Семь инструментов контроля качества

Когда выяснено, что гистограмма следует гауссовскому (нормальному) закону распределения, становится возможным исследование воспроизводимости процесса, т.е. определяется неизменность основных параметров процесса: среднего значения ?Х или математического ожидания М(х) и стандартного отклонения во времени. Оно важно при оценке процесса с помощью выборочных данных, когда требуется выяснить вероятность пересечения распределения генеральной совокупности, границ поля допуска и появления в связи с этим несоответствия требованиям потребителя (пользователя). Если процесс имеет нормальное распределение, то не представляет труда определить возможность выхода распределения генеральной совокупности при заданных значениях М(х) и у исходя из сравнения соответствующих трехсигмовых пределов и пределов поля допуска.

Величина площади под кривой Гаусса при различных границах изменения случайной величины представлены в табл.6.



Полученные результаты истолковываются следующим образом. Если 68,26%, т.е. примерно 2/3 значений лежат между границами м - у и м + у, то 31,74% всех наблюдений следует ожидать за этими границами, а именно: 15,87% - за границей м + у и 15,87% за границей м - у в силу симметричности нормального распределения.

Границы м - 2у и м + 2у охватывают 95,44% всех значений, а вне этих границ находятся по 2,28% значений (за границей м + 2у и м - 2у), т.е. всего 4,56%. Между 3у границами (м - 3у; м + 3у) находится 99,73% всех наблюдений, т.е. практически все значения. Только 0,27% значений находятся за границами, а именно: 0,135% за границей м + 3у и 0,135% за м - 3у.

Таким образом, теоретически нормальная переменная может принимать любое значение от -? до +?, однако вероятность попадания в 3у границы составляет 99,7%. Это означает, что на практике мы можем пренебречь шансами, что X окажется за пределами3у границ - это правило служит основанием для определения контрольных пределов в контрольных картах (по количественному признаку).

Равномерное (равновероятное) распределение наблюдается в случаях, когда на случайную величину решающее влияние оказывает величина, также распределенная равномерно, а так же в случаях, когда ни одно из значений случайной величины не имеет преимущества перед другими.

Треугольное распределение (распределение Симпсона) возникает, если рассматривается сумма или разность двух равномерно распределенных случайных величин. Экспоненциальное распределение характерно для величины наработки изделий до отказа, если отказы происходят с равной вероятностью (одинаковой интенсивностью) в течении всего срока службы (например, за счет скрытых дефектов или случайных отклонений в технологии).

Логарифмически нормальное распределение характерно для времени простоя некоторых видов оборудования, для оценки потребности в различных типоразмерах изделий, усталостной долговечности деталей.

Биноминальное распределение обобщает различные случаи оценки доли бракованных изделий в партии при контроле по альтернативному признаку (годен - не годен). Частными случаями его являются гипергеометрическое и распределение Пуассона, описывающее вероятность редких событий.

С нормальным распределением связан еще ряд специальных распределений, описывающих поведение случайных величин различных типов. На практике часто встречаются комбинации различных законов, а так же различные усечения их, обусловленные физической природой явлений. Однако, хотя в чистом виде эти законы практически никогда не проявляются из-за неизбежных отклонений, называемых действием случайных факторов, их использование чрезвычайно полезно, так как позволяет прогнозировать возможные значения случайной величины, что необходимо при принятии управленческих решений.

На практике даже если закон распределения точно известен, бывают неизвестны его параметры. Поэтому для определения закона и его параметров проводятся статистические наблюдения, по результатам которых строят эмпирические распределения. По их виду судят о характере закона распределения и при необходимости подбирают параметры теоретического закона, соответствующие полученным экспериментальным результатам.

Распределение случайной величины может быть представлено не только в виде графика функции или плотности распределения, но и в виде чисел, отражающих наиболее существенные особенности случайной величины. Оценки случайной величины с помощью чисел называются точечными оценками.

Наиболее употребительными точечными оценками являются: среднее арифметическое, мода, медиана, размах, среднее квадратичное отклонение. Они показаны на рис. 19.

Среднее арифметическое (выборочное среднее арифметическое) - средняя величина, получаемая из всех имеющихся результатов по формуле:

i - порядковый номер значения случайной величины;

n - общее число ее значений.

Следует подчеркнуть, что средняя только в том случае является обобщающей характеристикой, когда она применяется к однородной совокупности статистического материала.

Кроме важнейшей характеристики положения - средней арифметической при анализе и контроле процесса необходимо работать и с другими характеристиками положения, в частности с медианой и модой случайной величины.

Медиана - среднее значение в выборке. Если полученные при измерениях значения расположить в возрастающем или убывающем порядке, то медианой будет значение, занимающее серединное значение в ряду. Таким образом, медиана - это значение параметра, которое делит упорядоченный ряд на две равные по объему группы. То есть, вероятность того, что случайная величина может оказаться меньше медианы, равна вероятности, что она окажется больше ее. При абсолютной симметрии правой и левой стороны распределения медиана и среднее арифметическое совпадают.

Мода - это наиболее часто встречающееся значение случайной величины. Возможно, что среди полученных значений имеется не одна, а две или более мод. Такое распределение называют двумодальным или полимодальным. Возможно, что распределение не имеет моды, это равномерное распределение.

Нередко встречаются антимодальные распределения, имеющие в середине диапазона полный или частичный провал плотности распределения. На практике антимодальные распределения могут возникнуть, если из выборки извлекается ее средняя по вероятности часть. Например, из выборки деталей, размеры которых распределены по нормальному закону, извлекаются только детали, имеющие наименьшие отклонения от среднего значения, тогда остающиеся детали будут иметь размеры, определенные по антимодальному распределению.

