Устройство светодальномера СТ5 («Блеск») и измерение им расстояний

Светодальномер СТ5 (рис. 21) предназначен для измерения базисов в триангуляции, сторон в полигонометрии и трилатерации, а также для различных инженерных работ в прикладной геодезии. Светодальномер может быть установлен на теодолиты серии ЗТ для одновременного измерения углов и расстояний при тахеометрической съемке.

В светодальномере использован импульсно-фазовый гетероидный способ измерения расстояния с преобразованием временного интервала и способ формирования опорного сигнала, основанный на делении масштабной частоты и синхронизации фазы гетеродина при помощи системы фазовой автоподстройки. В качестве



Рис. 21: а -- вид со стороны объектива: 1, 5--крышки; 2-- зрительная труба; 3-- ручка; 4--головка; б--разъем; 7, 14-- стойки; 8-- винт; 9-- подставка; 10-- закрепительный винт; 11 -- подъемный винт; 12 -- основание; 13 -- разъем для подключения регистрирующего устройства; б-- вид со стороны лицевой панели: 1 -- стрелочный прибор; 2--лицевая панель; 3-- цифровое табло; 4--переключатель ВЫКЛ--НАВЕД--СЧЕТ; 5, 10-- головки винтов наводящих устройств; 6,9-- рукоятки закрепительных устройств; 7-- переключатель ТОЧНО--КОНТР--ГРУБО; 8-- ручка СИГНАЛ; 11--окуляр оптического центрира; 12-- цилиндрический уровень; 13 -- юстировочные гайки уровня; 14-- микротелефон; 15-- крышка; 16-- ручка установки контрольного отсчета излучателя применен полупроводниковый лазерный диод «Круиз», позволивший существенно повысить мощность и спектральную плотность светового излучения.

В результате значительно увеличена дальность действия прибора и уменьшены погрешности из-за фазовой неоднородности светового пучка. Приемником сигнала служит фотоэлектронный умножитель (ФЭУ), в котором одновременно осуществляется преобразование принимаемым световых сигналов в электрические сигналы промежуточной частоты, на которых ведется измерение временных интервалов. Длительность излучения импульсов составляет 10 нс в режиме ТОЧНО и 50 нс в режиме ГРУБО. Частоты следования излучаемых импульсов в режиме ТОЧНО f₁ = 14 985,5 кГц, в режиме ГРУБО f₂ =149,855 кГц.

Средняя квадратическая погрешность измерения расстояния в режиме ТОЧНО m_s =(10 + 5 * 10^-6D) мм, в режиме ГРУБО - 20 см. Средняя потребляемая мощность 5 Вт. Время однократного измерения в режиме ТОЧНО 8 с, в режиме ГРУБО 15 с. Масса приемопередатчика 4 кг.

Для подключения регистрирующего устройства в приборе имеется выход. Результаты измерения индицируются на шестиразрядном электронно-цифровом табло. Моменты приема отраженного сигнала и окончания счета сопровождаются звуковыми сигналами микротелефона. Блок контрольного отсчета позволяет следить за работой прибора в полевых условиях. Прибор снабжен системой блокировки, автоматически отключающей приемодатчик от батареи при напряжении больше допустимого, а также после ее разрядки. Светодальномер однозначно измеряет расстояние до 1 км; разрешение неоднозначности производится автоматически. В процесс измерений автоматически включается измерение эталонного расстояния (режим ОКЗ). Для экономии энергии аккумулятора счетный узел и цифровое табло включаются только на время счета и индикации результата. Процесс счета индицируется высвечиванием запятой крайнего справа индикатора табло. Постоянную поправку светодальномера устанавливают равной нулю с помощью резистора установки контрольного отсчета, значение которого указывают в паспорте прибора.

В зависимости от длины измеряемой линии при благоприятных атмосферных условиях (четком изображении места установки отражателя и слабой солнечной засветки трассы измерений) применяют отражатели со следующим числом призм:

Число призм отражателя 1 3 6 12 18

Максимальное расстояние, м 1500 2200 3000 4000 5000

Светодальномер «Блеск» СТ5 является основным топографическим светодальномером, выпускаемым отечественной промышленностью. Он предназначен для измерения расстояния до 5 км.

В шифре светодальномера буква Т означает, что светодальномер -- топографический, предназначенный для измерения paсстояний в геодезических сетях сгущения и топографических съемках, а цифра 5 указывает на предел измерения расстояний в км.

Перед началом работы необходимо провести внешний осмотр прибора и выполнить его поверки. При внешнем осмотре следует убедиться в отсутствии механических повреждений, сохранности ампул уровней и деталей, крепления органов управления, плавности их действия и четкости фиксации; четкости изображения штрихов сетки и штрихов шкал; работоспособности всех узлов: источников питания, стрелочных приборов, цифровых табло, зуммеров и пр., а также термометров, барометров и других приборов.

Подключение светодальномера (приемопередатчика) СТ5 к аккумулятору производят, когда переключатель установлен в режиме «Выкл». О подключении СТ5 к аккумулятору можно судить по свечению запятой в третьем знаке на цифровом табло.

Рассмотрим порядок измерения линии светодальномером СТ5:

1. В начальной точке линии устанавливают на штативах приемопередатчик, а на конечной точке -- отражатель, приводят их в рабочее положение над центрами пунктов (центрируют) и взаимно ориентируют (наводят зрительную трубу на отражатель, а отражатель на приемопередатчик).

2. Включают и прогревают приемопередатчик.

3. Проверяют напряжение источника питания и выполняют другие контролирующие действия в соответствии с техническими требованиями инструкции по эксплуатации прибора.

4. Включают светодальномер в режим «Наведение», для чего переключатель устанавливают в положение «Точно», а другой -- «Навед». Поворачивают ручку «Сигнал» по часовой стрелке до ограничения, а при большом уровне фоновых шумов в солнечную погоду и при высокой окружающей температуре воздуха до показаний стрелочного прибора не более 20 мкА. Изменяя ориентирование светодальномера в вертикальной и горизонтальных плоскостях с помощью винтов наводящих устройств, добиваются получения сигнала. Наличие сигнала индифицируется звуком и отклонением стрелки прибора вправо по шкале.

