Методы решения системы линейных уравнений

Счетные и несчетные множества

Пусть, например, А и В Ї некоторые множества. Тогда их возможные взаимоотношения можно рассмотреть в виде таблицы:

Диаграмма Венна

Диаграмма Венна

Диаграмма Венна

Диаграмма Венна

Исходя из вышеизложенного, запишем некоторые свойства множеств:

1. А\А = 0

2. А\0 = А

3. АА = А, АА = А

4. АВ = ВА, АВ = В А

Пределы и непрерывность

Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на N натуральных чисел.

Последовательность X_n называется возрастающей (убывающей), если каждый ее член, начиная со второго, больше (меньше) предыдущего, т.е. для любого n выполняется неравенство: X_n+1>X_n (X_n+1>X_n).

Последовательность X_n называется невозрастающей (неубывающей), если каждый ее член, начиная со второго, не больше (не меньше) предыдущего, т.е. для любого n выполняется неравенство: X_n+1?X_n (X_n+1?X_n).

Убывающие, возрастающие, неубывающие, не возрастающие последовательности называются монотонными.

Последовательность X_n называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если можно указать такое число М (число m), что для всех членов этой последовательности выполняется неравенство X_n?M (X_n?m). Числа М и m называются соответственно верхней и нижней границей последовательности (X_n). Тот факт, что последовательность ограничена сверху числом М (снизу числом m), геометрически обозначает, что ни одна точка X_n не лежит правее точки М (левее точки m).

Последовательность X_n называется ограниченной, если существуют два числа М и m такие, что для всех n выполняется неравенство m?X_n?M. Тот факт, что последовательность ограничена числами m и M, геометрически обозначает, что все ее члены помещаются в промежутке [m, M].

Последовательность X_n называется постоянной, если все ее члены совпадают.

Обычно последовательность задается формулой, выражающей общий член последовательности через n. Иногда указывается правило, с помощью которого можно вычислить n-ый член последовательности по известным предыдущим членам. Такой способ задания последовательности называется индуктивным (или рекуррентным).

Число а называется пределом последовательности X_n, если для любого е>0 все члены последовательности X_n, кроме может быть, конечного их числа, лежат в е-окрестности точка а, т.е. найдется такое натуральное число N, что при n>N будет выполнено неравенство |X_n-a|<е.

Последовательность может иметь только один предел. Если последовательность имеет предел, то последовательность называется сходящейся; последовательность, не имеющую предела называют расходящейся.

Если последовательность X_n имеет пределом число а, то пишут . В этом случае говорят, что последовательность сходится к числу а.

Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Число А называется пределом функции f(x) при x>a, если для любого е>0 можно указать такое д>0, что для любого x ? a, удовлетворяющего неравенству 0<|x-a|<д, выполнялось неравенство |f(x)-A|<е. В этом случае пишут .

Если число А1 (числоА2) есть предел функции y = f(x) при х, стремящемся к а так, что х принимает только значения, меньше (больше) а, то А1 (А2) называется левым (правым) пределом функции (x) в точке a. При этом соответственно пишут

Теорема 1. Если существуют пределы функций f(x) и g(x) при x>a, то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(x) и g(x):

Теорема 2. Если существуют пределы функций f(x) и g(x) при x>a, то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(x) и g(x):

Теорема 3. Если существуют пределы функций f(x) и g(x) при x>a, и предел функции отличен от нуля, то существует также и предел отношения f(x)/g(x), равный отношению пределов функций f(x) и g(x):

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Следствие 2.Если n - натуральное число, то

Следствие 3. Предел многочлена (целой рациональной функции)

при x>a равен значению этого многочлена при x = a, т.е.

Следствие 4. Предел дробно - рациональной функции

при x>a равен значению этой функции при х = а, если а принадлежит области определения функции, т.е.

Производная и дифференциал функции.

Пусть дан график непрерывной функции y = f(x). Возьмем на кривой y = f(x) точки M(x,y) и M(x1,y1), где x1 = x+Дx, y1 = y+Дy (где Дx - приращение аргумента, Дy - приращение функции). Проведем секущую MM₁, угловой коэффициент которой обозначим через k₁, т.е. k₁ = tg a₁. Из треугольника MM₁P находим

Предположим, что точка М остается неподвижной, а точка M₁, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к М. Тогда:

· секущая MM₁ поворачивается вокруг точки М, приближаясь к положению касательной;

· x₁ > x, а, следовательно, Дx = (x₁-x) > 0;

· угол a₁ стремится к углу a между касательной и осью Ox.