Двумодальное распределение может возникнуть, если рассматривается смешение двух выборок, имеющих нормальные распределения.

Размах (R) - это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.Размах характеризует разброс случайной величины. Лучшей, чем размах, более эффективной оценкой разброса является дисперсия Dх = уx2 и среднее квадратичное отклонение уx.

Дисперсия представляет собой среднее значение квадратов отклонений каждого значения случайной величины от среднего арифметического. Вообще говоря, дисперсия определяется для всей генеральной совокупности и является понятием теоретическим. На практике определяется выборочная дисперсия, которая вычисляется по следующей формуле:

По мере увеличения числа наблюдений выборочная дисперсия приближается к своему теоретическому значению - дисперсии генеральной совокупности уx2.

Среднее квадратичное отклонение и выборочное среднее квадратичное отклонение представляют собой корень квадратный из соответствующих дисперсий:

Когда выясняется, что гистограмма следует нормальному распределению, часто предпринимается исследование воспроизводимости процесса, т.е. определяется неизменность основных параметров процесса: среднего значения х и стандартного отклонения во времени у. Оно важно при оценке того, сможет ли процесс пересечь границы поля допуска или нет и появления в связи с этим несоответствия требованиям потребителя.

Если допустить, что процесс имеет нормальное распределение, то можно сразу же определить процент дефектов, оказавшихся за данными границами допуска при данных параметрах (х ,s). Но более полезно оценить процесс с помощью СР-индекса воспроизводимости процесса (индекс возможностей). Приведем определение СР.

При двусторонних границах допуска (SU или SL - значения верхней и нижней границ допуска):



При односторонних границах допуска (SU или SL):

Исследование воспроизводимости процесса с помощью СР позволяет оценить качество процесса в соответствии с требованиями потребителя. Чем больше величина СР, тем выше качество процесса и тем меньше вероятность несоответствия его выхода ожиданиям потребителя.

Точность технологического процесса оценивают, исходя из следующих критериев:

1. В случае, когда СР?1,67, ширина интервала между контрольными нормативами не менее чем в 10 раз превышает стандартное отклонение s; разброс параметров изделия невелик, появление брака не угрожает.

2. В случае, когда 1,67>СР?1,33, ширина интервала между контрольными нормативами в 8-10 раз превышает стандартное отклонение s. Идеальное состояние процесса.

3. В случае, когда 1,33>СР?1,00, ширина интервала между контрольными нормативами в 6-8 раз превышает стандартное отклонение s. Когда показатель СР близок к 1, вероятность появления брака составляет 0,27%, поэтому необходимо усилить контроль процесса, провести анализ факторов, влияющих на разброс, и провести мероприятия по улучшению состояния процесса.

4. В случае, когда 1,00>СР?0,67, ширина интервала между нижней и верхней границами нормы всего лишь в 4-6 раз превышает стандартное отклонение s. Когда показатель СР приближается к 0,67, вероятность появления брака составляет 4,56%. Это означает, что контроль процесса не удовлетворителен. Необходимо наладить строгий контроль процесса и провести сплошной контроль выпускаемых изделий с целью недопущения брака.

5. В случае, когда 0,67>СР, ширина интервала между нижней и верхней границами нормы не превышает 4s. Процент брака превышает 4,56%. О таком процессе можно сказать, что он неконтролируем. Необходимо провести сплошной контроль продукции, чтобы предотвратить выпуск бракованных изделий.

Выбирать оборудование необходимо так, чтобы поле допуска на изготавливаемые изделия составляло 7 или 8 единиц его стандартного отклонения. Если такого оборудования нет, то необходимо пересмотреть нормы на процент брака, который должен быть установлен более 0,27%.

Стратификация

В Японии говорят: «Без расслоения нет прогресса контроля качества».

Стратификация (расслоение) - один из наиболее простых статистических методов. В соответствии с этим методом производят расслоение данных, то есть группируют данные в зависимости от условий их получения и производят обработку каждой группы данных в отдельности.

Стратификация или расслоение (группировка) данных - инструмент, позволяющий произвести селекцию данных в соответствии с различными факторами.

В производственных процессах часто используется метод расслоения «5М»: men, methods, materials, measure, machines (люди, методы, материалы, измерения, оборудование):

? по исполнителям - по квалификации, полу, стажу работы и т.д.;

? по способу производства - технологическому приему, месту производства, условиям производства;

? по материалу - по качеству сырья, партии, месту производства, сроку выпуска и т.д.

? по измерению - по методу измерения, типу измерительных средств или их точности;

? по оборудованию и машинам - по новому и старому оборудованию, марке, конструкции, сроку службы и т.д.

При определении причин брака всю однородную продукцию можно разделить на группы (сгруппировать) по следующим факторам: производственный участок, станок, рабочий-оператор, смена, день недели, исходный материал, режим обработки и т.п. Если оказывается, что показатель качества продукции в одной из партий отличается от такого же показателя в другой, то причину следует искать в различии условий изготовления этих партий. При умелой группировке по факторам можно быстро и с минимальными затратами находить решения достаточно сложных проблем.

При проведении расслоения данных необходимо помнить требования, применяемые к расслоению:

1. Различие между средними значениями слоев должны быть ощутимыми, чтобы сделать вывод о различие слоев.

2. Разброс данных внутри слоев должен быть меньше, чем до их расслоения.

Метод расслоения используется при применении следующих статистических методов: гистограммы, диаграмма Парето, причинно-следственная диаграмма Исикавы, контрольные карты.

