлагает следующие задания:

1. Составь два верных равенства и два верных неравенства, используя выражения: 23 + 12; 40 - 16; 12 + 23; 40 - 5.

Выполняя данное упражнение, дети хорошо видят отличие равенства от неравенства. В данном упражнении отрабатываются понятия равенство, неравенство, развивается логическое мышление.

2. Проверь, верны ли следующие записи:

9 · 3 = 27;

16 - 8 =16;

6 + 9 = 9 + 6;

2 · 7 > 2 · 6;

2 · 9 < 9 · 2;

37 + 6 > 37.

Данное упражнение направленно на отработку вычислительных навыков.

3. Вставь вместо звездочек знаки плюс или минус, чтобы получились верные равенства:

76 * 4 * 7 = 73;

38 * 5 * 6 = 39.

Направленно на развитие вычислительных навыков, развитие логического мышления.

4. Подбери такие числа, чтобы получились верные равенства или верные неравенства:

9 · 6 = 6 ·__;

8 · 2 > __;

6 : 3 < __;

56 - 8 <__.

5. Поставь, где нужно, скобки так, что бы получились верные равенства:

76 - 20 + 5 = 51;

53 - 18 - 15 = 20.

Данное упражнение одновременно отрабатывает знания порядка действий.

6. Запиши неравенство:

а) Произведение чисел 6 и 2 больше их частного.

б) Сумма чисел 36 и 9 меньше разности этих чисел.

Данная в учебнике система упражнений довольно таки разнообразна, интересна, присутствуют упражнения направленные на развитие логического мышления, на отработку вычислительных навыков, что очень важно в младших классах. Но не достаточно занимательности, игровой формы. И для повышения интереса у детей к математике можно использовать следующие задания:

1. Вставь вместо черточки одну и ту же цифру так, чтобы равенство стало верным:



__+ 3 __ + 5__ = 111;

__0 + __1 +__2 = 273.

2. Переставляя цифры, сделай равенство верным:

73 - 25 = 58.

3. В окошко по очереди показываются числа 3, 7, 6, 4. В каких случаях получается верное равенство, и в каких не верное?

4. Зайцы играют в футбол. Хитрый вратарь решил пропустить в ворота мяч, который сделает равенство верным: 4 + = 11. Какой заяц забьет гол? Удастся ли забить гол игроку под номером 9?

5. Из чисел 56, 6, 18 составьте все возможные разности. Какие из этих разностей не имеют смысла?

6. Назовите все цифры, при подстановке которых вместо звездочки получается верное неравенство:

3 * 2 > 355;

* 68 < 443;

875 > 87 *;

406 < 4 * 7;

*68 < 268.

При выполнении данного упражнения закрепляются правила сравнения чисел.

7. Неравенство имеет вид 10 - х < 5. Какие значения может принимать х? Укажите все значения х, при которых получится:

а) Верное неравенство;

б) Неверное неравенство.

Здесь представлены задания повышенной трудности, но при выполнении которых происходит более глубокое усвоение темы, также ведется подготовка к изучению уравнений в частности это происходит при выполнении упражнения под номером 7. Но так как такие неравенства не вводятся в начальной школе объяснить его следует более подробно и помочь в случае затруднения.

По другим программам знакомство с числовыми равенствами и неравенствами происходит в первом классе.

3.2 Уравнения, неравенства

Выражение с переменными - это совокупность одного или нескольких чисел, переменных и функций, соединенных знаками арифметических операций и скобками. Значения выражений с переменными зависят от значений, входящих в него переменных. Последовательность выполнения операций здесь та же, что и для числовых выражений. Выражения с переменными иногда бывает полезно упрощать, выполняя различные действия - вынесение за скобки, раскрытие скобок, группировки, сокращение дробей, приведение подобных и т.д. Так же для упрощения выражений часто используют различные формулы, например, формулы сокращенного умножения, свойства различных функций и т. д.

Пример:

Упростить выражение 3 * (x - 4 * y + 11) + 12 * y - 30

1. Раскроем скобки:

3 * (x - 4 * y + 11) + 12 * y - 30 = 3 * x - 12 * y + 33 + 12 * y - 30;

2. Приведем подобные:

3 * x - 12 * y + 33 + 12 * y - 30 = 3 * x + 3;



3. Теперь можно оставить выражение в таком виде, а можно вынести 3 за скобки:

3 * x + 3 = 3 * (x + 1).

