Действия 7.1 - 7.3 повторяем для всех матриц попарного сравнения альтернатив по критериям. Получаем следующие результаты (табл. 13 - 17):

Таблица 13.Весовой столбец альтернатив по цене

	Вес в долях	Вес в процентах
Квартира 1	0,334	33,4%
Квартира 2	0,098	9,8%
Квартира 3	0,568	56,8%

Таблица 14.Весовой столбец альтернатив по размеру

	Вес в долях	Вес в процентах
Квартира 1	0,320	32%
Квартира 2	0,557	55,7%
Квартира 3	0,123	12,3%

Таблица 15.Весовой столбец альтернатив по количеству комнат

	Вес в долях	Вес в процентах
Квартира 1	0,387	38,7%
Квартира 2	0,443	44,3%
Квартира 3	0,170	17%

Таблица 16.Весовой столбец альтернатив по близости

	Вес в долях	Вес в процентах
Квартира 1	0,284	28,4%
Квартира 2	0,619	61,9%
Квартира 3	0,096	9,6%

Таблица 17.Весовой столбец альтернатив по категории дома

	Вес в долях	Вес в процентах
Квартира 1	0,174	17,4%
Квартира 2	0,103	10,3%
Квартира 3	0,723	72,3%

8. Определение весов альтернатив по системе иерархии.

8.1. Столбцы весов в долях альтернатив по критериям объединяем в общую матрицу весов альтернатив по всем критериям (табл. 18).

Таблица 18.Матрица весов альтернатив по всем критериям

	цена	размер	комнаты	близость	категория
Квартира 1	0,334	0,320	0,387	0,284	0,174
Квартира 2	0,098	0,557	0,443	0,619	0,103
Квартира 3	0,568	0,123	0,170	0,096	0,723

8.2. Умножаем полученную матрицу на столбец весов критериев по цели матрично (по правилу строка на столбец):

В результате получаем веса альтернатив с точки зрения достижения поставленной цели (табл. 19). Как следует из таблицы, Квартира 2 является наиболее привлекательной для поставленной цели. Если же мы будем приобретать две квартиры, то это будут квартиры 2 и 1.

Заметим, что веса альтернатив оказались достаточно близки друг к другу. Это говорит о разумном выделении всех трех квартир как объектов детального рассмотрения и анализа.

Таблица 19.Матрица веса альтернативс точки зрения достижения поставленной цели

	Вес в долях	Вес в %
Квартира 1	0,323	32,3%
Квартира 2	0,428	42,8%
Квартира 3	0,249	24,9%

Важное замечание. Таблицы весовых коэффициентов критериев по цели (табл. 12) и весов альтернатив по всем критериям (табл. 18) в некоторых случаях имеют собственную ценность.

Например, в нашем случае, вектор весов критериев может использоваться многократно для разных городов. Кроме того, из него можно сделать вывод о малой важности критериев «размер» и «категория» и исключить их из рассмотрения.

В других случаях неоднократно можно использовать матрицу весов альтернатив по критериям. Примером может служить составление таблицы весов подрядчиков по критериям выполнения определенных видов работ. При получении конкретного объекта и определении важности видов работ на нем можно будет подобрать оптимального подрядчика, используя же существующую таблицу.

Автоматизация применения метода Саати

Все описанные в вычисления легко реализовать в MS Excel. Пример реализации в MS Excel метода Саати подробно рассмотрен в презентации лекции по анализу иерархий, расположенной по ссылке:

www.ieml-math.narod.ru/lect/MPUR_MAI.pdf

Для реализации однотипных процедур рекомендуется:

1. Один раз аккуратно организовать работу с матрицей наибольшего размера. Оформить и проверить результат вычислений на отдельном листе MS Excel.

2. Скопировать лист в количестве, соответствующем числу матриц (число критериев + 1). Назвать листы соответственно по цели и по критериям.

3. Исправить на каждом листе лишь верхнюю диагональную часть матрицы попарных сравнений. Результат сразу будет получен.

4. На отдельном листе сформировать общую матрицу весовых коэффициентов альтернатив по критериям и там же столбец весов критериев по цели. Организовать процедуру умножения матриц с использованием функции МУМНОЖ.

Задание для самостоятельного решения

Вы, - руководитель и совладелец крупной организации, - планируете вложение прибыли в социальный проект для сотрудников. Рассматриваются 4 возможных проекта:

· спортзал;

· дополнительное медицинское страхование;

· парк отдыха для сотрудников и их детей;

· ??? - предложите свой вариант.

