главнаяреклама на сайтезаработоксотрудничество Коллекция рефератов Otherreferats
 
 
Сколько стоит заказать работу?   Искать с помощью Google и Яндекса
 





Вища математика

Функції багатьох змінних: поняття, область визначення, неперервність. Інтегральне числення функції кількох змінних. Практичне обчислення подвійного та потрійного інтегралів в декартовій та полярній системах координат та визначення його властивостей.

Рубрика: Математика
Вид: курс лекций
Язык: украинский
Дата добавления: 13.09.2009
Размер файла: 299,7 K

Полная информация о работе Полная информация о работе
Скачать работу можно здесь Скачать работу можно здесь

рекомендуем


Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже.

Название работы:
E-mail (не обязательно):
Ваше имя или ник:
Файл:


Cтуденты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны

Подобные работы


1. Функція, її границя та неперервність
Суть функції багатьох змінних, її означення і символіки. Границя і неперервність функції багатьох змінних. Визначення відкритої та замкненої області. Множина точок площини, для яких задана формула має зміст, як область визначення. Функція двох змінних.
реферат [289,8 K], добавлена 01.05.2011

2. Похідні та диференціали функції багатьох змінних
Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
реферат [278,8 K], добавлена 02.05.2011

3. Потрійний інтеграл
Характеристика та поняття потрійного інтеграла, умови його існування та основні властивості. Особливості схеми побудови та обчислення потрійного інтегралу, його застосування для розв’язання рівнянь. Правило заміни змінних в потрійному інтегралі.
контрольная работа [400,3 K], добавлена 23.03.2011

4. Дослідження кратних інтегралів
Поняття подвійного та потрійного інтегралів. Кратні інтеграли в криволінійних координатах. Геометричні й фізичні додатки кратних інтегралів. Криволінійні й поверхневі інтеграли. Спосіб обчислення криволінійного інтеграла першого та другого роду.
курсовая работа [278,9 K], добавлена 14.01.2011

5. Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової системи
Теоретичні відомості з курсу числення функцій однієї та багатьох змінних, наглядні приклади та вправи з розв’язанням. Тренувальні вправи для розв’язання на практичних заняттях і самостійної роботи. Зразки контрольних робіт з кожної розглянутої теми.
учебное пособие [487,6 K], добавлена 10.04.2009

6. Диференціальні рівняння
Визначення основних понять і вивчення методів аналізу безкінечно малих величин. Техніка диференціального і інтегрального числення і вирішення прикладних завдань. Визначення меж числової послідовності і функції аргументу. Обчислення інтегралів.
курс лекций [570,1 K], добавлена 14.03.2011

7. Методи математичного аналізу при розв'язанні фізичних задач
Застосування методів математичного аналізу для знаходження центрів мас кривих, плоских фігур та поверхонь з використанням інтегральних числень функцій однієї та кількох змінних. Поняття визначеного, подвійного, криволінійного та поверхневого інтегралів.
курсовая работа [515,3 K], добавлена 29.06.2011

8. Застосування частинних похідних
Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми.
реферат [713,9 K], добавлена 14.05.2011

9. Системи числення та функції алгебри логіки. Булеві функції. Синтез комбінаційних схем
Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Перетворення і передавання інформації. Булеві функції змінних, їх мінімізація. Реалізація функцій алгебри логіки на дешифраторах. Синтез комбінаційних схем на базі мультиплексорів.
курсовая работа [3,2 M], добавлена 02.09.2011

10. Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні
Обчислення довжини дуги для просторової кривої, що задана параметрично. Варіант розрахунку у випадку задання кривої в полярній системі координат. Формули для обчислення площі поверхні обертання. Вираз площі циліндричної поверхні через елементарні функції.
научная работа [103,7 K], добавлена 12.05.2010


Другие работы, подобные Вища математика


Розділ 7. Функції багатьох змінних

Лекція 7.1. Поняття функції багатьох змінних. Область визначення. Лінії рівня і поверхні рівня. Границя функції. Неперервність. Частинні похідні функції.

Для функції однієї змінної залежна змінна, тобто функція, повністю визначається (залежить) за значенням однієї незалежної змінної.

П-1. Об'єм кулі

Але існують функціональні залежності від багатьох незалежних змінних (двох, трьох і більше).