Уравнение -- равенство вида ѓ(x,) = g(x,), где f(x) и g(x) - выражения с переменной.

Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.

Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.

Примеры уравнений

x + 3 = 2x

ex + y = x + y

an + bn = cn, где a,b,c,n -- натуральные числа.

Неравенство -- соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования -- линейные неравенства вида



a1x1+ a2x2 +... + anxn * b,

где a1,..., an, b -- постоянные и знак * -- один из знаков неравенства, напр. ?, <, ?.

В матричной алгебре знак ? означает, что все элементы матрицы, расположенной слева, не меньше (а хотя бы часть из них больше) соответствующих элементов матрицы, расположенной справа. В отличие от этого знак ? означает, что все элементы левой матрицы не меньше соответствующих элементов правой матрицы; в частности, все соответствующие элементы могут быть попарно равны. (Иногда применяются и другие обозначения.)

Классификация неравенств

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:

алгебраические

трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:

Неравенство - алгебраическое, второй степени.

Неравенство - трансцендентное.

На странице 129, изучают тему «Выражения с переменными» и закрепляют при помощи следующего ряда заданий:

1. Прочитай выражение: в - 9. Найди его значение, если в = 20, 18, 12, 9.

В данном задании происходит не только письменное, но и устное знакомство с выражениями с переменной, то есть при произношении выражения дети воспринимают не только зрительно, но и при помощи слуховых анализаторов.



2. Заполни таблицу:

в	0	1	2	3	4	5
20·в

В упражнении дается понятие о переменной, а так же о значениях переменной.

3. Запиши выражение а + в. Вычисли значение выражения, если а = 16, в = 37.

В данном задание вводится выражение с двумя переменными, но оно не продуктивно тем, что в нем присутствует только одно, из четырех, арифметическое действие - сложение.

4. Вычисли значения выражения а : с при значениях букв, указанных в таблице:

а	23	34	84	0	36	36
с	23	17	28	81	1	12

Данное задание аналогично предыдущему.

То есть, видно, что в учебнике предложены однотипные задания, прием, необходимо выполнить целых четыре упражнения, чтобы использовать все четыре арифметических действия, так как формирование вычислительных навыков - это одна из важнейших задач начальной школы. И поэтому необходимо использовать более разнообразные и продуктивные задания:

1. Сравни:

а + 301 … а + 103;

в - 408 … в + 48;

с - 206 … с - 260;

97 - х … 79-х.



Упражнение направленно на развитие логического мышления, так как дети сравнивают выражение, содержащие переменную, отрабатываются правила сравнения.

2. Можно ли назвать все числа, которые обращают неравенство в верное: х > 5; y < 15; х + 1 < 1.

Данное задание как и предыдущие, содержат в себе несколько заданий. во-первых, отрабатывается тема «выражения с переменной», а так же значение переменной, так как для ответа на поставленный вопрос ребенок может подставлять различные значения переменной. Во-вторых, необходимо выполнить сравнение и данное упражнение развивает логическое мышление, так как ответить на поставленный вопрос можно, не подставляя значения переменных.

3. Задача: Платье стоит а рублей, а костюм - в рублей. На сколько платье дешевле костюма?

Решение данной задачи заключается в составление буквенного выражения.

Так же во втором классе изучается тема «Уравнения». И для закрепления данной темы Моро предлагает следующие задания:

1. Прочти уравнение и реши их:

х + 5 = 9;

12 - х = 7;

х -3 = 6;

7 + х = 13.

2. Реши уравнения и сделай проверку.

В данных заданиях детям предлагается решить уравнения. Даны простейшие уравнения без дополнительных заданий, то есть задание направленно только на закрепление темы, без какой либо занимательности.



3. Найди уравнения и реши их:

х - 8 = 9;

5 + 7 = 12;

а + 17;

8 + х = 14.

Это задание учит детей отличать уравнения от числовых выражений.