Важнейших критериев для данных проектов три:

· стоимость;

· массовость охвата сотрудников;

· укрепление корпоративного духа.

Задание

Определить, используя метод Саати, лучший вариант социального проекта для Вашей организации. Принять управленческое решение.

При выполнении задания все сравнения (кроме заданных по вариантам в таблицах З1 и З2) проведите на свое усмотрение, оставаясь в рамках здравого смысла.

Таблица З1.Фиксированные сравнения критериев по цели

Последняя цифра зачетной книжки	Сравнение критериев
0	Стоимость заметно важнее, чем массовость охвата
1	Стоимость важнее, чем корпоративный дух
2	Массовость охвата немного важнее, чем стоимость
3	Массовость охвата заметно важнее, чем корпоративный дух
4	Корпоративный дух и стоимость равноценны
5	Корпоративный дух немного важнее, чем стоимость
6	Корпоративный дух заметно важнее, чем массовость охвата
7	Стоимость немного важнее, чем массовость охвата
8	Массовость охвата заметно важнее, чем стоимость
9	Массовость охвата и корпоративный дух равноценны

Таблица З2.Фиксированные сравнения альтернатив по критериям

Предпоследняя цифра зачетной книжки	Сравнение альтернатив
0	Спортзал по стоимости немного дороже чем парк отдыха
1	Спортзал по стоимости заметно дороже чем парк отдыха
2	Спортзал по стоимости немного дешевле чем парк отдыха
3	Спортзал по стоимости заметно дешевле чем парк отдыха
4	Дополнительное медицинское страхование по массовости охвата заметно лучше, чем спортзал
5	Дополнительное медицинское страхование по массовости охвата немного лучше, чем спортзал
6	Дополнительное медицинское страхование по массовости охвата такое же, как парк отдыха
7	Спортзал по укреплению корпоративного духа принципиально лучше дополнительного медицинского страхования
8	Спортзал по укреплению корпоративного духа лучше, чем парк отдыха
9	Парк по укреплению корпоративного духа немного лучше дополнительного медицинского страхования

Подсказка: по стоимости дороже - это хуже, дешевле - лучше.

Тема 3. Нелинейная оптимизация

Основные понятия задач нелинейной оптимизации

Задачи нелинейной оптимизации относятся к задачам принятия решений в полностью детерминированных условиях при наличии непропорциональных связей каких-либо параметров от искомых переменных.

Таким образом, в этих задачах обязательно:

· известна зависимость функции выигрыша (например, прибыли) от искомого плана;

· известны зависимости всех ограничивающих факторов от искомого плана;

· хотя бы одна из зависимостей (функция выигрыша или ограничение) меняется непропорционально изменению составляющих плана.

В качестве примера рассмотрим такую задачу.

Пример

На лесозаготовительном комбинате работает 70 человек. Основными переменными расходами являются суммарные расходы на каждого работника (заработная плата, налоги, страховки, затраты на спецодежду и т.п.). Эти расходы равны 80 тыс. руб. в месяц. Каждый работник за месяц обеспечивает производство 25 м³ древесины. Доход от продаж древесины составляет примерно 16,5 - 17 миллионов рублей в месяц.

На предприятие приходит новый директор, который ставит вопрос о возможности оптимизации работы. Изучив ситуацию, он устанавливает следующее:

· Доход от сбыта древесины может быть хорошо описан зависимостью: , где - доход в тыс. руб., - количество древесины в м³, предлагаемой на продажу в месяц.

· Имеются дополнительные рабочие, желающие работать на нашем предприятии на тех же условиях, что и имеющиеся сотрудники. Но необходимо организовывать доставку новых сотрудников к месту работ. Затраты на доставку новых рабочих составят 20 тыс. руб. в месяц на человека.

· Уволить более 30 человек нельзя.

· Администрация региона согласна безвозмездно субсидировать предприятие в размере 300 тыс. руб. в месяц, если на нем будет создано не менее 150 рабочих мест.

Таким образом, перед директором встают такие вопросы:

Ш Оптимально ли имеющееся количество рабочих?

Ш Нужно ли нанять новых рабочих, а возможно стоит уволить кого-то из имеющихся?

Ш Имеет ли смысл нанимать большее количество рабочих для получения субсидии?