Сбор данных для последующего их анализа методом группировки следует вести с применением соответствующих листков наблюдений (контрольных листков). Так, листки, приведенные на рис. 3 и 4, составлены с учетом требований группировки данных. На листке Рис. 3 группировка произведена по зонам детали. Всего выделено 15 зон, что позволяет определить область наиболее частого появления дефектов относительно расположения клейма. Предполагается, что расположение клейма связано с условиями изготовления детали, например, на отливке клеимо получается в определенном месте.

На листке (Рис.4) группировка произведена по 4 факторам:

1 - тип дефекта, 2 - бригада, 3 - день надели, 4 - время дня (до или после обеда).

В результате анализа выявлено, что бригада "4" допускает больше дефектов типа "У", а бригад "1 и 2" допускает больше дефектов типа "А", однако причина этих различий еще не найдена и проблема не решена. Причина различий между бригадами может быть скрыта в уровне подготовки, используемом оборудовании и инструментах, условиях работы и т.п. Поиск причин далеко не завершен, но он стал более целенаправленным, ограниченным различиями между бригадами. Из перечня возможных причин исключены дни недели, здесь практически различий нет. В то же время видны различия между периодом до и после обеда.

Решение проблемы не всегда находится на поверхности. Рассмотрим следующий пример. Довольно часто бывают случаи, когда поставки по заказам, размещенным в сторонних организациях, задерживаются, сроки поставок не выполняются. В таких случаях проблема обсуждается на совещании, где присутствуют все, имеющие к ней отношение, с целью нахождения мер по устранению этих причин. Обычными предложениями в таких случаях бывают увеличить срок выполнения заказа или строго соблюдать дату оформления заказа. В этом случае необходимо хорошо проанализировать данные, чтобы понять, будет ли строгое соблюдение даты оформления заказа той мерой, которая действительно решит проблему своевременного выполнения заказа. Для этого разделяют случаи выполнения заказа в срок и случаи задержки выполнения заказа, с одной стороны, а также случаи строгого соблюдения даты оформления заказа и случаи несвоевременного оформления заказа, - с другой, после чего анализируют таблицу расслоения.

Если в результате анализа данных окажется, что строгое соблюдение даты оформления заказа приведет к значительному улучшению положения, как это видно из табл.7, то решение проблемы можно считать найденным.

Однако, если при расслоении данные оказываются расположенными, как в табл. 8, то результат анализа не позволяет утверждать, что строгое соблюдение даты оформления заказа окажется решающим фактором в решении проблемы. В этом случае необходимо провести более глубокий анализ данных.

Более глубокий анализ сложившейся ситуации предполагает, прежде всего, провести расслоение по видам деталей, которые составляют заказ (табл. 9).



При анализе данных табл. 9 видно, что больше всего случаев задержек относится к поставкам деталей А, В, С. В сравнении с ними число случаев задержки поставок деталей D, E, F незначительно. Следует найти причину такой разницы в сроках поставок этих деталей.

Допустим, было установлено, что детали А, В, С в отличие от деталей D, E, F требуют дополнительной поверхностной обработки, т.е. процесс изготовления деталей А, В, С оказывается дольше. Кроме того, было выяснено, что поверхностная обработка выполняется по вторичному заказу другим предприятием. Более того, оказалось, что бывают случаи, когда не требующие поверхностной обработки детали D, E, F также передаются для изготовления другому предприятию по вторичному заказу. Эти данные анализируются после составления таблицы расслоения по фактору наличия или отсутствия вторичного заказа (табл.10).

Результат анализа данных показывают большое влияние оформления вторичного заказа на срок выполнения первичного заказа.

Анализ данных по методу расслоения приводит к выводу, что для окончательного решения проблемы должны быть намечены следующие меры:

1. не допускать вторичных заказов, которые делаются без предварительной договоренности с предприятием-заказчиком;

2. скорректировать объем заказа так, чтобы он был по силам предприятию, на котором размещается заказ, и не вынуждал его делать вторичные заказы на других предприятиях;

3. информацию о планировании размещения заказа на детали, которые требуют поверхностной обработки, доводить до предприятия, на котором будет размещается заказ, заранее;

4. оказать помощь предприятию, на котором размещается заказ, освоить принципы ведения дел с предприятиями, на которых размещаются вторичные заказы.

На рис. 20 представлена гистограмма контроля времени изготовления детали на производственном участке. Полученное распределение имеет бимодальную форму. Это связано с тем, что для производства данного вида деталей использовались два различных станка различной производительности.

Диаграмма разброса

В процессе исследования часто приходится выяснять, существует ли зависимость между двумя различными параметрами процесса. Например, зависит ли качество готового изделия от качества исходных материалов, комплектующих деталей и узлов и т.д. Для выяснения зависимости между показателями качества и основными факторами производства, а также корреляционной зависимости между факторами используют диаграммы разброса (рассеивания), которые также называются полем корреляции.

Диаграмма разброса (рассеивания) - это инструмент, позволяющий определить вид и тесноту связи двух рассматриваемых параметров процесса.

Диаграмма разброса представляет собой график, получаемый путем нанесения в определенном масштабе экспериментальных, полученных в результате наблюдений точек. Координаты точек соответствуют значениям рассматриваемой величины и влияющего на него фактора. Расположение точек на графике показывает наличие и характер связи между случайными величинами. Таким образом, диаграмма разброса дает возможность выдвинуть гипотезу о наличии или отсутствии корреляционной связи между двумя случайными величинами, которые могут относиться к характеристике качества и влияющему на нее фактору либо к двум различным характеристикам качества, либо к двум факторам, влияющим на одну характеристику качества.