Пусть k Ї угловой коэффициент касательной, т.е. k = tg a. Т.к. tg a₁ Ї непрерывная функция (случай, когда a₁ = р/2, пока исключим из рассмотрения), то

Производной функции y = f(x) в данной точке х называют предел отношения функции Дy к соответствующему приращению аргумента Дx при условии, что Дx > 0, т.е.

Операцию отыскания производной некоторой функции называют дифференцированием функции.

Если функция имеет производную в точке х = а, то говорят, что она дифференцируема в этой точке.

Если функция имеет производную в каждой точке длинного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке.

Чтобы фактически вычислить производную данной функции необходимо проделать четыре шага, указанные в самом определении производной:

1. Находят новое значение функции, подставив в данную функцию вместо x новое значение аргумента: т.е. есть функция у = f(х), поставим в соответствие x > x+Дx, y > y+Дy, найдем новое значение функции y+Дy = f(x+Дx).

2. Определяем приращение функции, вычитая данное значение функции из ее нового значения

3. Составляют отношение приращения функции к приращению аргумента

4. Переходят к пределу при Дx > 0 и находят производную:

Приложение производной.

Наиболее просто основные теоремы дифференциального исчисления формулируются для гладких функций.

[править] Производные и гладкие функции

Пусть функция g(h) определена в окрестности h = 0 и для любого е найдется такое д, что

| g(h) / hⁿ | < е, лишь только | h | < д,

тогда говорят, что g(h) - бесконечно малое порядка o(hⁿ).

Пусть f(x) - вещественнозначная функция, заданная на отрезке (a,b). Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале (a,b), если

для любого и любого n. Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается полиномом. Гладкие на отрезке (a,b) функции образуют кольцо гладких функций .

Коэффициенты f⁽ⁿ⁾(x) сами оказываются гладкими функциями на рассматриваемом отрезке, причем

Эти функции называют производными функции f(x). Первая производная может быть вычислена как предел

.

Оператор, сопоставляющий функции f(x) ее производную f'(x) обозначают как

При этом для двух гладких функций f и g верно

D(f + g) = Df + Dg и D(fg) = fDg + gDf

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке (a,b), является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые - нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

[править] Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Прямая

y = f(c) + f'(c)(x ? c)

пересекает кривую

y = f(x)

в точке (c,f(c)) таким образом, что знак выражения

при условии все время остается одним и тем же, поэтому кривая

y = f(x)

лежит по одну сторону от прямой

y = f(c) + f'(c)(x ? c)

Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке x = c (по Б. Кавальери). Точку x = c, в которой кривая

y = f(x)

не лежит по одну сторону от прямой

y = f(c) + f'(c)(x ? c)

называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

[править] Точки экстремума

Точка x = c называется точкой локального максимума (минимума), если

для всех достаточно малых по модулю h. Из соотношения

сразу видно, что f'(c) = 0 - необходимое условие максимума, а f''(c) < 0 - достаточное условие максимума. Условие f'(c) = 0 выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

[править] Непрерывные функции

Пусть f определена и на концах интервала [a,b]; говорят, что она непрерывна на [a,b], если для любого е найдется такое д, что

| f(x) ? f(x + h) | < е, лишь только | h | < д,

и точки не выходят за границы интервала [a,b]. Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывны на интервале [a,b] функции образуют кольцо непрерывных функций C[a,b].

[править] Основные теоремы дифференциального исчисления

Кольцо непрерывных на [a,b] и гладких на (a,b) функций обладает рядом важных свойств:

· Теорема Ролля: если f(a) = f(b) = 0, то имеется точка максимума или минимума, в которой f' обращается в нуль.

· Теорема Лагранжа: существует такая точка , что

· Теорема Коши: если на (a,b), то существует такая точка , что

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезка найдутся такие точки c_n, что

Где

При помощи этой формулы можно приближенно вычислять значения функции в точке b' по известным значениям функции и ее производных в точке a'.

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если f(b) = g(b) = 0 или , и на (a,b), то

причем существование второго предела влечет существование первого.

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция называется возрастающей на интервале , если для любых двух точек из неравенства следует, что ; убывающей на интервале , если из неравенства следует, что ; невозрастающей на интервале , если из неравенства следует, что , и неубывающей на интервале , если из неравенства следует, что .