Светодальномер наводят по максимуму сигнала, одновременно устанавливая ручкой уровень сигнала в середине рабочей зоны.

5. Устанавливают переключатель в положение «Счет», оценивают свечение индикатора табло (при необходимости ручкой «Сигнал» подстраивают уровень сигнала), берут три отсчета измеряемого расстояния в режиме «Точно» и записывают их в журнал. В журнал записывают также метеоданные: температуру воздуха и атмосферное давление в месте установки приемопередатчика. При измерении больших расстояний или значительном перепаде высот концов линии метеоданные определяют как на точке стояния светодальномера, и на точке стояния отражателя. После этих действий еще два раза производят наведение на отражатель и каждый раз производят три отсчета в режиме «Точно». При измерении расстояний до 400 м на объектив светодальномера надевают аттенюатор. По окончании измерений переключатель переводят в положение «Контр» и по табло берут отсчет для определения поправочного коэффициента.

Устройство электронного тахеометра

Измерение им горизонтальных и вертикальных углов, расстояний, координат Х, У, Н точек местности

Электронным тахеометром называют устройство, объединяющее в себе теодолит и светодальномер. Одним из основных узлов современных тахеометров является микроЭВМ, с помощью которой можно автоматизировать процесс измерений и решать различные геодезические задачи по заложенным в них программам. Увеличение числа программ расширяет диапазон работы тахеометра и область его применения, а также повышает точность работ. Наличие регистрирующих устройств в тахеометрах позволяет создать автоматизированный геодезический комплекс: тахеометр--регистратор информации--преобразователь-ЭВМ--графопостроитель, обеспечивающий получение на выходе конечной продукции -- топографического плана в автоматическом режиме. При этом сводятся к минимуму ошибки наблюдателя, оператора, вычислителя и картографа, возникающие на каждом этапе работ при составлении плана традиционным способом.

По степени автоматизации угловых измерений электронные тахеометры можно разделить на две группы. К первой группе относятся приборы, представляющие собой сочетания: оптический теодолит и топографический светодальномер, выполненный в виде насадки на теодолит; оптический теодолит и топографический светодальномер, объединенные в одном корпусе. Углы в таких тахеометрах измеряют обычным путем с визуальным отсчитыванием по кругам при помощи отсчетных устройств, а линии -- светодальномерами с автоматической выдачей результатов на электронное цифровое табло.

Сейчас такие приборы оптико-механические заводы не выпускают.

Электронные тахеометры второй группы представляют собой приборы, в которых реализована следующая ступень развития средств автоматизации измерений. Конструктивно они сочетают кодовый теодолит с топографическим светодальномером и объединены в одном корпусе. Приборы этой группы обеспечивают цифровую индикацию измеряемых величин на электронном табло и автоматическую регистрацию результатов измерений в карту памяти. К тахеометрам этой группы можно отнести ЗТа5 (Россия), ТС 1600 (Швейцария), SET3 (Япония), Trimble 3600 (США) и др. Они имеют сравнительно небольшие массу и габариты, потребляют мало электроэнергии, но выполняют большой объем операций в измерениях и вычислениях. В них заложено значительное число программ для решения геодезических задач.

Рассмотрим подробнее электронный тахеометр отечественного производства 3Та5.

Электронный тахеометр 3Та5 (рис. 22) является многофункциональным геодезическим прибором, совмещающим в себе электронный теодолит, светодальномер, вычислительное устройство и регистратор информации.

Основные технические характеристики прибора:

Средняя квадратическая погрешность измерения одним приемом:

горизонтального угла 5"

вертикального угла 7" наклонного расстояния, мм (5 + 3 * 10^-6 D) Время получения результата измерения, с:

в основном режиме измерения расстояния 4

в режиме непрерывного измерения расстояния 0,5

Диапазон работы датчика наклона ±5'

Увеличение зрительной трубы 30

Цена деления цилиндрического уровня 30" Масса, кг:

тахеометра с подставкой и кассетным источником питания 5,4

отражателя однопризменного 0,5

отражателя шестипризменного 1,5

Высота вехи с отражателем, мм 1300...2250

Цена младшего разряда дисплея при измерении расстояния, мм 1

Объем карты памяти, Мбайт 1 (11000 пикетов)

Угломерной частью тахеометра ЗТа5 является электронный теодолит, снабженный растровым датчиком накопительного типа. В качестве датчика угла применен фотоэлектрический преобразователь угол-код.



Рис.22

1 -- подъемный винт;

2 -- панель управления и дисплей;

3--цилиндрический уровень;

4-- объектив;

5--коллиматорный визир;

6--кассетный источник питания;

7-- наводящий и закрепительный винты вертикального круга;

8-- карта памяти;

9- наводящий и закрепительный винты горизонтального круга

Рабочей мерой преобразователя служит стеклянный лимб, разделенный на 10 000 частей -- попеременно чередующихся прозрачных и непрозрачных полос равной ширины. Секция примерно из 100 штрихов (полос) с помощью оптической системы проецируется мостиком с увеличением 1,01 на диаметрально противоположную секцию лимба. Наложение изображения полос, повернутого на 180°, благодаря призме с крышкой, входящей в оптическую систему, образует с полосами основного участка круга муаровую картину, которая проецируется на фотоприемник. Благодаря оборачиванию, созданному оптической системой, изображения полос противоположных участков крута при вращении алидады (или зрительной трубы, если круг вертикальный) двигаются навстречу друг другу.

Периодические структуры штрихов диаметрально противоположных участков образуют растровое сопряжение, причем линейные шаги разверток сопрягаемых растров отличаются на 1/100 шага растров. При сопряжении таких растров возникает комбинационная (муаровая) картина, шаг, форма и направление которой зависят от взаимного расположения растров. При взаимном перемещении растров происходит модуляция светового потока в функции перемещения, т. е. периодическое изменение освещенности фото приемника, расположенного за сопряжением. Освещенность фотоприемника максимальна при совпадении штрихов сопрягаемых растров и минимальна, когда штрихи одного растра совпадают с промежутками другого растра.

Сигнал с фотоприемника поступает в электронную часть датчика угла, которая содержит реверсионный счетчик для определения числа периодов муаровой картины, соответствующего углу поворота зрительной трубы. Считая число периодов муаровой картины (периодов изменения освещенности), реверсионный счетчик грубого канала измеряет угол поворота лимба с точностью дискрета грубого отсчета, равного 200^сс = 1'05".