П-2. Об'єм кругового циліндра є функцією від двох незалежних змінних і від радіусу , його основи і від висоти циліндра, також залежність виражається за формулою

Вивчаючи фізичні стани будь-яких тіл, ми часто зміну їхніх властивостей наприклад температури тіла, густина і т.д. від точки до точки. Всі ці величини функціональних (є функціями) від координат точки, тобто температура є функцією від трьох незалежних змінних.

Якщо фізичний стан тіла змінюється ще й за часом, то ці величини є функціями чотирьох незалежних змінних, наприклад

Такого роду залежності зв'язані з функціями багатьох змінних. Нехай задано деяку множину площини .

О-1. Якщо кожній точці за певним законом відповідає одне і тільки одне дійсне значення , то кажуть, що на точки визначено функцію від двох незалежних і або або .

При цьому множину називають областю визначення функції, або областю існування функції

Якщо функцію задано аналітично (за допомогою формули чи кількох формул) і не вказано області визначення, то під останньою розумітимемо множину всіх точок , при яких заданий аналітичний вираз має смисл. Для функції двох трьох змінних область визначення часто можна задавати геометрично.

П-3. Знайти область визначення функції Геометрично це є внутрішність параболи включаючи і точки самої параболи.

Графіком функції двох змінних є геометричне місце точки трьохвимірного простору , тобто функція , визначає деяку поверхню, проекція якої на площину є область визначення .

П-4. Виконати рис. поверхні і її області визначення - верхня частина сфери з .

Областю визначення є сукупність точок , які задовольняють нерівність , або , а це є точки круга .

Множиною значень даної функції є відрізок осі , тобто .

Більш простою геометричною ілюстрацією функції двох змінних є лінії рівня, які визначаються рівнянням , де - довільні сталі взяті зі значень функції. Дане рівняння задає деяку однопараметричну сім'ю кривих в площині .

Геометрично, це означає, що зроблено переріз поверхні площинами і спроектована на площину . Ці крив і є лініями рівня .

Функції трьох змінних зобразити вже не можна, тому для них водять поняття поверхні рівня.

Поверхнями рівня функції називається множиною точок з області визначення функції, в яких функція набуває стале значення. Поверхні рівня задають рівнянням .

П-5. Знайти і побудувати рисунок ліній рівня функції

Границя функції

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Околом точки називається сукупність усіх точок таких, що віддаль

О-2. (Гепрія Гейне (1821-1881)- нім. Математик) Якщо для довільної послідовності точок взятої з області визначення функції і збіжної до точки

Відповідно послідовність значень функції має практично одне і те саме число .

то точка називається границею функції в точці і позначають

О-3. (Коші (1789-1857) - франц.)

Число називається границею функції в точці , якщо для існує таке , що для всіх точок , які лежать в - околі точки виконується нерівність

Геометрично це означає, що якщо тільки поточна точка з області визначення функції наближається до точки і відстань між ними стає меншою ніж , то апліката відповідної точки графік функції відрізняється від числа менше ніж на .

Неперервність

Нехай ф-я визначена в деякому околі точки

О-4. Функція називається неперервною в точці , якщо

Даній умові неперервності можна надати іншого вигляду. Введемо позначення приріст аргументів

- повний приріст функції в точці

З рівності О-4 маємо , або

О-5. Ф-я називається неперервною в точці , якщо повний приріст її в цій точці прямує до 0. Коли приріст її аргумент та прямують до нуля.

П-6. Дослідимо на неперервність функцію .

Визначення на всій числовій площині. Нехай довільна точка. Знайдемо

функція неперервна.

О-6. Функція неперервна на множині , якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Властивості ф-ції багатьох змінних неперервної в замкненій і обмеженій області аналогічні величини функції однієї змінної неперервної на відрізку.

Частинні похідні функції двох змінних

Розглянемо ф-ю втрачену в деякому околі точки .

1) Зафіксуємо змінну . Дістанемо функцію однієї змінної . Якщо змінній в точці надано приріст , то отримаємо частинний приріст функції по змінній точці :

Відношення виражає середню швидкість зміни функції, - на відрізку , тобто при переміщенні точки в точку .

Скористаємося означенням похідної функції однієї змінної і сформулюємо.

О-7. Частинною похідною по від функції граничне відношення частинного приросту до приросту при прямуванні до нуля і позначають або , або . Таким чином

2) Якщо розглянемо змінну , а змінній в точці надамо приросту ,то отримаємо частинний приріст функції по змінній , в точці :

Відношення виражає середню швидкість зміни функції на відрізку , тобто при переміщенні з точки в точку , є границя цієї середньої швидкості при дає справжня швидкість зміни ф-ції по зміні .