Рис.7.15.Графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций

Очевидно, что функция возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция ; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей.

Рис.7.16.Графики функций и

Теорема 7.2   Пусть функция дифференцируема на интервале и при всех . Тогда возрастает на . Если же при всех , то не убывает на .

Аналогично, если при всех , то убывает на , а если при всех , то не возрастает на .

Доказательство.     В силу предыдущего замечания, теорему достаточно доказывать только для случаев и . Пусть при всех и , . Применим к отрезку формулу конечных приращений:

где . В правой части и , так что , откуда , что означает возрастание функции.

Точно так же, если , то получаем , откуда , что означает неубывание функции.     

Имеет место и утверждение, "почти обратное" к предыдущей теореме:

Теорема 7.3   Если дифференцируемая функция не убывает на интервале , то при всех ; если же функция не возрастает на , то при .

Доказательство. Фиксируем точку и рассмотрим предел, который равен производной:

При достаточно малых точка попадёт в интервал , при этом , откуда . Значит, числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, и дробь неотрицательна. По теореме о переходе к пределу в неравенстве, получаем , что и требовалось получить.

Вторая часть утверждения теоремы доказывается аналогично.

Заметим, что усилить утверждение теоремы нельзя: из того, что функция возрастает на не следует строгого неравенства для производной. Действительно, в этом нас убеждает простой пример:

Пример 7.15 Рассмотрим функцию . Эта функция дифференцируема всюду и возрастает на всей оси : из следует, что . Однако неверно, что при всех : действительно, производная обращается в 0 при .

Итак, всё, что мы можем гарантировать в случае строгого возрастания (как и в случае нестрогого возрастания, то есть неубывания) - это нестрогое неравенство .

Практический смысл полученных утверждений о связи возрастания и убывания со знаком производной -- в том, что для того, чтобы найти интервалы возрастания функции , надо решить относительно неравенство , а чтобы найти интервалы убывания -- решить неравенство .

Пример 7.16   Рассмотрим функцию . Её производная такова:

Интервал возрастания функции можно найти из неравенства

При решении этого неравенства учтём, что в области определения функции , так что нужно решать неравенство . Отсюда . Таким образом, функция возрастает на интервале . Нетрудно видеть, что при выполняется обратное неравенство , так что на этом интервале функция убывает.

Рис.7.17.График функции

Если два интервала возрастания функции примыкают друг к другу, то есть имеют вид и , и функция непрерывна в точке , то эти два смежных интервала можно объединить: функция будет возрастать на . То же, разумеется, относится и к смежным интервалам убывания функции.

Рис.7.18.Объединение двух смежных интервалов возрастания функции

Пример 7.17   Рассмотрим функцию . Её производная имеет вид

Решая неравенство , получаем: ; при функция, очевидно, непрерывна, так что возрастает на объединённом интервале, то есть при . Решение неравенства даёт только один интервал ; на нём функция убывает.     

Рис.7.19.График функции

Геометрический смысл связи знака производной с направлением изменения функции легко виден из геометрического смысла производной: если угловой коэффициент касательной к графику (равный производной) положителен, то угол наклона касательной - острый, что соответствует графику возрастающей функции. Если же угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона касательной - тупой, и тогда функция убывает.

Рис.7.20.Связь угла наклона касательной с направлением изменения функции

Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке a?x?b, если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x):

F'(x) = f(x)>dF(x) = f(x)dx, a?x?b.

Из этого определения вытекает, что всякая функция по отношению к своей производной является первообразной. Так функция F(x) = x² есть первообразная функции f(x)=2x на интервале (-?; +?), поскольку для всех x R имеет место равенство F'(x)=(x²)'=2x.

Отыскание первообразной функции по заданной ее производной f(x) или по ее дифференциалу f(x)dx есть действие, обратное дифференцированию интегрирование.

Совокупность всех первообразных F(x)+C функции f(x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ?f(x)dx, где f(x) подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, х - переменная интегрирования.

Таким образом, если F(x) - какая-нибудь первообразная функции f(x) на некотором промежутке, то ?f(x)dx = F(x)+C, где С - любое действительное число.

Основное свойства неопределенного интеграла

1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: ?dF(x) = F(x)+C.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: d?f(x)dx = f(x)dx,(?f(x)dx)' = f(x).

3. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций: ?[f(x)+g(x)]dx = ?f(x)dx+?g(x)dx.

4. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла: ?a*f(x)dx = a?f(x)dx.

5. Если ?f(x)dx = F(x)+C и u = ц(x) - любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то ?f(u)du = F(u)+C.

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

1. ?dx = x+C

2. ?xⁿdx = (xⁿ⁺¹/(n+1))+C (n?-1)

3. ?(dx/x) = ln(x)+C

4. ?a^xdx = a^xln(a)+C

5. ?e^xdx = e^x +C

6. ?sin(x)dx = -cos(x)+C

7. ?cos(x)dx = sin(x)+C

8. ?(dx/cos²(x)) = tg(x)+C

9. ?(dx/sin²(x)) = -ctg(x)+C

10. ?(dx/(x²-a²))=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+C

11.

12. ?(dx/(x²+a²)) = (1/a)arctg(x/a)+C

Сущность интегрирования методом замены переменной (способ подстановки) заключается в преобразовании интеграла ?f(x)dx в интеграл ?F(u)du, который легко вычисляется по какой - либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла ?f(x)dx заменяем переменную х новой переменной u с помощью подстановки x = ц. Дифференцируя это равенство, получим dx = ц'(u)du. Подставляя в подынтегральное выражение вместо х и dx их значения, выраженные через u и du, имеем ?f(x)dx = ?f[ц(u)]ц'(u)du = ?F(u)du.

После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с помощью подстановки u = ш(x), он приводится к переменной х.

Интегрируя обе части равенства d(uv) = udv+vdu, получим ?d(uv) = ?udv+?vdu, uv = ?udv+?vdu, откуда ?udv = ?vdu-uv.

С помощью этой формулы вычисление интеграла ?udv сводится к решению интеграла ?vdu, если последний окажется проще исходного.

1. Простейшие дроби и их интегрирование.

Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень P(x) ниже степени Q(x), в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими дробями I, II, III, и IV типов называются правильные рациональные дроби следующего видов:

I. A/(x-a).

II. A/(x-a)^m, где m целое число, большее единицы.

III. ((Ax+B)/(x²+px+q)), где (p²/4)-q<0, т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

IV. ((Ax+B)/(x²+px+q)ⁿ), где n целое число, большее единицы и квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.

Как производить интегрирование.

I и II Интегрирование простейших дробей I и II типов производится непосредственно:

?(A/(x-a))dx = Aln|x-a|+C

?(A/(x-a)^m)dx = (A/(1-m))*(1/(x-a)^m-1)+C

III Для нахождения интеграла ?((Ax+B)/(x²+px+q))dx следует выделить в числители дроби производную знаменателя и разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов: первый из них подстановкой ax²+bx+c = t сводится к виду ?dt/t = ln|t|, а второй интеграл выделением полного квадрата сводится к табличному интегралу вида ?dt/(t²+k²) или ?dt/(t²-k²)

IV Для интегрирования данной простейшей дроби в числители дроби нужно записать производную квадратного трехчлена и разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов. Первый из них подстановкой x²+px+q = t приведется к виду ?dt/tⁿ=1/((1-n)t^n-1), а второй имеет вид ?dx/((x²+px+q)ⁿ). С помощью подстановки x+p/2 = u он преобразуется в интеграл вида I_n = ?du/(u²+a²)ⁿ, который интегрированием по частям можно свести к более простому интегралу.

2. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Любая правильная рациональная дробь P(x)/Q(x) может быть единственным образом представлена в виде суммы простейших рациональных дробей. Для этого прежде всего знаменатель Q(x) записывают в виде произведения сомножителей, каждый из которых является либо степенью линейной функции x-a, либо степенью квадратичной функции x²+px+q, которая не имеет действительных корней.

Каждому сомножителю (x-a)^k разложения Q(x) отвечает в разложении дроби P(x)/Q(x) выражение вида A₁/(x-a)+A₂/(x-a)²+...+A_k/(x-a)^k (1).

А каждому сомножителю (x²+px+q)^l - выражение вида (B₁x+C₁)/(x²+px+q)+(B₂x+C₂)/(x²+px+q)²+...+ (B_lx+C_l)/(x²+px+q)^l (2).