Данная задача является детерминированной, так как все зависимости точно определены.

Кроме того задача является нелинейной по трем причинам:

1) доход нелинейно зависит от производства;

2) расходы на рабочих меняют коэффициент пропорциональности после 70 человек;

3) имеется разрыв функций - при найме от 150 человек предприятие получает субсидию.

Основы теории решения задачнелинейной оптимизации

1. Понятия глобального, локального и условного экстремумов

1.1. Функция нескольких переменных имеет глобальный максимум в точке , если для любой другой точки справедливо условие:

1.2. Функция нескольких переменных с имеет локальный максимум в точке , если существует малая окрестность точки , такая, что для любой точки из этой окрестности справедливо условие:

Очевидно, глобальный экстремум будет одним из локальных.

1.3. Пусть на переменных наложено условий:

(1)

Функция нескольких переменных имеет условный максимум (глобальный или локальный) в точке , если:

1) точка удовлетворяет условиям (1);

2) для любой другой точки (любой или из малой окрестности точки ), удовлетворяющей системе (1) справедливо условие:

1.4. Глобальный, локальный и условный минимумы записываются аналогично, только знак меняется на .

Заметим, что целью решения задач оптимизации является именно набор переменных , а не максимальное или минимальное значение функции. Зная можно всегда определить значение функции подстановкой этих аргументов в функцию, зная же только значение функции, определить значение аргументов, при котором оно достигается, невозможно.

В терминах управления это можно сформулировать так: необходимо найти что делать для наилучшего результата, а не знать, каков этот результат без знания путей его достижения.

2. Понятие градиента

Градиент - вектор (набор) частных производных от функции по ее аргументам:

Градиент как вектор, вычисленный в точке, показывает направление наискорейшего роста функции в этой точке.

Градиент равен нулю когда все его компоненты равны нулю.

Градиент является расширением понятия производной на многомерный случай. Для случая одной переменной градиент просто заменяется на производную функции.

3. Необходимое условие локального безусловного экстремума во внутренних точках

Если дифференцируемая функция имеет локальный экстремум во внутренней (не бесконечной) точке , то ее градиент в этой точке равен нулю.

Условие является необходимым, но не достаточны. Возможны случаи, когда во внутренней точке градиент равен нулю, но у функции там не будет ни минимума, ни максимума.

Пример.

.

.

Таким образом, внутри у функции может быть локальный максимум или минимум только в двух точках. Более подробный анализ показывает, что первая точка не является точкой экстремума. Вторая точка - точка локального минимума.

4. Способы определения условного экстремума

Пусть требуется решить задачу на отыскание условного экстремума:

(1)

Существуют два подхода к решению.

4.1. Выражение одной переменной через другие.

Можно выразить из условий (1) некоторые переменные через другие и подставить в функцию. Получим задачу на безусловный экстремум.

Достоинства подхода:

Ш снижается число переменных;

Ш снижается число уравнений;

Ш подход интуитивно понятен.

Недостатки:

Ш навязывается неравнозначность переменных (основные и зависимые);

Ш после исключения сложно проанализировать влияние условий;

Ш очень часто не удается явно выразить одну переменную через другие.

Последний недостаток оказывается критичным и непреодолимым при сложных зависимостях.

4.2. Метод множителей Лагранжа.

Для каждого ограничения вводится неизвестный множитель . После этого ищется безусловный экстремум для функции Лагранжа:

То есть записываются условий:

второй столбик условий, очевидно, является системой условий (1).

Недостатки подхода:

Ш подход интуитивно не очевидный;

Ш увеличивается количество неизвестных и количество уравнений;

Ш сложные зависимости остаются в системе.

Достоинства:

Ш всегда удается записать всю систему уравнений до того, как приходится выражать одну переменную через другие, следовательно, такой подход универсален;

Ш множители Лагранжа имеют четкий смысл и позволяют проанализировать влияние ограничений.

Смысл множителей Лагранжа. Множитель Лагранжа, определенный для ограничения, показывает относительное изменение оптимального значения целевой функции при изменении правой части ограничения. То есть, если правая часть какого-либо из ограничений (1) изменится на некоторое значение, то и оптимальное значение функции тоже изменится. Отношение изменения функции к малому изменению ограничения равно множителю Лагранжа.