4. Назови уравнения, в которых неизвестное число равно 8:

х · 2 = 20;

6 · х = 48;

х : 2 = 5;

40 : х = 5.

Задание развивает не только умение решать уравнения, но и внимательность.

Заданий на данную тему очень мало, они все однообразны, не содержат элементов занимательности, поэтому их необходимо дополнять:

1. Какими числами можно заменить фигурки:

? + ? = 1 ? : ? = 25

? - ? = 25 ? · ? = 0

Задание очень хорошо развивает логическое мышление учащихся, внимательность, а так же содержит элемент занимательности. Его можно использовать, как подготовительное к изучению темы «Уравнения». Содержит примеры на все арифметические действия.

2. В записи, каких уравнений допущена ошибка? Найди неизвестное делимое:

х : 5 = 3 (ост. 2) с : 2 = 7 (ост. 1)

а : 7 = 4 (ост. 1) р : 6 = 9 (ост. 7)

в : 9 = 2 (ост. 9) к : 3 = 12 (ост. 2)

Данное задание формирует умение не только решать уравнения, но и решать примеры с остатком.

3. Наташа задумала число, умножила его на два, прибавила 5. Затем она разделила результат на 7, прибавила 49 и получила 52. Какое число задумала Наташа?

Х · 2 +5 : 7 + 49=52

Этот способ помогает детям быстро и правильно решать любые уравнения, даже длинные, с большим количеством арифметических действий. А так же присутствует элемент занимательности.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что в учебнике Моро второго класса мало упражнений развивающих логическое мышление, внимательность. Практически отсутствуют задания с элементами занимательности. Упражнения однотипны. Поэтому просто необходимо дополнять данные в учебнике упражнения дополнительными заданиями развивающего характера.

По программе Истоминой знакомство с уравнениями и неравенствами происходит в 4 классе.

По программе Петерсон знакомство происходит в 4 классе.

По программе Аргинской в 3 классе.



3.3 Правильные и неправильные рассуждения

В логике рассуждения делятся на:

1. правильные;

2. неправильные.

Правильное рассуждение - это рассуждение, в котором соблюдаются все правила и законы логики. Неправильное соображения - это рассуждение, в котором допускаются логических ошибок вследствие нарушения правил или законов логики.

Логические ошибки бывают двух видов:

1. паралогизмы;

2. софизмы.

Паралогизмы - это логические ошибки, которые допускаются в процессах рассуждения неумышленно (по незнанию).

Софизмы - это логические ошибки, которые допускаются в процессах рассуждения намеренно с целью введения в заблуждение оппонента, обоснование ложного утверждения, какой вздор т.д.

Софизмы известны еще с давних времен. Такими соображениями широко пользовались в своей практике софисты. Именно от них и происходит название «софизм» До нашего времени дошли многочисленные примеры рассуждений, которые применяли софисты в различных спорах. Приведем некоторые из них.

Самый известный античный софизм - это рассуждение, получившее название «Рогатый».

Представьте себе ситуацию: один человек хочет убедить другую в том, что та имеет рога. Для этого приводится такое обоснование: «То, чего ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Итак, у тебя есть рога ».

Это размышления на первый взгляд кажется правильным. Но в нем допущено логическую ошибку, которую человек, не разбирается в логике, вряд ли сможет сразу найти.

Приведем еще один пример. В Протагора (основателя школы софистов) был ученик Еватл. Учитель и ученик заключили соглашение, согласно которому Еватл заплатить за обучение лишь после того, как выиграет свой первый судебный процесс. Но, окончив учебу, Еватл не спешил выступать в суде. Терпение у учителя лопнуло, и он подал на своего ученика в суд «Еватл в любом случае должен будет мне заплатить, - размышлял Протагор. - Он либо выиграет этот процесс, или проигрывает его. Если выиграет - заплатить по договоренности; если проиграет - заплатит по приговору суда ». «Ничего подобного, - возражал Еватл. - Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его.

Если выиграю - решение суда освободит меня от платы, если же проиграю - не буду платить по нашей договоренности *.

В этом примере также допускается логическая ошибка. А какая именно - выясним далее.