Отсюда вытекает следующее практическое правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие множители:

a. Разложить знаменатель Q(x) на линейные и квадратичные множители, не имеющие действительных корней.

b. Записать разложение данной рациональной дроби P(x)/Q(x) на простейшие дроби с неопределенными (буквенными) коэффициентами, используя выражения вида (1) и (2).

c. Полученное равенство умножить на общий знаменатель.

d. Раскрыть скобки, привести подобные члены и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х.

e. Решить полученную систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

Определенный интеграл

Пусть функция f(x) определена на отрезке a?x?b. Разобьем этот отрезок на n частей точками a = x₀<x₁<x₂<...<x_n = b, выберем на каждом элементарном отрезке x_k-1?x?x_k произвольную точку о_k и обозначим Дx_k длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке a?x?b, называется сумма вида

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке a?x?b называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Для любой функции f(x), непрерывной на отрезке a?x?b, всегда существует определенный интеграл .

Для вычисления определенного интеграла от функции f(x) в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл F(x), служит формула Ньютона-Лейбница:

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

1. Определенный интеграл от суммы или разности конечного числа функций равен сумме или разности определенных интегралов от этих функций.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный.

4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю.

5. Отрезок интегрирования можно разбивать на части.

При вычислении определенного интеграла методом замены переменный (способом подстановки) определенный интеграл , преобразуется с помощью подстановки u = ш(x) и x = ц в определенный интеграл относительно новой переменной u. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами интегрирования б и в, которые находятся из исходной подстановки. Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно б = ш(a), в = ш(b).

Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнения a = ц(б) и b = ц(в) относительно б и в.

Таким образом, имеем

Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные.

Пусть u = f(x,y) - функция, определенная в области w. Рассмотрим точку М(х,у) О w и некоторое направление l, определяемое направляющими косинусами Cosa и Cosb = Sina (т.е. Cosa и Cosb - косинусы углов, образованных лучом l с положительным направлением осей координат Ох и Оу).

 

Рис. 14.1.

При перемещении в данном направлении l точки М(х,у) в точку М^/(х + Dх, у + Dу) О w функция u = f(x,y) получает приращение

Du = f(х + Dх, у + Dу) - f(x,y), (14.1)

которое называется приращением функции u в данном направлении.

Если ММ^/ = Dl есть величина перемещения точки М, то из DМРМ^/ получаем

(14.2)

Следовательно, D_l u = f(х + Dх, у + Dу)  -  f(x,y).

Определение 14.1. Под производной  функции u в данном направлении к величине перемещения при условии, что последняя стремится к нулю, т.е.

. (14.3)

Тогда частные производные ,  можно рассматривать как производные функции u в положительных направлениях осей координат Ох и Оу.  Производная  дает скорость изменения функции в направлении l.

Пусть u = f(x,y) - дифференцируема. Тогда, используя формулу полного дифференциала, будем иметь

,

где e₁ ® 0, e₂ ® 0 при Dх ® 0, Dу ® 0. Тогда в силу соотношений (14.2) получаем

и, переходя к пределу  при Dl ® 0 , что то же самое, что и  Dх ® 0, Dу ® 0, имеем

. (14.4)

Замечание. Пусть u=f(x,y,z). Ее производная в направлении

l = нСos a, Cos b, Cos gэ будет .

Градиент и его свойства

Определение 14.2. Говорят, что в данной области w определено скалярное поле, если для каждой точки М О w задан некоторый скаляр (т.е. число)

U = f(M).                                                    (14.5)

Следовательно, U есть числовая функция точки.

Примерами скалярных полей являются:

- температурное поле (т.е. распределение температуры в нагретом теле);

- концентрация вещества в растворе.

Рис. 14.2.

Пусть w (т.е. область) расположена на плоскости Оху; тогда любая ее точка определена координатами (х,у). При этом плоское скалярное поле (14.5) может быть записано в виде

U = f(х,у),  ((х,у) О w).

Аналогично в пространстве О_хуz

U = f(х,у,z),  ((х,у,z) О w)

Таким образом, понятие скалярного поля представляет собой физическую трактовку функции нескольких переменных.

Определение 14.3. Будем говорить, что в данной области w определено векторное поле, если для каждой точки М О w задан некоторый вектор

(14.6)

Примеры.

1. Поле скоростей в данный момент времени точек потока жидкости.

2. Силовое поле, создаваемое некоторым притягивающим центром.

Для плоского векторного поля (14.6) мы будем иметь вектор-функцию

a = F(x,y),   ((х,у) О w) (14.7)

Отсюда, переходя к координатам вектора а, получим

а_x  = F₁(x,y),    а_y  = F₂(x,y).

