Анализ финансовых и кредитных операций

Далее получаем

Пример. Платежи в размере 10, 20, 15 тыс. рублей уплачиваются через 50, 80, 150 дней после некоторой даты. Решено заменить их одним платежом, равным 45 тыс. рублей. Имеем

3. Задания

Задание 1. Необходимо определить значение простой учетной ставки, эквивалентной простой процентной ставке, сложной процентной ставке, сложной учетной ставке, силе роста, равным i% (n=1).

№	i%	N	i%	№	i%	№	i%	№	i%	№	i%
1	5	11	9	21	3	31	2,5	41	22,5	51	27,5
2	7	12	9,5	22	13,5	32	18	42	21,5	52	28
3	6	13	8,5	23	14	33	18,5	43	23,5	53	28,5
4	4	14	11	24	14,5	34	19	44	24	54	29
5	8	15	10	25	15	35	19,5	45	24,5	55	30
6	5,5	16	11,5	26	15,5	36	20	46	25	56	31
7	3,5	17	10,5	27	16	37	20,5	47	25,5	57	32
8	4,5	18	12	28	16,5	38	21	48	26	58	33
9	7,5	19	12,5	29	17	39	22	49	26,5	59	34
10	6,5	20	13	30	17,5	40	23	50	27	60	35

Задание 2. Какова доходность, выраженная в виде ставки простых процентов (К=365 дней), учета векселя по простой учетной ставке, сложной процентной ставке, сложной учетной ставке, силе роста равным d%, если срок уплаты по векселю t дней?

№	d%	t	№	d%	t	№	d%	t	№	d%	t
1	4	120	16	21	170	31	12	200	46	19	310
2	5	90	17	20	160	32	17	250	47	18	350
3	3	50	18	19	170	33	35	260	48	19	340
4	6	35	19	18	245	34	34	270	49	18	310
5	7	180	20	17	230	35	32	280	50	17	320
6	8	250	21	15	240	36	31	100	51	16	330
7	7	260	22	12	100	37	30	130	52	15	270
8	9	270	23	11	110	38	29	150	53	13	260
9	8	280	24	10	120	39	28	160	54	32	250
10	10	290	25	9	130	40	27	180	55	34	150
11	11	300	26	8	145	41	25	200	56	33	140
12	12	350	27	7	210	42	26	240	57	35	170
13	15	300	28	30	220	43	23	270	58	37	190
14	17	120	29	31	230	44	22	290	59	40	200
15	16	180	30	32	240	45	23	300	60	42	210

Задание 3. Какой годовой ставкой сложных процентов можно заменить в контракте простую и сложную ставки i%, не изменяя финансовых отношений сторон, если срок операции t дней? К=365.

№	i%	t	№	i%	t	№	i%	t	№	i%	t
1	10	300	16	8	350	31	15	250	46	22	120
2	11	360	17	25	340	32	16	300	47	23	150
3	12	500	18	27	360	33	17	350	48	24	160
4	13	400	19	28	370	34	18	400	49	25	300
5	14	200	20	29	380	35	19	450	50	26	350
6	15	150	21	30	390	36	20	500	51	27	450
7	16	250	22	31	400	37	21	560	52	28	500
8	17	350	23	32	410	38	22	570	53	29	560
9	18	450	24	33	420	39	23	580	54	30	570
10	19	500	25	34	440	40	24	470	55	18	600
11	20	300	26	35	450	41	25	490	56	17	650
12	21	400	27	36	520	42	18	500	57	16	450
13	22	450	28	38	550	43	19	550	58	15	150
14	23	430	29	12	600	44	20	480	59	14	300
15	24	440	30	14	400	45	21	430	60	12	270

Задание 4. Какова эффективность, выраженная в годовой ставке сложных процентов, дисконтирования векселя по простой учетной ставке, простой процентной ставке, сложной учетной ставке, силе роста, равным i% (n=1) d% (временная база К=360), если срок оплаты векселя наступит через t дней?