Основной задачей логики является анализ правильных соображений. Специалисты из логики стремятся выявить и исследовать схемы таких соображений, определить их различные типы и т.д. Неправильные рассуждения в логике анализируются лишь с точки зрения тех ошибок, которые в них допущено.

Следует отметить, что правильность рассуждения еще не означает истинности его посылок и заключения. Вообще логика не занимается определением истинности или ложности посылок и выводов соображений. Но в логике существует такое правило: если соображения построено правильно (в соответствии с правилами и законами логики) и при этом оно опирается на истинные предпосылки, то вывод такого рассуждения всегда будет безусловно истинным. В других случаях истинность вывода не может быть гарантирована.

Так, если соображения построено неправильно, то, даже, несмотря на то, что его предпосылки - истинные, заключение такого рассуждения может быть в одном случае - истинным, а во втором - ложным.

Рассмотрим для примера такие два соображения, которые построены по одной неправильной схеме:

(1) Логика - наука.

Алхимия - не логика.

Алхимия - не наука.

(2) Логика - наука.

Право - не логика.

Право - не наука.

Очевидно, что в первом рассуждении заключение является истинным, но во втором - он неправильный, хотя предпосылки в обоих случаях - истинные утверждения.

Так же нельзя гарантировать истинности выводу соображения, когда хотя бы один из его посылок будет неверным, даже если это рассуждение - правильное.

Правильное рассуждение - рассуждение, в котором одни мысли (выводы) с необходимостью вытекающих из других мнений (посылок).

Примером правильного рассуждения может быть такое умозаключение: «Каждый гражданин Украины должен признать ее Конституцию. Все народные депутаты Украины - граждане Украины. Итак, каждый из них должен признать Конституцию своего государства», а примером истинной мысли - суждение: «Есть граждане Украины, которые не признают крайней мере некоторых статей Конституции своего государства».

Неправильным надо считать такое рассуждение: «Поскольку экономический кризис в Украине явно дает о себе знать после провозглашения ее самостоятельности, то последнее и является причиной этого кризиса». Логическую ошибку такого типа называют «после этого - вследствие этого». Она заключается в том, что временную последовательность событий в подобных случаях отождествляют с причинно. Примером неистинным мнения может быть любое положение, которое не соответствует действительности, скажем, утверждение, будто украинской нации вообще не существует.

Целью познания является получение истинных знаний. Для того чтобы получить такие знания с помощью рассуждений, нужно, во-первых, иметь истинные предпосылки, а во-вторых, правильно их сочетать, рассуждать по законам логики. При использовании ложных посылок допускают фактических ошибок, а при нарушении законов логики, правил построения соображений делают логические ошибки. Фактических ошибок, конечно, надо избегать, что не всегда удается. Что касается логических, то человек высокой интеллектуальной культуры может избежать этих ошибок, поскольку давно уже сформулированы основные законы логически правильного мышления, правила построения рассуждений и даже осмысленно типичные ошибки в рассуждениях.

Логика учит правильно рассуждать, не допускать логических ошибок, отличать правильные рассуждения от неправильных. Она классифицирует правильные соображения с целью их системного осмысления. В этом контексте может возникнуть вопрос: поскольку соображений множество, то можно, выражаясь словами Козьмы Пруткова, охватить безграничное? Да, можно, поскольку логика учит рассуждать, ориентируясь не на конкретное содержание мыслей, которые входят в состав рассуждения, а на схему, структуру рассуждения, форму сочетания этих мыслей. Скажем, форма рассуждения типа «Каждый х у, а данный г является х; следовательно, данный г у» правильная, и знание ее правильности включает в себя значительно более богатую информацию, чем знание правильности отдельного содержательного рассуждения аналогичной формы. А форма рассуждения по схеме «Каждый х у, а г тоже есть у; следовательно, г является х» относится к неправильным. Как грамматика изучает формы слов и их сочетаний в предложении, абстрагируясь от конкретного содержания языковых выражений, так и логика исследует формы мнений и их сочетаний, отвлекаясь от конкретного содержания этих мыслей.

Чтобы выявить форму мысли или соображения, их необходимо формализовать.