Кроме этого, множителя Лагранжа продолжают играть важную роль для задач нелинейного программирования, когда вместо ограничений равенствами (1) присутствуют ограничения соответствующими неравенствами ( вместо ). Тогда ненулевой множитель Лагранжа означает выполнение в оптимальном случае соответствующего ограничения как равенства и имеет такой же смысл как для равенств. Нулевой множитель Лагранжа говорит о том, что в оптимальном случае соответствующее ограничение выполнено как строгое неравенство.

4.3. В качестве третьего подхода можно рекомендовать комбинировать оба способа. Выразить те переменные, которые легко выражаются через другие. Подставить всюду, тем самым, сократив число переменных и ограничений. Далее использовать способ Лагранжа.

5. Теорема Куна-Таккера для задачи нелинейной оптимизации.
Простейшая интерпретация и способ применения

Теорема Куна-Таккера - основная теорема, дающая возможность решить аналитически задачи нелинейного программирования (оптимизации). Общая математическая формулировка теоремы достаточно сложна. Здесь мы приведем ее упрощенный вариант, позволяющий решать конкретные задачи оптимизации, возникающие в экономике и управлении.

Для задачи нелинейного программирования:

(2)

необходимым для точки экстремума является выполнение одного из условий:

1) равенство нулю градиента функции в этой точке;

2) отсутствие градиента функции в точке;

3) равенство нулю хотя бы одного из ограничений (2);

4) бесконечная точка.

Заметим, что равенство нулю ограничений (2) достигается на границе области.

Тогда для отыскания наилучшего значения функции и переменных , при которых оно достигается необходимо выполнить следующий алгоритм поиска глобального экстремума:

1) найти градиент функции;

2) определить все точки, где градиент равен нулю; в тех из них, которые удовлетворяют ограничениям, вычислить значение функции;

3) определить все точки, где градиент не существует; в тех из них, которые удовлетворяют ограничениям, вычислить значение функции (если возможно); для точек разрыва функции определить значения функции при стремлении к точке разрыва со всех сторон;

4) определить максимальные и минимальные значения функции на границах области;

5) исследовать функцию на бесконечности, найти там максимальное и минимальное значение функции;

6) из определенных значений функции во всех потенциально возможных местах экстремума выбрать самое большое (при поиске максимума) или самое маленькое (при поиске минимума); точка, в которой достигается это значение, будет решением задачи оптимизации.

В общем случае проделать эти операции очень непросто. В п.п. 2) и 3) градиент может быть равен нулю или не существовать в бесконечном количестве точек - например на линии или на поверхности в многомерном пространстве. Пункт 4) вообще приводит к самостоятельной задаче поиска условного экстремума. Исследование функции на бесконечности - тоже нетривиальная задача.

Специфика задач экономики и управления заметно упрощает применение этих операций.

Во-первых, в экономических постановках на бесконечности никогда не бывает интересующего нас варианта. Бесконечность или недостижима из-за ограничений, или там реализуется обратный случай. Например, можно достигнуть бесконечных убытков, однако это не представляет интереса. Таким образом, пункт 5) в задачах экономики как правило не исследуется.

Во-вторых, точки, где градиент не существует, в детерминированных экономических постановках бывают известны заранее. Такие точки, соответствующие изломам и разрывам функции, всегда должны иметь экономическое обоснование. Примером могут служить количество товара, при котором начинает действовать скидка, величина дохода, когда меняется ставка налогообложения и т.п. В нашем примере про лесозаготовительный комбинат градиент не существует при количестве рабочих 70 (излом - начинает действовать другая величина затрат на человека) и 150 (разрыв - выплачивается субсидия).

В-третьих, используемые для описания экономических ситуаций функции достаточно просты и имеют, как правило, всего несколько точек, где градиент равен нулю или не имеют таких вообще.

Разбор примера задачи нелинейной оптимизации

Решим и проанализируем описанную выше ситуацию принятия решения для директора лесозаготовительного комбината.

Анализ будем проводить только с учетом переменных расходов. Как следует из общей теории оптимизации, постоянное слагаемое не оказывает влияние на оптимальный план действий, изменяя только значение целевой функции.

Как видно из данных примера, весь анализ можно провести в терминах количества рабочих. Обозначим через число рабочих на предприятии. Так как мы не можем уволить более 30 человек из имеющихся 70, то переменная ограничена снизу: .

Выпуск продукции пропорционален численности и равен м³ в мес. Доход от продажи в месяц тогда равен:

Если возможную субсидию при учесть в доходной части, то общую функцию месячного дохода можно записать так:

(3)

Если не нанимать новых сотрудников, то будет выполняться условие , а месячные расходы равны:

.