О-8. Частинною похідною ф-ції по змінній називається границя відстаней частинного приросту до приросту при прямуванні до нуля ї позначають або , або

Таким чином,.

Для довільної точки частинні похідні позначимо або , а частинні прирости . У цьому разі

.

При знаходженні частинної похідної функції по , змінна вважається сталою, а при знаходженні частинної похідної по , змінна вважається сталою.

З'ясуємо геометричний зміст частинних похідних функції в точці

Графіком ф-ції є деяка поверхня (див. Рис.)

визначають величину швидкості з якою відбувається зміна функції при зміні тільки , або тільки ,

а також вказує на характер зміни (зростання чи спадання ).

П-7. Знати частинні похідні функції в точці

Розділ 10. Інтегральне числення функції кількох змінних.

Лекція 10.1. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтегралу. Обчислення подвійного інтегралу і його властивості. Обчислення подвійних інтегралів в декартовій системі координат.

Розглянемо функцію двох змінних , областю визначення якої є деяка квадровна область . Зауважимо, що коли межа області складається із численного числа неперервних кривих, визначених рівняннями виду або , де - неперервні функції своїх аргументів, то така область КВАДРАТОВНА.

Діаметром замкненої області називають найбільшу відстань між двома точками і позначають . Наприклад, діаметром плоского паралелограма є довжина його найбільшої діагоналі.

1. Задача про об'єм циліндричного тіла

Геометричне тіло, обмежене зверху поверхнею , з боків - циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі , а знизу - замкненою, обмеженою квадровною областю , яка лежить у площині називають циліндричним.

Контур квадровної області є напрямною лінією циліндричної поверхні.

Обчислюємо його об'єм.

Розіб'ємо кривими область на довільних частин , , попарно, без спільних внутрішніх точок: . На кожній області , як на основі, побудуємо циліндричний стовпчик з твірними, паралельними осі . У кожній з області виберемо довільну точку .

Тоді , де - площа області є наближеним значенням об'ємів кожного циліндричного стовпчика. Сума дає наближене значення об'єму заданого циліндричного тіла. Точне значення об'єму циліндричного тіла дістанемо, коли в останній сумі перейдемо до границі при умові, що , тобто (1) Таким чином, задача про обчислення об'єму циліндричного тіла, зводиться до знаходження границі виду (1).

2. Задача про масу матеріальної пластинки

Нехай плоска неоднорідна матеріальна пластинка, має форму замкненої області . Площа цієї області . (рис. 2.). Припустимо, що густина в кожній точці пластинки і визначається функцією .

Якщо густина , то пластинка однорідна і маса . Знайдемо масу неоднорідної пластинки, тобто коли .

Розіб'ємо область кривими довільно на частин . Площі кожних частин позначимо .

В кожній частинці вибираємо довільним чином точку .

Припустимо, що густина в даній області стала і дорівнює .

Тоді величина є наближеним значенням маси , а сума наближено визначає масу всієї пластинки.

Точне значення маси заданої пластинки (2)

Таким чином, задача обчислення маси матеріальної неоднорідної пластинки звелась до обчислення границі виду (2).

Означення подвійного інтегралу та його властивості

З математичної точки зору розв'язки (1) і (2) мають однаковий зміст.

О-1 Подвійним інтегралом від функції по області називається границя (3)

За умови, що вона не залежить від способу розбивання області на частини, та вибору точок в кожній частині області .

Згідно (3) для (1) і (2) маємо .

Ці формули виражають відповідно геометричне і фізичне тлумачення подвійного інтегралу.

Достатньою умовою існування подвійного інтегралу є неперервність функції в замкненій обмеженій квадратовій області .

Оскільки є можливість довільного розбиття області і виконавши таке розбиття прямими паралельними координатними осями, дійдемо висновку, що в (3), а отже, і далі можна замість писати .

Для подвійних інтегралів використовуються такі властивості:

1?. Якщо , то .

2?. .

3?. .

4?. Якщо , то .

5?. Якщо .

6?. Якщо , то .

7?. .

Теорема про середнє значення.

Якщо функція неперервна в необмеженій замкненій квадровнїй області , то існує така точка , що , де - площа області .

Обчислення подвійного інтеграла

Область називають правильною в напрямі осі , якщо будь-яка пряма осі проведена через довільну точку області перетинає її границю лише у двох точках, тобто

Аналогічна область правильна в напрямі осі , якщо

(рис.2.)