Для получения точного отсчета применен фотоэлектрический интерполятор, доизмеряющий угол поворота лимба в пределах одного периода муаровой картины с точностью 1^сс = 0,3". Полный отсчет в сигнальном канале угломера формируется в условных единицах (сс). Встроенная в прибор микроЭВМ умножает полученный полный отсчет на цену младшего разряда (коэффициент перевода в секунды 0,324"/сс) и формирует отсчет в градусах, минутах и секундах. Например, отсчет 20 520^сс * 0,324"/сс = 6648" = = 1 50'48".

Тахеометр ЗТа5 снабжен самоустанавливающимся индексом вертикального круга, автоматически исключающим погрешность измерения зенитных расстояний при наклоне вертикальной оси вдоль линии визирования.

Отдельные кнопки выполняют следующие функции:

0-9 -- ввод отдельных цифр;

- - ввод знака «минус»;

Ў^ -- движение курсора по дисплею;

MENU - вызов меню для выбора режима работы, выход из режима после проведения измерений с переходом на предыдущий уровень;

> - смена режима, продолжение работы, просмотр результатов измерений, записанных в карту памяти;

< - просмотр результатов измерений, записанных в карту памяти; смена шаблона дисплея без выхода в главное меню;

>0< -- обнуление горизонтального угла;

CE - удаление неправильно набранных цифр;

REG - запись измерений в карту памяти;

MEAS - начало измерений;

ENT - выбор подпрограмм, подтверждение ввода величин.

Нажатие кнопок сопровождается звуковым сигналом.

Для регистрации информации в карте памяти с противоположной стороны панели управления расположен узел сопряжения с картой памяти.

Для проведения оперативного контроля светодальномера служит блок контрольного отсчета (БКО), состоящий из призмы, закрепленной в оправе в виде крышки, надеваемой на объектив зрительной трубы. Результаты измерения расстояния до призмы БКО при выпуске с предприятия записывают в паспорте.

В зависимости от типа решаемых задач можно выбрать четыре шаблона дисплея: измерение углов; съемка в полярных координатах; съемка в прямоугольных координатах; измерение углов, горизонтального проложения и превышения.

Расстояние может быть измерено в трех режимах: непрерывном, быстром и основном.

Для оценки состояния прибора предусмотрен вывод на дисплей двух тестовых функций: показания угла наклона вертикальной оси и показания состояния источника питания.

Пакет прикладных программ включает:

o определение координат станции по координатам двух точек с известными координатами;

o ориентирование тахеометра относительно исходного дирекционного угла;

o ввод координат станции;

o определение координат невидимой точки объекта прямоугольной формы;

o вычисление площади земельного участка;

o измерение недоступного расстояния;

o определение высоты недоступной точки;

o вынос запроектированной точки в натуру.

Результаты измерений записывают и хранят в карте памяти.

Обмен данными с компьютером (передача файлов в компьютер, запись файлов из компьютера в карту памяти и другие операции) осуществляется с помощью специальной программы.

Контрольные проверки включают:

o проверку и поправки дальномера с помощью блока контрольного отсчета (БКО);

o проверку масштабной частоты;

o калибровку (коллимационную погрешность, место нуля вертикального круга и индекс датчика наклона).

При работе с картой памяти (запись в карту памяти, передача информации из карты памяти в компьютер, обмен данными с компьютером, удаление файла из карты памяти и др.) применяют специальную процедуру, изложенную в руководстве по эксплуатации ЗТа5.

Электронную тахеометрическую съемку (ЭТС) эффективно применять на открытой равнинной местности (речные поймы, отведенные для строительства мелиоративных систем земли и др.), когда с исходной съемочной точки открывается видимость на расстояния в 1...2км. С помощью электронных тахеометров можно выполнять исполнительные съемки построенных осушительных и оросительных систем.

Экономический эффект от применения ЭТС прежде всего достигается за счет увеличения площади съемки, выполняемой с одной установки прибора. При этом вследствие значительной дальности действия тахеометра сокращаются затраты труда на развитие съемочного обоснования.

Применение электронных тахеометров особенно эффективно при работе с передвижных наружных знаков с платформами (рис. 23), с помощью которых обеспечивается поднятие тахеометров над поверхностью земли на 2...3 м, в результате чего открывается хороший обзор местности, позволяющий выполнить тахеометрическую съемку в радиусе 1...2 км. Использование указанных устройств позволяет значительно повысить производительность труда при съемке.

Технология ЭТС дает возможность представить топографические планы как в традиционной графической форме, так и в виде цифровых моделей местности и рельефа, т. е. в форме, удобной для использования в системах автоматического проектирования (САПР).

Основными техническими средствами ЭТС являются: электронные тахеометры (ЭТ), регистраторы информации на технический носитель (диктофон), комплексы носимых и перевозимых радиостанций, программируемые микрокалькуляторы или управляюще-вычислительные комплексы на базе мини-ЭВМ.

Требованиям технологии ЭТС отвечают отечественные электронные тахеометры ЗТа5 и зарубежные SET3, Trimble 3600 и др. Можно применять полуавтоматические или гибридные топографические системы, изготовленные в виде насадки топографического светодальномера СТ5 на оптический теодолит ЗТ5К или ЗТ2.

Экономическая эффективность ЭТС во многом определяется связями технологического процесса. В зависимости от способа, места и времени обработки результатов съемки ЭТС может быть реализована в трех вариантах: с централизованной обработкой, децентрализованной и одновременной.

Первый вариант отвечает классической схеме наземных топографических съемок, при которой основные технологические процессы последовательно сменяют друг друга. Численность топографической бригады составляет два человека. Служебную и метрико-семантическую информацию записывают на технический носитель. При устойчивой двусторонней радиосвязи функции регистрации информации на технический носитель (диктофон) могут быть переданы рабочему, так как качество записи практически одинаково как с голоса, так и с микрофона радиостанции. Этим высвобождается дополнительное время исполнителя работ для постоянного отслеживания визирной цели, чем сокращается время на поиск в дискретном режиме отслеживания. Обрабатывают результаты измерений и составляют топографические планы в этом варианте ЭТС в основном в условиях стационарного камерального производства.