Если нанять новых рабочих, то . Из этого количества рабочих 70 будут «старых», а - «новых». Тогда месячные расходы будут складываться из затрат на «старых» по 80 тыс. руб. на человека и затрат на новых по тыс. руб. на человека. Суммарные затраты составят:

.

В итоге общую функцию месячных затрат можно записать в виде:

(4)

Прибыль комбината (без учета постоянных расходов) равна разнице между доходами (3) и переменными расходами (4) и запишется в виде:

(5)

Таким образом, математически задача формулируется так: найти , при котором функция прибыли (5) имеет максимум.

Очевидно, функция (5) меняется непропорционально искомой переменной и задача является нелинейной.

Пройдем для этой задачи все пункты алгоритма поиска глобального экстремума.

1) Определим градиент функции. В данном случае функции одной переменной градиент совпадает с производной. Если функция задана разными выражениями на разных интервалах, то нужно просто взять производные для каждого интервала. Они будут справедливы при строгом выполнении ограничивающих интервалы неравенств:

(6)

Как видно из выражения (6), производные на втором и третьем интервалах совпадают, но между ними при производная не существует, так как функция терпит разрыв.

2) Определим точки, где производная равна нулю. Для этого определим все , удовлетворяющие равенствам:

Рассмотрим интервал . На нем имеем уравнение:

.

Решая уравнение, находим

.

Однако данное значение не попадает в интервал: . Значит на указанном интервале нулей производной нет.

Рассмотрим интервал . На нем имеем уравнение:

.

Решая уравнение, находим

.

Данное значение принадлежит рассматриваемому интервалу: . Таким образом, является корнем производной.

Рассмотрим интервал . На нем имеем уравнение:

.

Решая уравнение, находим

.

Это значение не принадлежит рассматриваемому интервалу: . Значит на указанном интервале нулей производной нет.

Итак, производная равна нулю только в точке . Определим значение функции в этой точке:

.

То есть наняв 100 рабочих получим прибыль, равную 11400 тыс. руб.

3) Определим точки, где производная не существует. Это все точки границ интервалов. Найдем в них значение функции.

В точке функция имеет излом, но остается непрерывной. Ее значения с обеих сторон совпадают и равны:

.

Если останутся прежние 70 рабочих, то прибыль будет 11133 тыс. руб.

В точке функция имеет скачек. Ее значения разные с двух сторон.

При предел будет равен:

.

При предел будет равен:

.

Таким образом, наняв 150 рабочих получим прибыль, равную 11195 тыс. руб.

Замечание 1. В данной задаче из условия целочисленности числа рабочих можно было не искать значения пределов, а проверить значение прибыли при 150 и 149 рабочих.

Замечание 2. Из экономического смысла задачи очевидно, что предел справа (когда субсидия будет выплачена) будет лучше, чем предел слева (без субсидии).

4) Единственной границей области в данном случае является . При этом значении:

.

То есть при 40 работниках прибыль будет равна 9449 тыс. руб.

5) Поведение функции на бесконечности можно не рассматривать, как в задачах экономики. Однако, если это сделать, то получим:

.

Как и ожидалось, нанимая неограниченное количество рабочих будем получать неограниченные убытки.

6) Из всех найденных значений целевой функции выберем самое большое. Собираем все значения вместе:

,

,

,

,

.

Как видно, наибольшее значение достигается при .

Таким образом, оптимальное управленческое решение будет таким:

Ш Необходимо привлечь к работе всего 100 человек: 70 уже имеющихся и 30 новых. В этом случае мы получим наибольшую прибыль, равную 11 миллионов 400 тысяч рублей.

Ответить на вопросы, поставленные перед собой новым руководителем, можно так:

Ш Имеющееся количество рабочих не оптимально. Необходимо нанять еще 30 человек. Нанимать рабочих до 150 человек не выгодно, так как получаемая субсидия вместе с ростом доходов не компенсирует полученный рост расходов.

Сделаем еще несколько замечаний.