Таким образом, задание плоского векторного поля (14.7) равносильно заданию двух скалярных полей.

Аналогично для случая пространственного векторного поля

a = F(х,у,z),  ((х,у,z) О w);

а_x = F₁(x,y,z),

а_y = F₂(x,y,z), (14.8)

а_z = F₁(x,y,z).

В этом случае векторное поле эквивалентно трем скалярным полям.

Множество точек М, для которых скалярное поле (14.5) сохраняет постоянное значение f(M) = const, называется поверхностью (или линией) уровня скалярного поля (изоповерхностью).

Рис. 14.3.

 

Рис. 14.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. изоповерхность -  это множество всех точек пространства О_xyz, где данная функция имеет одно и то же значение. 

Определение 14.4. Пусть U=f(х,у) - дифференцируемая плоское скалярное поле (функция двух переменных). Тогда вектор

                        (14.9)

называется градиентом поля.

Аналогично для пространства

Пусть U=f(х,у) - пространственное скалярное поле, тогда его градиент есть вектор

.

Таким образом, скалярное поле порождает векторное поле - поле градиентов.

Под производной скалярного поля в данном направлении l понимаем

Производная   представляет собой скорость изменения поля в данном направлении.

Частные производные высших порядков

Пусть z=f(x,y). Тогда  и  - частные производные по  переменным х и у . В некоторых случаях существуют снова от этих функций частные производные, называемые частными производными второго порядка (или просто вторыми производными):

 ,    ,

 ,     и т. д.

Можно определить частные производные любого порядка, если все рассматриваемые функции непрерывны как функции своих независимых переменных, при этом результат частного дифференцирования не зависит от последовательности дифференцирования.

Например, если  и  непрерывны, то имеет место равенство

.

Пример. Пусть z = x^y,    ( x>0 ).

Имеем

  ; ;

;  .

Признак полного дифференциала

Если u = f(x,y) - дифференцируема, то полный дифференциал имеет вид:

du = P(x,y)dx + Q(x,y)dy, (14.10)

где   ,  .

Возникает обратная задача:  при каких условиях выражение

P(x,y)dx + Q(x,y)dy, (14.11)

где функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны со своими производными первого порядка, является полным дифференциалом функции u.

Теорема 14.1. (Необходимое условие)Для того, чтобы (14.11) являлось в некоторой области G полным дифференциалом некоторой функции u=F(x,y), необходимо, чтобы в этой области

  (х,у О G)

(*) - условие полного дифференциала.

Доказательство:

Пусть (14.11) - полный дифференциал функции u = F(x,y). Имеем

.                                                  (14.12)

Отсюда в силу единственности дифференциала получим

,  .

Дифференцируя первое по у, а второе - по х, будем иметь

,  .

Но, так как для непрерывных функций результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, то получаем (*)

.

Следствие. Если условие (*) не выполнено, то выражение (14.4) не является полным дифференциалом.

Пример:

а) ydx - xdy

б) ydx+xdy

Проверить, являются ли полными дифференциалами а) и б).

а) ,  - не является.

б) P=y, Q=x,   

d(xy)=ydx+xdy.

Основные понятия теории вероятности. Классическое определение вероятности

Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.

В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности.

Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз.

Определение 1. Число m называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение Р*(А) = m/n называется относительной частотой события А.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n - числа испытаний в сериях - относительная частота Р*(А) = m/n приближается к некоторому числа Р(А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.

Определение 2 (статистическое определение вероятности). Вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью в статистическом смысле, если число испытаний достаточно велико (имеется огромный опытный материал по проверке последнего утверждения).

С этой точки зрения величина m = n Р(А) представляет собой среднее значение числа появления события А при n испытаниях.

Статистическое определение вероятности, использующее статистическую обработку данных, находит широкое применение.

При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смыслах совпадают между собой.

Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого случайного собы-тия? Другими словами, можно ли охарактеризовать эту воз-можность некоторым числом?

Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов -- результатов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.

Определение 1. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Определение 2. События U₁, U₂, ..., U, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

Определение 3. Событие А называется благоприятствующим событию Б, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Определение 4 (классическое определение вероятности). Вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е. Р(А) = m/n.

Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т.е. m = n, и, следовательно,

2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т.е. m = 0, откуда

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.