Значительно облегчается контроль процесса с технологической, временной и экономической точек зрения при наличии корреляционной зависимости между двумя факторами.

По полученным экспериментальным точкам могут быть определены и числовые характеристики связи между рассматриваемыми случайными величинами: коэффициент корреляции и коэффициенты регрессии.

Построение диаграммы разброса выполняется в следующей последовательности:

1. Определяется, между какими величинами необходимо установить наличие и характер связи. Желательно не менее 30 пар данных, так как в противном случае результаты анализа недостаточно достоверны.

2. Готовится бланк для сбора данных, в котором предусматриваются записи в следующие графы:

* порядковый номер наблюдения i;

* значение одной из рассматриваемых величин, той от которой, как предполагается, зависит другая. Ее обычно называют аргументом и обозначают через х;

* значение зависимой случайной величины, называемой функцией или откликом и обозначаемой у.



Таким образом, в процессе наблюдений в данный листок можно собрать необходимые данные для построения диаграммы рассеяния. Однако, если сбор данных осуществляется в условиях реального производства, то нельзя быть уверенным, что все другие факторы, также оказывающие влияние на результат (функцию), остаются неизменными. Например, анализируется влияние на твердость закаливаемой детали одного из легирующих элементов. Но при этом не учитывается, что одновременно с изменением содержания анализируемого элемента изменяется и содержание другого, также влияющего на твердость при закалке. В результате может сложиться неверное представление о влиянии данного элемента на закалочную твердость. В таких случаях говорят о ложной корреляции, ложной взаимосвязи между величинами.

Чтобы исключить возможность получения ложной корреляции, необходимо, чтобы в процессе наблюдений остальные факторы, которые могут оказывать влияние на рассматриваемую функцию, оставались по возможности неизменными. Если же этого нельзя сделать, как чаще всего бывает, то следует добиться того, чтобы изменения других факторов были не согласованы с изменениями рассматриваемого фактора. Как минимум, следует вести наблюдения за остальными влияющими факторами. Для этого и следует предусмотреть в листке наблюдений специальные графы для регистрации этих факторов. Тогда в листке наблюдений будут графы для х, у , а также для z, и, v и т. д.

3. Проводятся наблюдения и заполняется листок регистрации данных (листок наблюдений).

4. По полученным данным строится график в координатах х-у. Масштабы по осям следует выбирать такими, чтобы они соответствовали диапазонам изменений этих величин, то есть диапазон изменений х должен быть несколько больше, чем размах Rx = Xmax - Xmin, а диапазон изменения у должен быть несколько больше размаха Ry = Уmax - Уmin. Размеры осей по вертикали и по горизонтали должны быть примерно одинаковыми, тогда диаграмма будет легче читаться.

5. Каждую пару данных необходимо отметить на координатной плоскости точкой с координатами (х, у). Если в разных наблюдениях получаются одинаковые значения, то покажите эти точки либо рисуя концентрические кружки, либо нанося вторую точку вместе с первой.

6. Сделайте все необходимые обозначения: название диаграммы; интервал времени; число пар данных; названия и единицы измерения для каждой оси; данные о составителе диаграммы. При наличии корреляционной зависимости можно осуществить контроль только одной (любой) из двух характеристик. При этом характер корреляционной зависимости, который определяется видом диаграммы разброса, дает представление о том, каким изменениям будет подвержен один из параметров при определенных изменениях другого. Так, при увеличении х на диаграмме (Рис.21а) у также будет увеличиваться (прямая корреляция). В этом случае при осуществлении контроля причинных факторов х (откликов) характеристика у (функция) будет оставаться стабильной.

На рис.21б показан пример обратной (отрицательной) корреляции. При увеличении х характеристика у уменьшается. Если причинный фактор х находится под контролем, характеристика у остается стабильной.

На рис.21в показан пример отсутствия корреляции, когда никакой выраженной зависимости между х и у не наблюдается. В этом случае необходимо продолжить поиск факторов, коррелирующих с у, исключив из этого поиска фактор х.

Между параметрами х и у возможны также случаи криволинейной корреляции (Рис.21г). Если при этом диаграмму разброса можно разделить на участки, имеющие прямолинейный характер, проводят такое разделение и исследуют каждый участок в отдельности.



Рассмотрим пример построения диаграммы разброса.

1. Цель построения: определить наличие и характер связи между случайными величинами, одна из которых представляет собой параметр технологического процесса, а другая - параметр качества изделия. Анализ предварительных наблюдений не дает однозначного результата: одни склонны видеть влияние данного фактора, а другие такое влияние отрицают. Решено провести количественные измерения и объективно определить, есть ли связь между этими величинами или нет, а также приближенно определить ее характер.

2. Для сбора данных разработан листок регистрация, в котором предусмотрена таблица, имеющая графы:

? порядковые номер измерения i;

? значение технологического фактора х;

? значение показателя качества изделия у;

? значение фактора z , который по предварительным данным также оказывает влияние на показатель качества у.

2. Проведены наблюдения с измерениями значений х ,z и у. Полученные результаты занесены в листок наблюдений (табл.11)

4. По полученным данным строится график, по одной оси которого - горизонтальной - откладываются значения х, по другой - вертикальной - значения у. Диапазон изменения х от 17 до 68, поэтому ось х можно разбить в диапазоне от 10 до 80.

Диапазон изменения у от 40 до 180. Разбиваем ось в пределах от 30 до 200. На построенный таким образом график в масштабе наносим экспериментальные точки.