Якщо область правильна в напрямі осі , то обчислення подвійного інтеграла зводиться до двох повторних інтегралів

.

Інтеграл по змінній називають внутрішнім, а інтеграл по змінній називають зовнішнім.

Якщо область правильна то її спочатку розбивають на правильні області, а тоді обчислюють подвійний інтеграл.

П-1 Обчислити

Лекція 10.2. Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії (площі і об'єми тіл)

Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат

Відомо, що полярні координати довільної точки зв'язані з її декартовими координатами формулами (1)

де

Поняття подвійного інтеграла в полярній системі координат аналогічне до означення подвійного інтегралу в декартовій системі координат. (О-1, лекція 10.1.).

(2)

Покажемо, що елементарна площа в полярній системі координат обчислюється за іншою формулою. Оскільки, згідно означення подвійного інтегралу, границя інтегральної суми не залежить від способу розбиття області (рис.2. лекція 10.1.), і способу вибору точки , то розіб'ємо цю область наступним чином.

Нагадаємо, що площа сектора обчислюється за формулою

де - центральний кут в радіанах.

Тоді площа області в полярній системі координат дорівнює різниці площ двох секторів

де

Тоді згідно формул (1) і (2) матимемо

(3)

Де диференціал площі в полярній системі координат .

На практиці часто трапляється , що обчислити подвійний інтеграл в декартовій системі координат знано складніше ніж в полярній системі координат. Тоді користуються формулою заміни змінних у подвійному інтегралі, яка в загальному випадку має вигляд

(4)

Де - співвідношення, що виражають змінні через нові змінні u i v, а вираз - є елементом площі в криволінійних координатах u i v. Де визначник називається визначником Остроградського-Якоби , або Якобіаном.

Строге доведення формули (4) дав видатний український математик Михайло Васильович Остроградський. Якщо треба перейти в подвійному інтегралі до полярних координат, то з формул (1) матимемо

. Тоді . (5)

Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат зводяться до повторного інтегрування

.

П-1. Обчислити подвійний інтеграл , де область обмежена кривими

Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

Площа плоскої області обчислюється за формулою (6)

У полярній системі координат формула (6) має вигляд (7)

Об'єм циліндричного тіла , обмеженою зверху неперервною поверхнею , де , знизу - замкненою обмеженою областю площини , з боків - циліндричною поверхнею, напрямна якої збігається з межею області , а твірні паралельні осі

(8)

Площа поверхні, яка проектується на площину в область і задається функцією ( - неперервні функції в області ), знаходиться за формулою

(9)

П-2. Обчислити площу області, лінією кардіоїдою

(кв.од.)

П-3. Обчислити об'єм тіла обмеженого заданими поверхнями .

(куб.од.)

Лекція 10.3 Застосування подвійних інтегралів до задач механіки

Обчислення маси пластинки, статичних моментів, моментів інерції і координат центра мас

1.Маса плоскої пластини

Розглянемо на площині матеріальну пластину, яка має форму замкненої області з розподіленою на в кожній точці якої поверхнева густина визначається функцією , яка є неперервною в цій області

Площі частин області позначимо .

В кожній області виберемо довільну точку . Припустимо, що ми розбили область на частини на стільки дрібно, що в кожній області можна вважати, що густина дорівнює . Тоді величина є наближенням області маси яка зосереджена в точці цієї частини пластинки, яку займає область , а сума наближено визначає масу всієї пластинки. Очевидно, що точне значення маси заданої пластинки дістанемо, якщо знайдемо границю вказаної суми при , тобто

Але не було показано на лекції 1, що існує границя такої інтегральної суми незалежно від способу розбиття області і способу вибору точки , то таке число називається подвійним інтегралом від функції по області.

2.Статичний момент плоскої фігури

Статичний момент матеріальної точки масою відносно деякої осі дорівнює добутку маси цієї точки на відстань її від осі, тобто

Статичним моментом системи з матеріальних точок , з масами відносно деякої осі (прямої) називають число ,

де - віддаль точки до прямої .

Якщо за брати осі координат і , то відповідно статичні моменти систем матеріальних точок будуть дорівнювати

Поставимо задачу: знайти статичні моменти відносно осі і деякої замкненої області суцільно заповненою масою з густиною , яка є неперервною функцією точки.