Второй вариант ЭТС отличается от первого тем, что обработку материалов съемки ведут на базе полевой бригады, когда разрыв между полевыми и камеральными работами не превышает нескольких суток.

Третий вариант отвечает принципиально новой схеме организации работ, при которой основные процессы съемки (полевые и камеральные) ведут одновременно. Численность топографической бригады при этом увеличивается на одного человека за счет организации в ближайшем к объекту населенном пункте выездного командно-диспетчерского камерального поста (КДКП) с передачей ему функций регистрации информации на технический носитель, за счет обработки ее по мере поступления и отображения на составляемых тут же топографических планах.

Одновременности выполнения полевых и камеральных работ достигают за счет организации радиосвязи между всеми участниками съемки и ее камеральной обработки. Связь осуществляют с помощью мобильных радиостанций. При этом оператор тахеометра управляет перемещением рабочего с отражателем по объекту съемки, принимает семантическую информацию с места установки отражателя и передает ее вместе с метрической информацией на КДКП. Оператор КДКП, находясь в ближайшем от объекта населенном пункте (или кузове специального автомобиля), не только принимает и обрабатывает метрико-семантическую информацию, но и активно управляет плотностью набора пикетов, закрывая «белые пятна» в съемке, а в необходимых случаях требует от оператора тахеометра набора контрольных пикетов и т. п.

Одновременность набора и отображения съемочных пикетов на составляемых топографических планах позволяет исключить недостатки, свойственные обычной тахеометрической съемке, приближая ее к мензульной. При этом за счет большой дальности действия тахеометра значительно увеличивается площадь съемки, выполняемая с одной установки прибора и, как следствие, уменьшается потребность в числе пунктов съемочного обоснования.

Погрешности геодезических измерений (теория и решение задач)

Геодезическое измерение, результат измерения, методы и условия измерений. Равноточные и неравноточные измерения

Измерением называется процесс сравнения некоторой физической величины с другой одноименной величиной, принятой за единицу меры.

Единица меры - значение физической величины, принятой для количественной оценки величины того же рода.

Результат измерений - это число, равное отношению измеряемой величины единицы меры.

Различают следующие виды геодезических измерений:

1. Линейные, в результате, которых получают наклонные иррациональные расстояния между заданными точками. Для этой цели применяют ленты, рулетки, проволоки, оптические свето- и радиодальномеры.

2. Угловые, определяющие величины горизонтальных углов. Для выполнения таких измерений применяют теодолит, буссоли, эклиметры.

3. Высотные, в результате, которых получают разности высот отдельных точек. Для этой цели применяют нивелиры, теодолиты-тахеометры, барометры.

Различают два метода геодезических измерений: непосредственные и посредственные (косвенные).

Непосредственные - измерения, при которых определяемые величины получают в результате непосредственного сравнения с единицей измерения.

Косвенные - измерения, при которых определяемые величины получаются как функции других непосредственно измеренных величин.

Процесс измерения включает:

· Объект - свойства которого, например, размер характеризуют результат измерения.

· Техническое средство - получать результат в заданных единицах.

· Метод измерений - обусловлен теорией практических действий и приёмов технических средств.

· Исполнитель измерений - регистрирующее устройство.

· Внешняя среда, в которой происходит процесс измерений.

Совокупность этих элементов, взаимодействуя между собой, образуют условия измерений, которые определяют окончательный результат и его точность. Если измерения происходят в одних и тех же условиях, то их результат называется равноточным. Если хотя бы один из элементов, составляющий совокупность, меняется, то результат измерений неравноточный.

Классификация погрешностей геодезических измерений.

Средняя квадратическая погрешность.

Формулы Гаусса и Бесселя для ее вычисления

Геодезические измерения, выполняемые даже в очень хороших условиях, сопровождаются погрешностями, т.е. отклонением результата измерений L от истинного значения Х нумеруемой величины:

? = L-X

Истинное - такое значение измеряемой величины, которое идеальным образом отражало бы количественные свойства объекта. Истинное значение - это понятие гипотетическое, в реальности его достичь невозможно. Это величина, к которой можно приближаться бесконечно близко.

Точность измерений - степень приближения его результата к истинному значению. Чем ниже погрешность, тем выше точность.

Погрешности бывают следующих видов:

Абсолютная погрешность выражается разностью значения, полученного в результате измерения и истинного измерения величины. Например, истинное значение l = 100 м, однако, при измерении этой же линии получен результат 100,05 м, тогда абсолютная погрешность:

E = X_изм - X

E = 100,05 - 100 = 0,05 (м)

Чтобы получить значение достаточно произвести одно измерение. Его называют необходимым, но чаще одним измерением не ограничиваются, а повторяют не менее двух раз. Измерения, которые делают сверх необходимого, называют избыточными (добавочными), они являются весьма важным средством контроля результата измерения.

Абсолютная погрешность не даёт представления о точности полученного результата. Например, погрешность в 0,06 м может быть получена при измерении l = 100 м или l = 1000 м. Поэтому вычисляют относительную погрешность:

C = E_ср / X

C = 0,06 / 100 = 1/1667, т.е на 1667 м измеряемой величины допущена погрешность в 1 метр.

Относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности к истинному или измеренному значению. Выражают дробью. По инструкции линия местности должна быть измерена не грубее 1/1000.

Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называются элементарными. Погрешность обобщенная (Е) - это сумма элементарных.

Возникают:

· грубые (Q),

· систематические (O),

· случайные (?).

Грубые погрешности измерений возникают в результате грубых промахов, просчётов исполнителя, его невнимательности, незамеченных неисправностях технических средств. Грубые погрешности совершенно недопустимы и должны быть полностью исключены из результатов измерений путем проведения повторных, дополнительных измерений.

Систематические погрешности измерений - постоянная составляющая, связанная с дефектами: зрение, неисправность технических средств, температура. Систематические погрешности могут быть как одностороннего действия, так и переменного (периодические погрешности). Их стремятся по возможности учесть или исключить из результатов измерений при организации и проведении работ.