3.4 Высказывания с кванторами

Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат Р(х): «Простое число х - нечетно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число х нечетно» (это высказывание ложно, так как 2 - простое четное число). Подставив перед данным предикатом Р(х) слово «существует», получим истинное выказывание «Существует простое число х, являющееся нечетным» (например х=3). Таким образом, превратить предикат в высказывание можно поставив перед предикатом слова: «все», «существует», и др., называемые в логике кванторами.

Квантор -- общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», ошибочно: «для любого…», «любой…») и квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»). В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или навешиванием квантора. Существует также квантор плюральности (квантор Решера) W (перевёрнутая M). Wx означает «для большинства x».

Квантор -- В логике предикатов, большое значение имеют две операции называемые:

1) Квантор «Существования»

2) Квантор «Общности»

Примеры

Используя кванторы, из данного предиката можно получить, например, следующее высказывания: 1) любое натуральное число кратно 5; 2) каждое натуральное число кратно 5; 3) все натуральные числа кратны 5; 4) существуют натуральные числа, кратные 5; 5) найдется натуральное число кратно 5; 6) хотя бы одно натуральное число кратно 5.

Первые три высказывания запишутся так: и ложны. 4-6 - истинны.

Кванторы в математической логике

Высказывание означает, что область истинности предиката P(x) совпадает с областью значений переменной x.

(«При всех значениях (x) утверждение верно»).

Высказывание означает, что область истинности предиката P(x) непуста.

(«Существует (x), при котором утверждение верно»).

Операции над кванторами

Правило отрицания кванторов -- применяется для построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы, и имеет вид:



Заключение

В ходе написания курсовой работы были проработаны, проанализированы и систематизированы материалы, посвященные математической логике.

Целью исследования было обоснование необходимости и возможности использования математической логики при обучении математике в начальной школе.

В ходе работы были определены и решены задачи исследования:

- были выявлены психолого-педагогические и методические основы формирования у детей элементов математической логики в процессе обучения в начальной школе;

- была обоснована необходимость совершенствования практического материала при обучении математике в начальной школе с целью формирования у учащихся элементов математической логики;

- были определены требования к упражнениям для формирования у учащихся элементов математической логики.

Данная курсовая работа является лишь началом в изучении использования элементов математической логики в начальной школе. Следует продолжать исследования в этом направлении. И тогда результаты работы по изучению использования элементов математической логики в начальной школе могут стать основой для учителей и методистов при совершенствовании программ, учебников и методических пособий.



Список литературы

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах (сборник докладов, под ред. Моро М.И. и Пышкало A.M.).- М.: Просвещение. 1977.

2. Аляев Ю.А. Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика. -- М.: Финансы и статистика, 2006. -- 368 с.

3. Андронов И.К. Проблемы логики и методологии познания. - М.: Наука. 1972.

4. Возрастные возможности усвоения знаний (под. ред. Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова). - M: Просвещение. 1966.

5. Готманова А.Д. Логика. - М.: Высшая школа. 1986.

6. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования. - НШ, 1990, №6.

7. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика: Учеб. пособие для вузов. - М., Наука, 1987.-336с.

8. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. -- М.: КомКнига, 2006. 240 с. (Классический университетский учебник.)

9. Кондаков Н.И. Логический словарь - справочник. - М.: Наука. 1976.

10. Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева Математическая Логика. Курс лекций. 3адачник-практикум и решения. Серия Учебники для вузов. - Санкт-Петербург, Издательство "Лань", 1999 - 288 с.

11. Магомедов Н.Г. Игровые формы усвоения элементов математической логики в начальных классах. Ж. Начальная школа, (№4-6). -М.: 2000.

12. Математическая логика. Под общей ред. А.А. Столяра. Минск, ВШ, 1991.

13. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М., Наука, 1971.-322с.

14. Новиков П.С. Основы математической логики. - М.: Наука. 1965.

15. Пономарев В.Ф. Математическая логика. Часть 1. Логика высказываний. Логика предикатов. Учебное пособие. - Калининград: КГТУ, 2001. - 140с.

16. Робетр Р., Столл Множества. Логика. Аксиоматические теории. - М.: Просвещение. 1968.

17. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. -- 2-е изд. -- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. -- 128 с.

18. Шенфилд Д. Математическая логика. - М.: Наука. 1975.