График с нанесенными точками приведен на рис.22. Облако точек вытянуто. В среднем при увеличении х происходит увеличение у. Следовательно, на основе полученных при наблюдениях результатов можно сделать вывод о наличии между данными величинами положительной корреляционной связи. То есть, технологический параметр х оказывает влияние на параметр качества изделия у.

Чтобы оценить влияние на показатель качества у параметра z, построим график зависимости z-y . Эти зависимость, приведена на рис.23. Видно, что между величинами х и z можно усмотреть слабую связь. Однако следует принять во внимание, что разброс точек очень велик, а самих наблюдений произведено не очень много, чтобы с уверенностью судить о наличии связи.



В некоторых случаях вывод, полученный на основе визуального анализа диаграмм рассеяния, бывает достаточным для принятия решений о проведении нужных мероприятий. Но иногда желательно получить количественную оценку тесноты или силы связи между случайными величинами.

Существуют различные методы оценки степени корреляционной зависимости. Одним из них является метод вычисления коэффициента корреляции r по формуле :

Где: Sxy - ковариация случайных величин x и y:

 - выборочные дисперсии величин х и у:

Коэффициент корреляции характеризует тесноту связи случайных величин, связанных между собой линейной зависимостью типа тех, которые приведены на рис.21а, б, в. Для случая, изображенного на рис.21г или других нелинейных зависимостей этот коэффициент неприменим.

Коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до +1. Если его значение близко к 0 - это значит, что между двумя рассматриваемыми величинами связь отсутствует. Если значение коэффициента близко к +1, между величинами имеется тесная положительная корреляция: при увеличении одной из них увеличивается и другая. Если же коэффициент корреляции близок к -1, между величинами имеется отрицательная корреляционная связь.

Расчет коэффициента корреляции производится в следующем порядке:

? порядковый номер измерения i;

? значения одной из случайных величин xi ;

? значения другой случайной величины yi ;

? произведение случайных величин xi и yi ;

? квадрат одной случайной величины:

? квадрат другой случайной величины:

2. Вычисляется сумма величин в каждом из столбцов от i=1 до i=n, где n - число измерений:



3.Вычисляются значения средних величин по формулам:

4. Вычисляются значения выборочных дисперсий по формулам и.

5. По полученным результатам вычисляется коэффициент корреляции. Определим коэффициент корреляции для примера, приведенного на рис. 22. Для этого табл. 11 дополняется необходимыми графами и проводятся соответствующие вычисления . Результаты их приведены в табл.12.

Последующие вычисления по формулам дают следующие значения:

Таким образом, значение коэффициента корреляции составляет 0,97, что указывает на существование между величинами x и y сильной положительной корреляции.

Если оказывается, что между двумя случайными величинами существует связь, то можно найти математическое выражение зависимости между ними, формулу в которой каждому значению одной случайной величины будет соответствовать среднее значение другой случайной величины. Такая зависимость называется регрессионной зависимостью.

Рассмотрим наиболее часто встречающуюся линейную функцию. Кроме того, что она часто встречается, она удобна тем, что может быть применена для представления изменений величин, описываемых другими законами, если рассматриваются их изменения в достаточно узком интервале.

Уравнение прямой линии имеет вид:

где:

y - функция (зависимая переменная),

x - аргумент (независимая переменная),

b - значение функции при x =0,

a - угловой коэффициент прямой, равный изменению функции при изменении аргумента на одну единицу. Этот коэффициент положителен, если при увеличении аргумента увеличивается и значение функции, и отрицателен в противном случае.

В случае вероятностной (стохастической) зависимости между случайными величинами каждому значению аргумента соответствует целый диапазон изменения зависимой величины. Поэтому зависимую величину называют не функцией, а откликом. Между аргументом и откликом нет однозначной связи, а есть лишь вероятностная связь, связь в среднем, когда значению аргумента можно поставить в соответствие в качестве наиболее вероятного среднее значение другой случайной величины.

Линии регрессии определяют по экспериментальным точкам. Она должна проходить так, чтобы быть возможно ближе к этим точкам, но при этом оставаться прямой. Наиболее подходящая линия-это линия, у которой сумма отклонений от экспериментальных точек наименьшая. Желательно найти именно такую линию, то есть найти ее коэффициенты. Это можно сделать методом наименьших квадратов. При этом коэффициенты а и b линии регрессии определяются из следующих соотношений:

Для рассматриваемого примера расчеты коэффициентов линейной регрессии проводятся по данным той же табл. с использованием результатов, полученных при определении коэффициента корреляции rxy, при этом:

a = 15435,30/6245,55 = 2,47

b = 97,10 - 2,47*36,35 = 7,32

Следовательно, уравнение линии регрессии для данных экспериментальных результатов имеет вид:

y=2,47x + 7,32.

Эта линия показана на рис.24 вместе с экспериментальными точками, полученными при наблюдениях.

Коэффициенты регрессии могут быть приближенно определены графически на основе построения на глаз прямой, проходящей через наиболее плотное расположение экспериментальных точек на диаграмме рассеяния. Следует отметить, что линия регрессии проходит через точку М с координатами , то есть через центр рассеяния экспериментальных точек.

Во многих случаях определение коэффициентов регрессии по прямой, проведенной, на глаз, оказывается, достаточно точным, учитывая, что и при расчете по формулам используются экспериментальные данные, являющиеся случайными величинами. Поэтому и коэффициенты регрессии также являются величинами случайными, и им нельзя придавать какого-то абсолютного значения. В любом случае при анализе экспериментальных результатов следует постоянно иметь в виду реальное физическое содержание наблюдаемого явления, чтобы не выйти за рамки здравого смысла.