Случайные погрешности измерений неизбежно сопутствуют всем измерениям. Погрешности случайные исключить нельзя, но можно ослабить их влияние на искомый результат за счет проведения дополнительных измерений. Это самые коварные погрешности, сопутствующие всем измерениям. Они могут быть разные как по величине, так и по знаку.

E = Q + O +?

Если грубые и систематические погрешности могут быть изучены и исключены из результата измерений, то случайные могут быть учтены на основе глубокого измерения. Изучение на основе теории вероятностей.

На практике сложность заключается в том, что измерения проводятся какое-то ограниченное количество раз и поэтому для оценки точности измерений используют приближённую оценку среднего квадратического отклонения, которую называют среднеквадратической погрешностью (СКП).

Гауссом была предложена формула среднеквадратической погрешности:

?²_ср = (?²₁ + ?²₂ +… +?²_n) / n,

?² = m² = (?²₁ + ?²₂ +… +?²_n) / n,

? = m,

?_ср = m = v(??²_i / n)

Формула Гаусса применяется, когда погрешности вычислены по истинным значениям.

Формула Бесселя:

m = v(?V²_i / (n-1))

Средняя квадратическая погрешность арифметической середины в n раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения

М=m/n

При оценке в качестве единицы меры точности используют среднеквадратическую погрешность с весом равным единице. Её называют средней квадратической погрешностью единицы веса.

µ² = P?m² - µ = mvP, m = µ / vP, т.е. средняя квадратическая погрешность любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1 (µ) и делённая на корень квадратный из веса этого результата (P).

При достаточно большом числе измерений можно записать ?m²P=??²P (так как ? = m): µ = v(?(?²?P)/n), т.е. средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным 1 равна корню квадратному из дроби, в числителе которого сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе - число неравноточных измерений. Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины по формуле:

M₀ = µ / v?P

Подставив вместо µ её значение получим :

M₀ = v(??²?P/n) / (v?P) = v[(??²?P) / n?(?P)]

M₀ = v[ (?₁²P₁ + ?₂²P₂ +… + ?_n²P_n) / n?(P₁ + P₂ + … + P_n) ] - формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их веса, а знаменатель - произведение количества измерений на сумму их весов.

µ = v [?( V²?P ) / (n-1)] Это формула Бесселя для вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для ряда неравноточных измерений по их вероятнейшим погрешностям. Она справедлива для большого ряда измерений, а для ограниченного (часто на практике) содержит погрешности: m_µ = µ / [2?(n-1)] .

Функции по результатам измерений и оценка их точности

В практике геодезических работ искомые величины часто получают в результате вычислений, как функцию измеренных величин. Полученные при этом величины (результаты) будут содержать погрешности, которые зависят от вида функции и от погрешности аргументов, по которым их вычисляют.

При многократном измерении одной и той же величины получим ряд аналогичных соотношений:

?U₁ = k?l₁

?U₂ = k?l₂

?U_n = k?l_n

Возведём в квадрат обе части всех равенств и сумму разделим на n:

(?U₁² + ?U₂² + … + ?U_n²) / n = k²?(?l₁² + ?l₂² + ... + ?l_n²) / n;

??U² / n = k²?(??l² / n);

m = v(??U² / n);

m² = k² ? m_l²,

где m_l - СКП дальномерного отсчёта.

m = k ? m_l.

СКП функции произведения постоянной величины на аргумент равна произведению постоянной величины на СКП аргумента.

Например, дана функция вида U = l₁ + l_2. Определить СКП U, где l₁ и l₂ - независимые слагаемые со случайными погрешностями ?l₁ и ?l₂. Тогда сумма U будет содержать погрешность:

?U = ?l₁ + ?l₂.

Если каждую величину слагаемого измерить n раз, то можно представить:

?U₁ = ?l₁' + ?l₂' - 1-е измерение,

?U₂ = ?l₁" + ?l₂" - 2-е измерение,

?U_n = ?l₁⁽ⁿ⁾ + ?l₂⁽ⁿ⁾ - n-е измерение.

После возведения в квадрат обеих частей каждого равенства почленно их сложим и разделим на n:

??U² / n = (??l₁²)/n + 2?(??l₁??l₂)/n + (??l₂²)/n.

Так как в удвоенном произведении ?l₁ и ?l₂ имеют разные знаки, они компенсируются и делим на бесконечно большое число n, то можно пренебречь удвоенным произведением.

m_U² = m_l1² + m_l2²;

m_U = v( m_l1² + m_l2² ).

СКП суммы двух измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП слагаемых.

Если слагаемые имеют одинаковую СКП, то:

m_l1 = m_l2 = m;

m_U = v(m² + m²) = v2m² = mv2.

В общем случае:

m_U = mvn,

где n - количество аргументов l.

Если дана функция вида U = l₁ - l_{2 ,} то:

m_U = mvn;

m_U = v( m_l1² + m_l2²)

СКП разности двух измерений величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП уменьшаемого и вычитаемого.

Если функция вида U = l₁ - l₂ + l_3, то:

m_U = v( m_l1² + m_l2² + m_l3²…)

СКП суммы n измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП всех слагаемых.

Для линейной функции вида U = k₁l₁ + k₂l₂ + … + k_nl_n:

m_U = v[ (k₁m_l1)² + (k₂m_l2)² + … + (k_nm_ln)²],

т.е. СКП алгебраической суммы произведений постоянной величины на аргумент равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянной величины на СКП соответствующего аргумента.

Функция общего вида U = ?( l₁, l₂, …, l_n).

Это наиболее общий случай математической зависимости, включающий все рассматриваемые выше функции, являющиеся частным случаем. Это значит, что аргументы l₁, l₂, …, l_n могут быть заданы любыми уравнениями. Для определения СКП такой сложной функции необходимо проделать следующее:

1. Найти полный дифференциал функции:

dU = (d?/dl₁)?dl₁ + (d?/dl₂)?dl₂ + … + (d?/dl_n)?dl_n,

где (d?/dl₁), (d?/dl₂), …,(d?/dl_n) - частные производные функции по каждому из аргументов.

