Теория цепных дробей
Представление рациональных чисел цепными дробями. Свойства подходящих дробей. Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь, его приближение с заданным ограничением для знаменателя. Квадратические иррациональности.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.03.2010 |
| Размер файла | 530,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
.
Положительное решение и есть x.
.
Найдем .
=4+=
Ответ: .
b) ((2, 1))=
=(2, 1, )
Сейчас мы можем найти таким же путем, как и в задаче a), но можно решить задачу легче. Составим таблицу подходящих дробей:
|
2 |
1 |
|||
|
2 |
3 |
3+2 |
||
|
1 |
1 |
+1 |
=
D=4+4·2=12
Положительное решение и есть искомое .
Ответ: .
8. Решить в целых числах уравнения:
a) 143x+169y=5;
b) 2x+5y=7;
c) 23x+49y=53.
Решение:
a) 143x+169y=5 - диофантово уравнение.
(143, 169)=13(НОД находим с помощью алгоритма Евклида)
уравнение решений не имеет.
Ответ: .
b) 2x+5y=7
(2, 5)=1 уравнение имеет решение в целых числах.
Разложим в цепную дробь. =(0, 2, 2). Составим все подходящие дроби.
; ;
На основании свойства подходящих дробей
получим
2·2-1·5 =(-1)3 или 2·2+5(-1)=-1
2·(-14)+5·7=7, то есть - частное решение.
Все решения могут быть найдены по формулам
или
c) 23x+49y=53
(23, 49)=1 существуют целые решения.
=(0, 2, 7, 1, 2)
, , , ,
17·23-8·49=(-1)5
23·17+49·(-8)=-1
23·(-901)+49·424=53
или
9. Разложите число 150 на два положительных слагаемых, одно из которых кратно 11, а второе - 17.
Решение: Пусть 11x - первое число 11x>0 x>0;17y - второе число 17y>0 y>0.
Тогда
11x+17y=150
(11, 17)=1существуют решения.
(11, 17)=(0, 1, 1, 1, 5)
|
0 |
1 |
1 |
1 |
5 |
||
|
0 |
1 |
1 |
2 |
11 |
||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
17 |
11·3-2·17=(-1)5=-1
11·3+17·(-2)=-1
11·(-450)+17·300=150
x=-450+27·17=999 - первое число
y=300-11·27=351 - второе число.
Ответ: 99; 51.
10. Решить уравнения Пелля:
a)
b)
Решение:
a)
Представим в виде цепной дроби:
=(5, (10)).
Количество чисел в периоде нечетное (одна)
=(5; 10)=.
- наименьшее положительное решение.
Ответ: x=51, y=10.
b)
=(4, (2, 1, 3, 1, 2, 8))
Количество чисел в периоде четное (шесть)
|
4 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
||
|
4 |
9 |
13 |
48 |
61 |
170 |
||
|
1 |
2 |
3 |
11 |
14 |
39 |
Ответ: x=170, y=39.
Заключение
Данная курсовая работа показывает значение цепных дробей в математике.
Их можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида
ax+by=c.
Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения.
Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных уравнений, например, так называемого уравнения Пелля:
().
Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.
В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.
Литература
1. М.Б. Балк, Г.Д. Балк. Математика после уроков. М, “Просвещение”, 71.
2. А.А. Бухштаб. Теория чисел. М, “Просвещение”, 96.
Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М, “Просвещение”, 84.
И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М, “Наука”, 72.
А.А. Кочева. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М, “Просвещение”, 84.
Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М, “Просвещение”, 93.
Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, “Просвещение”, 74.
Математическая энциклопедия, том V, М, “Советская энциклопедия”, 85.
Ш.Х. Михелович. Теория чисел. М, “Высшая школа”, 67.
Подобные документы
Из истории десятичных и обыкновенных дробей. Действия над десятичными дробями. Сложение (вычитание) десятичных дробей. Умножение десятичных дробей. Деление десятичных дробей.
реферат [8,3 K], добавлен 29.05.2006На протяжении многих веков на языках народов ломаным числом именовали дробь. Необходимость в дробях возникла на ранней ступени развития человечества. Виды дробей. Запись дробей в Египте, Вавилоне. Римская система дробей. Дроби на Руси - "ломаные числа".
презентация [1022,3 K], добавлен 21.01.2011Особенности возникновения и использования дробей в Египте. Особенности применения шестидесятеричных дробей в Вавилоне, греческими и арабскими математиками и астрономами. Отличительные черты дробей в Древнем Риме и Руси. Дробные числа в современном мире.
презентация [1,3 M], добавлен 29.04.2014Класс рациональных функций. Практический пример решения интегралов. Линейная замена переменной. Сущность и главные задачи метода неопределенных коэффициентов. Особенности, последовательность представления подынтегральной дроби в виде суммы простых дробей.
презентация [240,6 K], добавлен 18.09.2013Появление слова "дробь" в русском языке в VIII веке. Старые названия дробей: полтина, четь, треть, полчеть, полтреть. Особенности древнеримской дробной системы. Л. Пизанский - ученый, который стал использовать и распространять современную запись дробей.
презентация [2,5 M], добавлен 18.11.2013Уравнение в дробях количества знаков после запятой, выполнение сложения и вычитания, не обращая внимания на запятую. Практическая значимость теории десятичных дробей. Самостоятельная работа с последующей проверкой результатов, выполнение вычислений.
презентация [35,7 K], добавлен 02.07.2010Обозначение десятичной дроби в разное время. Использование десятичной системы мер в Древнем Китае. Запись дроби в одну строку числами в десятичной системе и правила действия с ними. Симон Стевин как фландрский учений, изобретатель десятичных дробей.
презентация [169,0 K], добавлен 22.04.2010Первая дробь, с которой познакомились люди в Египте. Числитель и знаменатель дроби. Правильная и неправильная дробь. Смешанное число. Приведение к общему знаменателю. Неполное частное. Целая и дробная часть. Обратные дроби. Умножение и деление дробей.
презентация [48,9 K], добавлен 11.10.2011Приближение действительных чисел конечными десятичными дробями. Действия над комплексными числами. Свойства функции и способы ее задания. Тригонометрические функции числового аргумента. Частные случаи тригонометрических уравнений, аксиомы стереометрии.
шпаргалка [2,2 M], добавлен 29.06.2010Нахождение неопределенных интегралов (с проверкой дифференцированием). Разложение подынтегральных дробей на простейшие. Вычисление определенных интегралов, представление их в виде приближенного числа. Вычисление площади фигуры, ограниченной параболой.
контрольная работа [123,7 K], добавлен 14.01.2015