Кроме того необходимо иметь в виду, что бывают случаи, когда разные диаграммы разброса, приведенные на рис. 25, дают практически одинаковые результаты, если их подвергнуть регрессионному анализу (табл.13). Эти четыре графика заимствованы из работы Ф.Дж. Энскамби «Графики в статистическом анализе».



Контрольные карты

Контрольные карты - инструмент, позволяющий отслеживать ход протекания процесса и воздействовать на него (с помощью соответствующей обратной связи), предупреждая его отклонения от предъявляемых к процессу требований.

У.А. Шухарт считал, что контрольные карты должны отвечать трем главным требованиям:

1. Определять требуемый уровень или номинал процесса, на достижение которого должен быть нацелен персонал предприятия.

2. Использоваться как вспомогательное средство для достижения этого номинала.

3. Служить в качестве основы для определения соответствия номиналу и допускам.

Таким образом, принципы построения контрольных карт Шухарта охватывают круг понятий, связанных со стабилизацией производственного процесса, его производительностью и оценкой качества, а реализация этих принципов способствует взаимоувязке различных направлений хозяйственной деятельности.

Существует два типа контрольных карт: один предназначен для контроля параметров качества, представляющих собой непрерывные случайные величины, значения которых являются количественными данными параметра качества (значения размеров, масса, электрические и механические параметры и т.п.), а второй - для контроля параметров качества, представляющих собой дискретные (альтернативные) случайные величины и значения, которые являются качественными данными (годен - не годен, соответствует - не соответствует, дефектное - бездефектное изделие и т.п.).

В зависимости от вида данных и методов их статистической обработки выделяют различные типы контрольных карт, основные из которых представлены на Рис. 26.

Все перечисленные карты относятся к категории карт Шухарта, которые широко применяются в Европе и Японии. Как правило, при анализе процессов метод контрольных карт используется совместно с гистограммами и расслоением данных.

Что важнее всего в процессе управления, так это точное понимание состояния объекта управления с помощью чтения контрольных карт и быстрое осуществление соответствующих действий, как только в объекте обнаружилось что-нибудь необычное, неслучайное. Контролируемое состояние объекта - это такое состояние, когда процесс стабилен, а его среднее и разброс не меняются. Выход из контролируемого состояния определяется по контрольной карте на основании следующих критериев (Рис.27):

1) Выход точек за контрольные пределы.

2) Серия - это проявление такого состояния, когда точки неизменно оказываются по одну сторону от средней линии; число таких точек называется длиной серии. Серия длиной в семь точек рассматривается как неслучайная. Даже если длина серии оказывается менее шести, в ряде случаев ситуацию следует рассматривать как неслучайную, например, когда:

а) не менее 10 из 11 точек оказываются по одну сторону от центральной линии;

б) не менее 12 из 14 точек оказываются по одну сторону от центральной линии;

в) не менее 16 из 20 точек оказываются по одну сторону от центральной линии.

3) Тренд (дрейф). Если точки образуют непрерывно повышающуюся или понижающуюся кривую, говорят, что имеет место тренд.

4) Приближение к контрольным "зонам" пределам. Рассматриваются точки, которые приближаются к 3-сигмовым контрольным пределам, причем если 2 или 3 точки оказываются за 2-сигмовыми линиями, то такой случай надо рассматривать как ненормальный.

5) Приближение к центральной линии. Когда большинство точек концентрируется внутри центральных полуторосигмовых линий, что обусловлено неподходящим способом разбиения на подгруппы. Приближение к центральной линии вовсе не означает, что достигнуто контролируемое состояние, напротив, это значит, что в подгруппах смешиваются данные из различных распределений, что делает размах контрольных пределов слишком широким. В таком случае надо изменить способ разбиения на подгруппы.

Одним из важных этапов при составлении контрольных карт является способ определения контрольных границ (границ регулирования). Для определения контрольных границ необходимо собрать большое количество данных, характеризующих состояние процесса, и на их основе рассчитать по установленной формуле (табл.14) контрольные нормативы. Обычно диапазон от средней до границ регулирования содержит трехкратное среднее квадратичное отклонение.

Рассмотрим контрольные карты наиболее широко применяемые в производстве.



Формулы расчета контрольных границ для всех видов контрольных карт Шухарта



Контрольная карта индивидуальных значений (X):

Эта карта применяется, если наблюдения проводятся над небольшим числом объектов, и все они подвергаются контролю. Наблюдения ведутся над непрерывным показателем.

Порядок построения контрольной карты (этапы построения):

1. Данные измерений анализируемой величины х последовательно регистрируются в контрольном листке. Каждому значению присваивается номер i от 1 и далее. Когда набирается 25-30 значений х, этап наблюдений заканчивается.

2. Вычисляются текущие размахи R, как разница между текущим и предыдущим значениями наблюдаемой величины (без учета знака):

Всего получается (n-1) значение скользящего размаха.

3. Вычисляется среднее значение анализируемой величины за период наблюдений по формуле:



3. Вычисляется среднее значение скользящего размаха за период наблюдений по формуле:

4.



5. Полученные текущие значения хi и Rsi наносятся на расположенные друг под другом графики в соответствующих масштабах. На эти графики наносятся также средние значения х и Rs в виде средних линий.

6. Вычисляются и наносятся на графики нижняя (LCL) и верхняя (UCL) контрольные границы (границы регулирования) и средние линии (CL):

На этом этап построения контрольной карты завершается.

На этапе наблюдения и регулирования процесса производятся следующие действия:

? Измеряется значение наблюдаемой величины и заносится в контрольную карту х .