2. Заменить дифференциалы квадратами соответствующих СКП, вводя в квадрат коэффициенты при этих дифференциалах:

m_U² = (d?/dl₁)²?m_l1² + (d?/dl₂)²?m_l2² + … +(d?/dl_n)²?m_ln²

3. Вычислить значения частных производных по значениям аргументов:

(d?/dl₁), (d?/dl₂), …,(d?/dl_n)

И тогда

m_U = v[ (d?/dl₁)²? m_l1² + (d?/dl₂)²?m_l2² + … +(d?/dl_n)²?m_ln²]

СКП функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на СКП соответствующего аргумента

Оценка точности по разностям двойных измерений

и по невязкам в полигонах и ходах

В практике геодезических работ часто одну и ту же величину измеряют дважды. Например, стороны теодолитного хода в прямом и обратном направлении, углы двумя полуприемами, превышения - по черной и красной стороне рейки. Чем точнее произведены измерения, тем лучше сходимость результатов в каждой паре.

m_lср. = ? v?d²/n,

где d - разности в каждой паре;

n - количество разностей.

Формула Бесселя:

m_lср = ? v?d²/n-1

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому условию, например, сумма внутренних углов треугольника должна быть 180?, то точность измерений можно определить по невязкам получающимся в результате погрешностей измерений.

м=v? [f² /n]/N,

где - СКП одного угла;

f - невязка в полигоне;

N - количество полигонов;

n - количество углов в полигоне.

Решения контрольных задач (В-10)

Контрольная задача 1

Для исследования теодолита им был многократно измерен один и тот же угол. Результаты оказались следующими: 39?17.4'; 39?16.8'; 39?16.6'; 39?16.2'; 39?15.5'; 39?15.8'; 39?16.3'; 39?16.2'. Тот же угол был измерен высокоточным угломерным прибором, что дало результат 39?16'27". Приняв это значение за точное, вычислить среднюю квадратическую погрешность, определить надёжность СКП, найти предельную погрешность.

Таблица

№ п/п	Измерения	Погрешности ? = Xi-X	?2n
1	39?17.4'	-0?00ґ57Ѕ	3249
2	16.8	-0?00ґ21Ѕ	441
3	16.6	-0?00ґ09Ѕ	81
4	16.2	0?00ґ15Ѕ	225
5	15.5	0?00ґ57Ѕ	3249
6	15.8	0?00ґ39Ѕ	1521
7	16.3	0?00ґ09Ѕ	81
8	16.2	0?00ґ15Ѕ	225
Xo=39?16ґ27Ѕ			9072

Средняя квадратическая погрешность: m = v([?²]/n),

m = v(9072/8) = 33ґ36Ѕ

Оценка надёжности СКП: m_m = m / v2n,

m_m =33ґ36Ѕ/4=8ґ24Ѕ

Предельная погрешность: ?_пр = 3?m,

?_пр = 3?33ґ36Ѕ= 1?40ґ48Ѕ.

Контрольная задача 2

Дана совокупность невязок треугольников триангуляции объёмом 50 единиц. Считая невязки истинными погрешностями, вычислить среднюю квадратическую погрешность и произвести надёжность СКП, вычислить предельную погрешность. На данной совокупности проверить свойство случайных погрешностей:

для чего вычислить W = [W] / n.

Таблица

N	W ?2	N	W ?2	N	W ?2	N	W ?2	N	W ?2
1	+1,02 1.0404	11	-1,72 2,9584	21	-0,90 0,81	31	+2,80 7,84	41	-0,44 0,1936
2	+0,41 0,1681	12	+1,29 1,6641	22	+1,22 1,4884	32	-0,81 0,6561	42	-0,28 0,0784
3	+0,02 0.0004	13	-1,81 3,2761	23	-1,84 3,3856	33	+1,04 1,0816	43	-0,75 0,5625
4	-1,88 3,5314	14	-0,08 0,0064	24	-0,44 0,1936	34	+0,42 0,1764	44	-0,80 0,64
5	-1,44 2,0734	15	-0,50 0,25	25	+0,18 0,0324	35	+0,68 0,4624	45	-0,95 0,9025
6	-0,25 0,0625	16	-1,89 0,5721	26	-0,08 0,0064	36	+0,55 0,3025	46	-0,58 0,3364
7	+0,12 0,0144	17	+0,72 0,5184	27	-1,11 1,2321	37	+0,22 0,048	47	+1,60 2,56
8	+0,22 0,0484	18	+0,24 0,0576	28	+2,51 6,3001	38	+1,67 2,7889	48	+1,85 3,4225
9	-1,05 1,1025	19	-0,13 0,0169	29	-1,16 1,3456	39	+0,11 0,0121	49	+2,22 4,9284
10	+0,56 0,3136	20	+0,59 0,0481	30	+1,65 2,7225	40	+2,08 4,3264	50	-2,59 6,7081

[?]² = 2.51? = 6,3001

m = 76.5703 - 6.3001/8 = 75.7827

W = [W] / n, W = +2,51 / 50 = 0,05

Среднюю квадратическую погрешность в данном случае целесообразно вычислять по формуле: m = v( [W²] - [W]²/n ) ? (n-1),

m = v( 76,5703 - (2,51²)/50) ? 49 = 1,249

Оценку надёжности СКП по формуле: m_m = m / v2(n-1),

m_m = 1,249/ v(2?49) = 0,13.

Предельная погрешность по формуле: ?_пр = 3?m,

?_пр = 3?1,249= 3,747.

Контрольная задача 3

При тригонометрическом нивелировании были получены величины : расстояние, измеренное нитяным дальномером D = 210.5±0.8м; угол наклона визирной оси при наведении на верх рейки v =4?35,5ґ; высота прибора i = 1,30±0,015м.

Вычислить превышение и его предельную погрешность.

Решение:

h =?Dsin 2V+i - V

h =??210,5?sin2 (2*4?35,5ґ) +1,30-3,00=15,1

m?n = (уh/у)?m?D + (уh/уV)?m?V+(уh/уi)?m?i+(уh/уv)?m?v

уh/Dу = sin2v/2 ; уh/уV = 1; уh/уi =1; уh/уv = Dcos2v

m?n = (sin2v/2?mD)?+( (Dcos2v/Pм )mv )?+mi?+mv?

md = 0,8 m_i = 0.008 mv = 0.015

mh? = 0.005189 m = 0.00002

m?n = (sin2(4?35,5ґ)/2 ?0.8)? + (210.5cos2(4?35,5ґ)/3438?0.5)²+

+0.008?+0.015? = 0.0044 + 0.0009+0.000064+0.000225=0.005189?0.005

Контрольная задача 4

При определении расстояния АВ, недоступного для измерения лентой, в треугольнике АВС были измерены:

базис АС = 84,55±0,11 м, углы А=56?27ґ и С = 35?14ґ с СКП равной m_b=1ґ.