Ш Если мы сравним суммы прибыли при текущем количестве рабочих (11 млн. 133 тыс. руб.) и оптимальным (11 млн. 400 тыс. руб.), то видно, что прибыль меняется всего на 267 тыс. руб. или менее чем на 3%. Необходимо как следует проанализировать, стоит ли менять сложившийся вариант работы ради таких незначительных изменений. Для анализа необходимо уже будет учесть постоянные издержки. Если они велики, то прибыль с их учетом становится значительно меньше и дополнительные 267 тыс. руб. в месяц являются уже существенным выигрышем.

Ш Принятие на работу всего 150 человек приводит тоже к близкому финансовому результату. Этот случай может быть рассмотрен как вариант расширения предприятия, если есть перспектива поиска лучшего варианта сбыта продукции.

Графическая интерпретация решения.

Построим на одном графике все три функции, описываемые уравнениями (4), (5), (6) (см рис. 1).

Рис. 1. Графики зависимости экономических показателей от количества рабочих

Из графика видно, что оптимум прибыли достигается примерно при 100 рабочих.

График прибыли ведет себя достаточно плавно в окрестности максимального значения, значит небольшие изменения числа около рабочих 100 человек не сильно влияют на финансовый результат.

Методика и специфика решения задач нелинейной оптимизации в MS Excel

Задачу оптимизации нелинейной функции (6) можно было бы решить не путем анализа с использованием производной, и используя инструмент «Поиск решения» в MS Excel.

Если реализовать вычисления функции (6) по значению переменной в ячейке (см. рис. 2), то можно определить оптимально значение переменной в этой ячейке.

Рис. 2. Реализация вычисления функции прибыли в MS Excel

Для оптимизации используем инструмент «Поиск решения». Настраиваем параметры поиска решения (рис. 3) следующим образом:

Рис. 3. Настройка инструмента «Поиск решения»

· в поле «Оптимизировать целевую функцию» указываем ячейку, где реализована формула для прибыли;

· в поле «До» указываем «Максимум»;

· в поле «Изменяя ячейки переменных» указываем ячейку, предназначенную для значения переменной ;

· в поле «В соответствии с ограничениями» добавляем ограничение невозможности большого увольнения ;

· состояние поля «Сделать переменные без ограничений неотрицательными» в нашей задаче безразлично, так как единственная переменная ограничена;

· в поле «Выберите метод решения» выбираем «Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ» (так как наша задача нелинейная).

Нажав кнопку «Найти решение» получаем форму «Результаты поиска решения» (рис. 4). Убедившись, что в этом окне написано «Решение найдено. Все ограничения и условия выполнены», выбираем «Сохранить найденное решение» и нажимаем кнопку «Ок».

Рис. 4. Форма «Результаты поиска решения»

В ячейке переменной получаем оптимальное решение (рис. 5).



Рис. 5. Значения переменных после оптимизации

Как видим, нам удалось найти правильное решение автоматически.

Замечание: небольшое отличие значения в ячейке для искомой переменной от точного (получилось вместо ) обусловлено численной реализацией метода поиска. Это значение можно смело округлить с заданной точностью.

Важно отметить такую специфику решения нелинейных задач в MS Excel. Поиск решения методом ОПГ ищет значения переменных от начального заданного, обеспечивая постоянное улучшение результата с текущего места. Такая реализация приводит к поиску локального, а не глобального экстремума. Так, «начав» поиск от 70 рабочих мы нашли оптимальное значение 100 человек. Начав же, например, со 160 человек, получим «оптимальное» количество 150 (рис. 6). Выбрав же вначале 200 человек можно снова прийти к оптимальному значению 100.

Рис. 6. Изменение решения при смене начального приближения

Описанное свойство является характерным для большинства алгоритмов численного поиска оптимумов в задачах нелинейной оптимизации. Для того, чтобы получить действительно глобальный максимум необходимо попробовать определить оптимальное решение для нескольких начальных приближений (в задачах экономики они, как правило, выбираются легко из смысла задачи). В задачах с одной и двумя переменными очень помогает построение графиков.

Задание для самостоятельного решения

Числовые условия задания формируются на основе двух последних цифр зачетной книжки или студенческого билета. Выполнение чужого варианта задания не допускается.

В задании данной темы:

;

;

;

;

;

;

;

;

- последняя цифра номера зачетной книжки;

- предпоследняя цифра номера зачетной книжки.

Вы - новый руководитель фирмы, производящей дорогостоящие автоматизированные станки. В настоящее время фирма производит 100 станков в год. Вам необходимо проанализировать и при возможности оптимизировать работу фирмы.