? Вычисляется скользящий размах и его значение заносится в контрольную картуRS

Если полученные значения находятся в пределах контрольных границ, можно считать, что процесс является управляемым, т.е. стабильным. Если же одна из точек выходит за пределы контрольных границ, это является сигналом о неблагополучии. Следует разобраться с причинами такого отклонения и при необходимости принять нужные меры. Если точки не выходят из контрольных границ, но наблюдается серия точек, расположенных ниже или выше средней линии, это также является сигналом о разладке процесса. Длина такой «тревожной» серии - 6 точек. Но если наблюдаются серии более короткие, разделенные отдельными точками по другую сторону от средней линии, это также является сигналом неблагополучия. Необходимо разбираться с причинами.

В качестве примера контрольной карты индивидуальных значений разберём ситуацию с прыжками в длину с разбега на отборочных соревнованиях, результаты которых позволят судить о готовности женской сборной к решающим спортивным соревнованиям. Объектом исследования будет длина одинарного прыжка. Отражаться в контрольной карте будут только удачные прыжки (без заступа или иных нарушений правил). Всего в ходе соревнований в женской сборной таких прыжков оказалось - 15. Зафиксированные значения длин этих прыжков представлены в таблице 15.



Вычисляем среднюю длину прыжка:

и средний скользящий размах:

Рассчитаем контрольные пределы и средние линии для X - карты:



Нанесём полученные контрольные границы, которые обычно обозначаются пунктирной линией, и значения параметра на контрольную карту. Нижняя контрольная граница для R не наносится.

Из Х - карты видно, что ни одно из значений измеряемой величины не вышло за пределы регулирования и даже не приблизилось к ним. Из этого можно сделать вывод, что прыгали спортсмены примерно одного класса и не было выявлено явного лидера или сильно отстающего прыгуна. Тоже можно сказать и о графике скользящего размаха, который хоть и имеет несколько резких перепадов, но не указывает на явные тенденции процесса. Что позволяет говорить о хорошей форме спортсменов и готовности женской сборной команды к решающим соревнованиям.

Контрольная карта средних значений и размахов

Карта типа применяется при массовом производстве, когда карты типа X неприменимы из-за громоздкости. При использовании карт типа выводы о стабильности (устойчивости) процесса делаются на основе данных, полученных при анализе небольшого числа представителей всех рассматриваемых изделий. При этом все изделия объединяются в партии в порядке изготовления и от каждой партии берутся небольшие выборки, по данным которых строится контрольная карта. Порядок ее построения следующий:

1. Определяется объем партий изделий, из которых берутся выборки. Партия может составляться как выработка за час, смену, или другой период времени, может формироваться из потока одинаковыми группами изделий или другим способом. Желательно, чтобы партии были одинаковыми.

2. Из каждой партии отбирается определенное число деталей - выборка - обычно от двух до десяти, в зависимости от задач, требуемой точности, объема и способа контроля. Для каждой карты объем выборки остается постоянным. Выборкам присваиваются номера i от 1 до n. Всего берется 25 - 30 выборок.

3. В каждой выборке - вычисляется среднее значение и размах Ri :



где: j - номер значения в выборке, а k - объем выборки.

4. После завершения периода наблюдений вычисляется общее среднее значение наблюдаемой величины и средний размах :

Полученные значения наносятся на график.

5. Вычисляются и наносятся на график контрольные границы (границы регулирования) по следующим формулам:

Значения коэффициентов в этих формулах зависят от объема выборки и приведены в табл.16.



Пример контрольной карты :

На предприятии, выпускающем картофельные чипсы в качестве объекта исследования возьмём длину картофельной палочки после нарезки картофеля полностью автоматическим оборудованием.

Установлено, что длина картофельной палочки должна распределяться следующим образом:

? до 5 сантиметров - 20 %

? от 5 до 7 сантиметров - 40 %

? более 7 сантиметров - 40 %

Завод работает в три смены, в каждую из которых делалось по две выборки объёмом по 5 палочек (4дня ? 3 смены ? 2 выборки = 24 выборки).

Следовательно в нашем случае (исследования проводились четыре дня) из каждой партии, соответствующей заводской смене проверялось 10 картофельных палочек. Данные заносились в табл. 17.

Для построения контрольных карт необходимо вычислить:

При вычислении необходимо использовать коэффициенты , значения которых берём из табл. 16 в строке №23 (в соответствии с общим объемом выборки). По нашей более подробной и разработанной таблице: соответствует .

Нанесём полученные контрольные границы и значения параметра на контрольные карты: по вертикальной оси откладываются значения и R, а по горизонтальной оси - номера выборок (Рис.30, 31).

Судя по обоим графикам можно сказать, что процесс стабилен и полностью отвечает установленным нормативам (нет ограничений по длине картофельной палочки, есть только заданный закон распределения их длин, который в нашем примере вполне соблюдён).

Рассмотрим второй пример использования этого типа контрольной карты: Клиенты жалуются, что государственное учреждение слишком долго оформляет выдачу определённого типа разрешений. Начальник конторы решил собрать данные для проверки продолжительности цикла оформления разрешения на основании пяти обращений, делаемых каждую неделю. При этом были получены следующие результаты:

Для объёма выборки значения составляют соответственно: 0,577; 0 и 2,114 соответственно, что даёт:

? ; верхнее предельное отклонение ; нижнее предельное отклонение

? ; верхнее предельное отклонение ; нижнее предельное отклонение .

Ни среднее, ни диапазон не потеряли статистической управляемости. Поэтому служащие не могли ничего предпринять для исправления ситуации, а начальник должен проанализировать применяемые методы работы с целью упорядочения процесса и применения в работе учреждения методов, используемых в поточном производстве.