Вычислить длину стороны АВ и ее СКП.

Контрольная задача 5

Определить СКП расстояния вычисленного по формуле

S = v(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

если x₂ = 6 068 740 м; y₂ = 431 295 м;

x₁ = 6 068 500 м; y₂ = 431 248 м;

m_х = m_y = 0,1 м.

Контрольная задача 6

Один и тот же угол измерен 5 раз с результатами: 60?41'; 60?40'; 60?40'; 60?42'; 60?40'. Произвести математическую обработку этого ряда результатов измерений.

Таблица. Решение:

№		?x=x1-x	?x?
1	60°41ґ	04Ѕ	16Ѕ
2	60°40	-04Ѕ	16Ѕ
3	60°40	-04Ѕ	16Ѕ
4	60°42	01ґ04Ѕ	100Ѕ
5	60°40	-04Ѕ	16Ѕ

? = 164Ѕ

m =v 164/4 = 6.4

m_m = m/v2(n-1); 6.4/v8 = 2.26

?_{пр = 3m ; 3 ? 2,26} =6,78 = 7,18Ѕ

Контрольная задача 7

Произвести математическую обработку результатов измерения планиметром площади одного и того же контура : 26,31; 26,28; 26,32; 26,26; 26,34 га.

?сред. = 26,30 га

Таблица

№	Значение	?x=x1-x	?x?
1	26,31га	-0,01га	0,0001
2	26,28га	0,02га	0,0004
3	26,32га	-0,02га	0,0004
4	26,26га	0,04га	0,0016
5	26,34га	-0,04га	0,0016

? = 0,0041 га

m = v0,0041 /5 =0.028

m_m = m/v2(n-1); 0.028/v8 =0.01

? ₌ 0,028?3 = 0.084.

Контрольная задача 8

При исследовании сантиметровых делений нивелирной рейки с помощью женевской линейки определялась температура в момент взятия отчета. Для пяти сантиметровых отрезков получены значения: 20,3?; 19,9?; 20,1?; 20,2?; 20,0?. Провести математическую обработку результатов измерения.

?сред. =20.1

Таблица

№	Значения	?x=x1-x	Е	?x?	Е2
1	20,3?	-0.2	0,4	0.0144	0,16
2	19,9?	0.2	0	0.0784	0
3	20,1?	0	0,2	0.0064	0,04
4	20,2?	-0.01	0,3	0.0004	0,09
5	20,0?	0.1	0,1	0.0484	0,01

? = 0.1

m = v0.1/5 = 0.04

m_m = m/v2(n-1) = 0,04/v8 = 0.014

? = 3?0.04=0,12.

Контрольная задача 9

Результатам измерения углов соответствуют m₁ = 0,5; m₂ = 0,7; m₃ = 1,0. Вычислить веса результатов измерений.

Решение:

P = К / m²;

P₁ = 12,25 / (0,5)² = 49;

P₂ = 12,25 / (0,7)² = 25;

P₃ = 12,25 / (1,0)² = 12,25.

Ответ: 49; 25; 12,25.

Первый результат надежнее второго, а второй - надежнее третьего.

Контрольная задача 10

Веса пезультатов измерении горизонтальных углов равны 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 соответственно. Вычислить их СКП, если известно, что СКП единицы веса равна 10Ѕ

Решение:

m = µ/vP

m₁ = 10/v0.5 = 14,14 ;

m₂ = 10/v1=10;

m₃ = 10/v1.5=8,16;

m₄ = 10/v2=7,07.

Результат измерений 4 самый точный.

Контрольная задача 11

Найти вес невязки в сумме углов треугольника, если все углы измерены равноточно.

Решение:

m = v[V²] / (n-1),

Число измерений n = 3, т.к. углы в треугольнике измерены 3 раза:

P = К / m²

m = v[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/(3 - 1) = v[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/2

P = К / v[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/2 = 2 К / v[ V²₁ + V²₂+ V²₃] = 2/ ? V²_i

Контрольная задача 12

Чему равен вес среднего арифметического значения угла полученного из 9 приёмов?

B_cр = В₁+В₂+…+В₉ / 9

m = vV?/n-1 = v?V1? / 9-1 ; P = K / m? ; P = 8K / ?V?.

При К=1 получаем 8 / ?V_i² .

Контрольная задача 13

Определить вес гипотенузы прямоугольного треугольника, вычисленной по измеренным катетам а=60 и в=80м, если Р_а=1 м и Р_в = 0,5 м.

Контрольная задача 14

В треугольнике один угол получен 6 приемами, второй - 18, а третий вычислен. Найти вес третьего угла, приняв вес измеренного одним приемом угла за единицу.

Контрольная задача 15

Чему равен вес угла, измеренного тремя приемами, если вес угла, измеренного одним приемом, равен 1?

Р₁=1, тогда Р₂=3.

Контрольная задача 16

Один и тот же угол трижды измерен различным числом приемов. Произвести математическую обработку результатов измерений:

Таблица

№п/п	Значение угла	Количество приемов
1	54?12'18''	5
2	22	3
3	20	4

Таблица. Решение

№п/п	а	n	Pi	E1'	PE1'	V1'	PV	PV2	PE2
1	54?12'18''	5	1,67	0	0	-2	-3,34	6,68	0
2	54?12'22''	3	1,00	4	4	2	2,00	4,00	16,00
3	54?12'20''	4	1,33	2	2,66	0	0	0	5,32
У			4,00		6,66		-1,34	10,68	21,32

E= а- а₀, где а₀ - минимальное значение угла.

V= а- а_cр , где а_cр =54?12'20''.

Определим наиболее надежный результат измерений по принципу весового среднего.

Д а=[PE]/[P]=6,66/4=1,66''.

Контрольная задача 17

По четырем теодолитным ходам на узловую линию передан дирекционный угол. Число углов поворота в каждом ходе различно. Произвести математическую обработку результатов.