Безпосередньо формули не можна застосовувати, бо точок в області нескінчена множина. Тому вдаємося до такого ж підходу як це ми зробили в попередньому пункті. Розбивши область довільним чином на частин знаходимо масу кожної з частин пластинки які наближено дорівнюють , де - площа області . Тоді наближені значення статичних моментів і пластинки відносно координатних осей визначаються за формулами

Точні значення цих величин знайдемо, якщо перейдемо до границі при умові, що , тобто

Отже статичні моменти і , відносно осі і неоднорідної плоскої пластинки з заданою густиною , обчислюється за формулами:

3. Координати центра маси плоскої області

Центр маси плоскої області має цікаву властивість:

1.Статичний момент центра маси плоскої області відносно осі дорівнює статичному моменту всієї плоскої області відносно цієї осі.

Якщо точка є центром маси плоскої області то згідно цієї властивості:

і

звідси

4.Моменти інерції плоскої області.

Момент інерції матеріальної точки з масою , деякої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані від цієї осі. Момент інерції системи матеріальних точок

з масами відносно деякої осі (прямої) дорівнює сумі моментів інерції всіх точок систем

Діємо аналітично як: в попередніх пунктах, розбиваємо область довільним чином на частин , знаходимо масу кожної з частин , які зосередженні в точках і обчислюємо моменти інерції, точки системи матеріальних точок відносно осей

Перейшовши до границі в кожній із сум при умові, що дістанемо формулу для обчислення моментів інерції розглянутої пластинки відносно осей

Враховуючи те, що моменти інерції матеріальної точки з масою відносно початку координат визначається за формулою , то скориставшись міркуваннями аналогічними попереднім, дістанемо формулу обчислення моменту інерції плоскої пластинки відносно початку координат

Тобто

Для випадку полярних координат формули (1)-(8) набираючи вигляду:

Маса пластинки (1?)

Статичні моменти (2?)

(3?)

Координати центра маси (4?)

плоскої пластинки

(5?)

Моменти інерції (6?)

(7?)

(8?)

П-1 Обчислити масу кругового кільця

, якщо густина в кожній точці обернено пропорційна відстані її до центра кільця.

Густина

За формулою (1?) отримуємо

П-2 Знайти центр маси однорідної фігури, обмеженої параболою і віссю

Оскільки дана фігура симетрична відносно осі ,

то

Тоді

Отже центр маси даної фігури лежить в точці

Лекція 10.4 Потрійний інтеграл і його властивості

Обчислення потрійних інтегралів в декартових і циліфндричних кординатах

1. Поняття потрійного інтеграла

Розглянемо в просторі деяку замкнену область . Нехай в області і на її границі визначена деяка неперервна функія , де - прямокутні координати. Розіб'ємо просторову область довільним чином на частин:

Об'єми цих частин позначимо через .

В кожній області виберемо довільну точку і позначимо через значення заданої неперервної функції в точці .

Складемо інтегральну суму

Оскільки функція є неперервною в області , а сама область є замкненою і обмеженої, то існує скінченна границя останньої інтегральної суми незалежно від способу розбиття області на частини і від способу вибору точок при умові. Що максимальний діаметр області прямує до 0 і називається ця границя потрійним ітегралом від функції по області , тобто;

Елементарний об'єм , тому

2. Властивості потрійних ітегралів

Якщо , - стала величина, то ,

де - об'єм області . Зокрема при дістаємо:

- це геометричне тлумачення потрійного інтеграла.

Але якщо функція , то потрійний інтеграл не має геометричного тлумачення оскільки не має геометричного чотиривимірної системи координат.

Якщо , то

Оскільки , то

(Теорема про середнє значення)

Якщо функія є непервною в кожній точці області , то існує така точка , що

,

де - об'єм області

3. Обчислення потрійного інтеграла

Нехай просторова область задовільняють таким умовам:

1. Будь-яка пряма, паралельна до осі проведемо через довільну точку області паралельна поверхні, яка обмежує тіло в двох точках

2. Вся область проектується на площину в правильну двовимірну область

Тоді область із правильною тривимірною областю.

Для таких областей обчислення потрійного інтеграла зводиться до обчислення одною однократною і одною подвійною, або трьох однократних.

П-1 Обчислити

4. Потрійний інтеграл в циліндричних координатах

Циліндричними кординатами точки через числа , де і - полярні координати.