Контрольная карта средних значений и средних квадратичных отклонений

Данная карта практически идентична карте , но точнее её и может рекомендоваться при отладке технологических процессов при массовом производстве ответственных деталей. Её можно применить в случаях, когда имеется система встроенного контроля с автоматическим вводом данных в ЭВМ, используемые для автоматического управления процессом.

В картах вместо размаха R используется более эффективная статистическая характеристика рассеивания наблюдаемых значений - среднее квадратичное отклонение (S). Она показывает насколько тесно группируются отдельные значения вокруг средней арифметической или как они рассеиваются вокруг неё. Среднее квадратичное отклонение определяется по формуле:

В остальном построение и применение карты не отличается от карты .

Иногда для контроля используется карта (Me - R) - контрольная карта медиан и размахов. Медиана - это среднее значение в выборке, если все значения расположены в порядке возрастания или убывания. В выборке из трёх значений медиана - второе значение,в выборке из пяти значений медиана занимает третье место. Такая карта менее точна, чем карта , но она проще в пользовании и нередко применяется.

В качестве примера контрольной карты средних значений и средних квадратичных отклонений рассмотрим контроль точности попадания в мишень на спортивных соревнованиях с участием 7 стрелков. Объект измерения и контроля - расстояние места попадания от центра мишени. Радиус мишени составляет 15 сантиметров. Если расстояние между местом попадания и центром составляет более 15 сантиметров говорят, что спортсмен попал в «молоко» и не засчитывают ему очки за этот выстрел. Каждому стрелку предоставляется по 3 выстрела, и его результат определяется как сумма набранных баллов. Точность стрельбы представлена в табл.19.

Для построения контрольной карты необходимо вычислить:

При вычислении необходимо использовать коэффициенты , значения которых берём из табл. 16 в строке №20 (в соответствии с объемом выборки):

Нанесём полученные контрольные границы и значения параметра на контрольные карты (рис.34, 35):

Построенные диаграммы позволяют сделать следующее заключение: исследуемый процесс не является статистически управляемым (множественные выходы значений за контрольные пределы). Из чего следует, что в соревнованиях принимали участие спортсмены разной валификации. Максимальное отклонение на тринадцатом выстреле свидетельствует о полной неготовности спортсмена к соревнованиям или о каком - то серьёзном происшествии (помехе выстрелу).

В качестве рекомендаций можно выдать введение в систему отборочных туров.

Контрольная карта числа дефектных изделий в партии (pn )

Каждому признаку качества должна соответствовать своя карта, однако из экономических соображений карты применяют для контроля лишь критических признаков. Есть признаки, которые нельзя исследовать с помощью измерительных приборов, например степень агрязнения или интенсивность окрашивания. В этом случае применяют визуальный контроль. Часто сознательно отказываются от измерения, выражаемого числом, например, когда используют калибры. Проверенные изделия классифицируют на годные и дефектные.

Карта типа pn используется, когда контроль качества продукции производится по альтернативному признаку и применяется для отслеживания числа дефектных изделий в одинаковых партиях продукции. Число бракованных изделий (pn) статистически описывается биноминальным законом распределения. Порядок построения:

1. Все изделия в порядке их изготовления объединяются в одинаковые по количеству партии, каждой из которых присваивается порядковый номер j от 1 до k, где k ? 25 ? 30.

2. При контроле определяется число дефектных изделий в каждой j-ой партии. Значение заносится в контрольную карту.

3. Когда набирается 25 - 30 точек, вычисляется среднее значение по формуле:

Данные о контроле необходимы для следующих целей:

? констатации реального уровня дефектности в наблюдаемый (исследуемый) период;

? анализа процесса и определения реальных возможностей на ближайший плановый период.

Существует также контрольная карта для текущего контроля при малых значениях n. С ее помощью можно глубже проникнуть в процесс производства и лучше исследовать ричины различных отклонений от нормы. Через определенные промежутки времени берут для контроля выборки небольшого объема. При этом детали с отклонениями от нормы исключаются из дальнейшей обработки. Карту заполняют обычно контролеры на конвейере. Промежутки времени между отдельными выборками зависят от чувствительности производственного процесса к помехам, от производительности машин и от объема выборок. Хотя выборки большого объема содержат больше информации, однако это ведет к увеличению издержек. Объем выборок составляет от 5 до 10 % продукции смены. Карта текущего контроля имеет только верхнюю линию, поэтому трудно заметить наступление существенного улучшения в процессе, как это можно увидеть в p и pn - картах.

Карту заполняют регулярно. Доля брака в процентах, определяемая по ней, не должна намного превосходить заданной нормы. Значение доли (процента) брака, необходимое для ведения текущего контроля, можно определять по р - карте.

В pn карте р означает долю (процент) дефектных изделий в партии объёмом n единиц.

Контрольные р-карты и pn-карты строятся на основе биноминального распределения.

Карта текущего контроля, классифицируя изделия по видам отклонений, дает знать о том, где следует искать нарушения процесса; она позволяет лучше использовать оборудование и материалы, способствует повышению квалификации рабочих и ответственности персонала.

В качестве примера контрольной карты pn рассмотрим бытовые электрические лампочки. Обычно в процессе продажи этого товара продавец проверяет лампы в присутствии покупателя, отделяя не загоревшиеся при контроле. В течение недели результаты поточной проверки одинаковых партий лампочек (объёмом по 100 штук каждая) заносились в специально подготовленную таблицу. Результаты представлены в табл. 20.