Таблица

№ п/п	Значение дирекционного угла	Число углов в ходах
1	271?33,5'	10
2	35,2	8
3	30,0	12
4	32,8	6

Таблица. Решение

№	а	n	P	Emin	PE	V	PV	PV2	PE2
1	271?33,5'	10	1,2	3,5	7,0	0,3	0,36	0,13	14,7
2	271?35,2'	8	1,5	5,2	7,8	2,0	3,0	6	40,56
3	271?30,0'	12	1	0	0	-3,2	-3,2	10,24	0
4	271?32,8'	6	2	2,8	3,36	-0,4	-0,8	0,64	15,6
У					18,16		-0,64	16,61	70,94

Контрольная задача 18

По четырем ходам геометрического нивелирования с различным числом станций была передана высота на узловой репер, что дало результаты, которые нужно математически обработать.

Таблица

№ п/п	Значение высоты репера, м	Число станций в ходах
1	82.631	16
2	650	20
3	618	34
4	648	18

Таблица. Решение:

№	h	n	P	Emin	PE	V	PV	PV2	PE2
1	82.631	16	2,27	13	29,51	-9	-20,4	183,87	383,63
2	82. 650	20	1,70	32	54,40	10	17	170	1740,8
3	82. 618	34	1	0	0	-22	-22	484,00	0
4	82. 648	18	3,40	30	102,00	8	27,2	217,60	3060
У			8,37		185,91		1,8	1055,47	5184,43

Контрольная задача 19

В таблице приведены невязки в полигонах гнометрического нивелирования и примеры полигонов.

Таблица

Номера полигонов.	L ,км	fh ,мм	f?/n
1	6	+18	54
2	12	- 14	16
3	8	+24	72
4	10	+30	90
5	15	+34	77
? = 309

м=v? [f² /n]/N; v309/5 = 7,86

Примем, что в 1 км приходится 10 станций. Получим СКП на 1 км по формуле : m_км =m_ст ?v10

m_км = 7.86?v10 = 24.8

Контрольная задача 20

Произвести оценку точности измерения углов по невязкам в полигонах.

Таблица

№полигонов	Число углов в полигонах	fp	f?/n
1	20	-2.5	0.31
2	24	+4.8	0.96
3	10	-0.5	0.025
4	31	-2.8	0.25
5	15	+3.0	0.6
6	28	+5.2	0.96 ? = 3,105

м=v? [f² /n]/N; v3,105/6 = 0,719

m_км = 0,719?v10 = 2,273

Контрольная задача 21

По невязкам в треугольниках триангуляции произвести оценку точности угловых измерений.

Таблица

№ треугольника	fЅ	f?/n
1	+10	33
2	-9	27
3	-5	8
4	+2	1
5	+2	1
6	-8	21
7	+6	12
8	+6	12
? = 117

Число углов в треугольнике равняется 3 следовательно n = 3

м = v117/8 = 3.82

m_км =m_ст ?v10; 3,82? v10 = 12,08.

Определение дополнительных пунктов. Цель и методы определения дополнительных пунктов

Дополнительные пункты определяются наряду со съемочной сетью в основном для сгущения существующей геодезической сети пунктами съемочного обоснования. Они строятся прямыми, обратными, комбинированными, а при наличии электронных дальномеров - линейными засечками и лучевым методом.

В некоторых случаях дополнительный пункт определяется передачей (снесением) координат с вершины знака на земл

Передача координат с вершины знака на землю

(Решение примера)

При производстве топографо-геодезических работ в городских условиях невозможно бывает установить теодолит на пункте геодезической сети (пунктом является церковь, антенна и т.п.). Тогда и возникает задача по снесению координат пункта триангуляции на землю для обеспечения производства геодезических работ на данной территории.

Исходные данные: пункт A с координатами X_A, Y_A; пункты геодезической сети B (X_B, Y_B) и C (X_C, Y_C).

Полевые измерения: линейные измерения выбранных базисов b₁ и b'₁; измерения горизонтальных углов ?₁ , ?'₁ , ?₂ , ?'₂ ; б , б'.

Требуется найти координаты точки P - X_P, Y_P.

Схема решения задачи представлена на рисунке 26.



Рис.26. Решение числового примера

Таблица 4 Исходные данные

Обозначения	А ХА, YА	B ХB, YB	C ХC, YC	в1 в2	в2 в2`	в1 в1`	б б`
Численные значения	6327,46	8961,24	5604,18	266,12	38o26'00"	70o08'54"	138o33'49"
	27351,48	25777,06	22125,76	198,38	42?26'36"	87?28'00"	71?55'02"

Таблица 5 Вычисление расстояния D_АР

Обозначения	B1 B2	sinв2 sinв`2	sin(в1+в2 ) sin(в`1+в`2)	B1 sinв2 B2 sinв`2	D1 D2	D1 -D2 2D/T	Dср
Численные значения	266,12	0,62160	0,94788	165,420	174,52	0,00	174,52
	198,38	0,67482	0,76705	133,871	174,52

Таблица 6. Решение обратных задач

Обозначения	YB YА	ХB ХА	YC YА	ХC ХА	tgбAB бAB	tgбAC бAC	sinб AB sinб AC cos бAB cosбAC	S AB S AC
Численные значения	10777,06	8961,24	7125,76	5605,08	-0,5977	7,23421	-0,51309 -0,99058 0,85833 -0,13693	3068,48
	12351,48	6327,46	12351,48	6327,46	329?07'55"	262o07'51"		5275,51

Таблица 7. Вычисление дирекционных углов б_{АР =} б_D

Обозначения	D	sinб sinб'	S AB S AC	sin ш sin ш'	ш ш'	ц ц'	бAB бAC	бD б'D	бD-б'D om?
Численные значения	174,52	0,66179	3068,48	0,03950	2o15'50"	39o10'41"	329o07'55"	8o18'36"	?б=1'30"
		0,95061	5275,51	0,03292	1o53'13"	106o11'46"	262o07'51"	8o18'37"

sin ш = D?sinб/ S _AB; sin =174,52?0,66179/3068,48=0,03950;

sin ш' = D?sinб'/ S _AС; sin `=174,52?0,95061/5275,51=0,03292;