,

де - модуль Якобіана перетворене, який має вигляд:

Тоді потрійний інтеграл в циліндричних координатах

Добуток визначає елементарний об'єм в циліндричних координатах.

Обчислити потрійний інтеграл

Лекція 10.5. Потрійний інтеграл в сферичній системі координат

Застосування потрійних інтегралів до задач геометрії та механіки

1. Потрійний інтеграл в сферичній системі координат.

Сферичними координатами точки називаються числа .

Де - кут між віссю і радіус-вектором точки ;

- довжина цього радіус-вектора, тобто відстань від точки до початку координат;

- кут між проекцією радіус-вектора на площину і віссю .

Елементарний об'єм в прямокутній системі координат і в сферичній системі координат пов'язані співвідношенням де Якобіан перетворення

Оскільки елементарний об'єм , то

П-1. Обчислити потрійний інтеграл

, де - верхня частина кулі

2. Застосування потрійних інтегралів до задач геометрії і механіки.

З першої властивості потрійних інтегралів випливає, що об'єм області може бути обчислений за допомогою потрійного інтеграла за формулою

(1)

П-2. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями (об'єм кулі) ,

.

Задане тіло обмежене зверху частиною параболоїда обертання , а знизу - частиною конуса .

Щоб знайти рівняння лінії вздовж якої вони перетинаються треба розв'язати таку систему рівнянь

Оскільки, то поверхні перетинаються в площині , а рівняння лінії їхнього перетину . Перейдемо до циліндричних координат

Тоді

(куб. од.)

Розглянемо задачу про визначення маси матеріального неоднорідного тіла. Нехай масу розділимо по замкненій області з об'ємною густиною , де - неперервна функція в . Розіб'ємо на елементарні області . Елементарна маса кожної частинки , де - елементи об'єму в декартовій системі координат. Тоді маса всього тіла (2)

- маса в циліндричних координатах.

Аналогічно знайдемо статичні моменти неоднорідного тіла відносно координатних площин відповідно

а координати центра мас просторового тіла обчислюватиметься за формулами

Як видно з рисунку 2 момент інерції елементарної маси відносно координатних осей дорівнюють

А моменти інерції всього тіла будуть дорівнювати

(7)

(8)

(9)

Момент інерції просторового тіла буде однорідним, то вважають, що

П-3. Знайти координати центра маси однорідного тіла обмеженого поверхнями

Оскільки дане тіло симетричне відносно координатних площин то , а вісь є віссю симетрії цього тіла, то

Тоді

Центр

П-3. Обчислити , де - область обмежена площинами

і параболоїдом .

Лекція 10.5. Потрійний інтеграл в сферичній системі координат

Застосування потрійних інтегралів до задач геометрії та механіки

1. Потрійний інтеграл в сферичній системі координат

Сферичними координатами точки називаються числа .

Де - кут між віссю і радіус-вектором точки ;

- довжина цього радіус-вектора, тобто відстань від точки до початку координат;

- кут між проекцією радіус-вектора на площину і віссю .

Елементарний об'єм в прямокутній системі координат і в сферичній системі координат пов'язані співвідношенням де Якобіан перетворення

Оскільки елементарний об'єм , то

П-1. Обчислити потрійний інтеграл

, де - верхня частина кулі

2. Застосування потрійних інтегралів до задач геометрії і механіки.

З першої властивості потрійних інтегралів випливає, що об'єм області може бути обчислений за допомогою потрійного інтеграла за формулою

(1)

П-2. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями (об'єм кулі) ,

.

Задане тіло обмежене зверху частиною параболоїда обертання , а знизу - частиною конуса .

Щоб знайти рівняння лінії вздовж якої вони перетинаються треба розв'язати таку систему рівнянь

Оскільки , то поверхні перетинаються в площині , а рівняння лінії їхнього перетину . Перейдемо до циліндричних координат

Тоді

(куб. од.)

Розглянемо задачу про визначення маси матеріального неоднорідного тіла. Нехай масу розділимо по замкненій області з об'ємною густиною , де - неперервна функція в . Розіб'ємо на елементарні області . Елементарна маса кожної частинки , де - елементи об'єму в декартовій системі координат. Тоді маса всього тіла (2)

- маса в циліндричних координатах.

Аналогічно знайдемо статичні моменти неоднорідного тіла відносно координатних площин відповідно


Скачать работу можно здесь Скачать работу "Вища математика" можно здесь
Сколько стоит?

Рекомендуем!

база знанийглобальная сеть рефератов