Задание

Определите оптимальное количество станков , которое необходимо выпускать в год для оптимизации прибыли при следующих условиях функционирования фирмы:

· Цена продажи одного станка равна млн. руб.

· Постоянные издержки фирмы равны млн. руб., переменные издержки равны млн. руб.

· На отечественном рынке возможно продать только станков в год. Все остальная выпущенная продукция продается за границей за ту же цену, но с оплатой таможенной пошлины млн. руб. за каждый импортируемый станок.

· Для крупного выпуска продукции ( и более станков в год) необходимо в этом году заплатить экологическую пошлину, равную млн. руб.

Ш Сформулируйте оптимальное экономико-управленческое решение в имеющихся условиях.

Ш Дайте экономическое обоснование полученного решения.

Ш Приведите сравнение предлагаемого Вами плана выпуска станков с используемым ранее вариантом. Обоснуйте необходимость изменений.

Ш Приведите график зависимости прибыли от количества выпускаемой продукции. Обоснуйте свое решение с помощью графика.

Использованная литература

Основная литература:

1. Бусов, В. И. Управленческие решения : учебник для бакалавров / В. И. Бусов ; Гос. Ун-т управления. - М. : Юрайт, 2013. - 255 с.

2. Зуб, А. Т. Принятие управленческих решений. Теория и практика : Учебное пособие / А. Т. Зуб. - М. : ИД ФОРУМ : ИНФРА - М, 2010. - 400 с.

3. Трофимова, Л. А. Методы принятия управленческих решений : учебник для бакалавров / Л. А. Трофимова, В. В. Трофимов ; СПб. гос. экономический ун-т. - М. : Юрайт, 2013. - 336 с.

Дополнительная литература:

1. Зуб, А. Т. Принятие управленческих решений. Теория и практика : учебное пособие / А. Т. Зуб. - М. : Форум, 2010. - 400 с.

2. Кораблин, М. А. Информатика поиска управленческих решений : учебное пособие / М. А. Кораблин. - М. : Солон - Пресс, 2009. - 192 с.

3. Ломакин, А. Л. Управленческие решения [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А. Л. Ломакин, В. П. Буров, В. А. Морошкин. - 2-е изд., испр. и доп. - М. : Форум, 2009. - 176 с. - Режим доступа: http://znanium.com.

4. Лукичева, Л. И. Управленческие решения : учебник / Л. И. Лукичева, Д. Н. Егорычев. - 6-е изд., стер. - М. : Омега - Л, 2011. - 384 с.

5. Смирнов, Э. А. Управленческие решения [Электронный ресурс] : учебник для вузов / Э. А. Смирнов. - М. : ИЦ РИОР, 2009. - 362 с. - Режим доступа: http://znanium.com.

6. Строева, Е. В. Разработка управленческих решений : учебно-практическое пособие / Е. В. Строева, Е. В. Лаврова. - М. : Инфра - М, 2012. - 128 с.

7. Строева, Е. В. Разработка управленческих решений [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Е. В. Строева, Е. В. Лаврова. - М. : НИЦ Инфра-М, 2012. - 128 с. - Режим доступа: http://znanium.com.

8. Урубков, А. Р. Курс МВА по оптимизации управленческих решений : практическое руководство по использованию моделей линейного программирования / А. Р. Урубков. - М. : Альпина Бизнес Букс, 2006. - 172 с.

9. Фатхутдинов, Р. А. Управленческие решения [Электронный ресурс] : учебник / Р. А. Фатхутдинов. - 6-e изд., перераб. и доп. - М. : ИНФРА-М, 2010. - 344 с. - Режим доступа: http://znanium.com.

10. Филинов, Н. Б. Разработка и принятие управленческих решений : учебное пособие / Н. Б. Филинов. - М. : Инфра-М, 2010. - 308 с.

Интернет-сайты

1. www.ieml-math.narod.ru - сайт материалов кафедры высшей математики ИЭУП (Казань)

2. de.ifmo.ru/bk_netra/select.php - Электронные учебники системы дистанционного обучения Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

3. www.uecs.ru/ - Управление экономическими системами. Электронный научный журнал

4. office.microsoft.com/ru-ru/excel-help - Официальные обучающие материалы Microsoft по Excel и другим офисным программам

5. exsolver.narod.ru/ - Задачи оптимизации в MS Excel

6. citforum.ru/pp/excel70.shtml - Решение прикладных задач в MS Excel

Размещено на Allbest.ru