№	d%	t	№	d%	t	№	d%	t	№	d%	t
1	15	120	16	10	90	31	22	250	46	11	120
2	16	45	17	11	100	32	23	300	47	12	150
3	17	90	18	12	110	33	24	350	48	13	160
4	18	150	19	13	120	34	25	400	49	14	200
5	19	90	20	14	130	35	26	450	50	15	150
6	20	110	21	15	150	36	27	200	51	16	100
7	21	115	22	16	160	37	28	160	52	12	190
8	22	120	23	17	180	38	29	150	53	14	130
9	23	115	24	18	80	39	30	140	54	13	125
10	24	150	25	19	90	40	18	130	55	15	165
11	25	160	26	20	135	41	17	120	56	20	175
12	18	145	27	21	165	42	16	140	57	19	145
13	19	155	28	22	175	43	15	145	58	21	200
14	20	135	29	23	180	44	14	165	59	22	300
15	21	125	30	24	190	45	12	170	60	15	270

Задание 5. Решено консолидировать три платежа со сроками n1, n2 и n3, суммы платежей P1, P2 и P3 тысяч рублей. Срок консолидированного платежа n0. Найти сумму консолидированного платежа для ставки простых процентов i% и ставки сложных процентов i%, если K=365.

№	n1	n2	n3	P1	P2	P3	n0	i%
1	12.02	13.03	13.01	20	30	45	25.03	9
2	13.04	11.02	12.05	30	35	45	1.07	11
3	5.09	6.08	13.11	60	75	15	1.12	12
4	4.05	23.08	15.07	15	12	15	1.09	13
5	12.08	11.09	25.06	12	25	45	15.09	15
6	13.08	30.09	12.09	15	17	15	7.11	16
7	12.08	3.07	25.04	10	20	23	1.09	9
8	24.08	14.06	16.08	24	34	6	10.09	18
9	12.05	14.06	21.08	12	18	20	30.08	23
10	15.09	16.07	16.09	14	16	25	20.11	24
11	13.05	7.05	1.06	15	18	17	1.07	21
12	15.07	12.09	15.08	13	16	27	1.10	21
13	12.09	2.08	4.05	14	56	75	1.09	30
14	16.07	18.09	30.11	12	8	30	1.12	25
15	8.09	7.08	3.05	12	3	7	10.09	25
16	17.08	18.03	12.05	20	9	30	20.08	27
17	1.06	3.07	30.09	12	17	11	1.12	15
18	4.08	3.08	5.10	11	8	9	15.10	15
19	11.02	8.03	7.05	12	4	7	24.05	13
20	24.05	7.05	14.06	7	9	5	30.06	16
21	4.08	12.07	16.08	5	13	6	17.09	10
22	3.09	5.10	11.12	7	6	12	30.12	9
23	4.08	5.07	12.02	17	8	23	15.08	8
24	5.10	6.09	12.08	12	11	10	30.10	11
25	5.06	12.06	29.05	21	9	10	30.06	12
26	5.08	27.09	21.09	5	7	12	1.10	15
27	13.04	15.04	17.06	11	7	34	20.06	16
28	4.09	30.08	25.08	12	13	15	10.09	17
29	13.08	15.07	30.10	10	9	11	15.11	18
30	12.07	11.07	13.08	12	17	11	30.08	20

№	n1	n2	n3	P1	P2	P3	n0	i%
31	5.06	25.05	16.08	12	13	18	1.09	21
32	14.08	23.06	17.09	10	9	11	1.10	24
33	30.01	12.02	15.03	50	45	15	1.04	25
34	12.07	24.08	30.02	13	16	11	1.09	26
35	30.07	2.10	13.09	17	18	15	15.10	27
36	27.09	30.06	15.03	13	15	16	15.10	30
37	13.09	15.09	18.09	13	12	11	1.10	35
38	13.08	12.09	18.09	10	9	18	1.12	45
39	5.06	6.07	8.10	22	24	26	1.11	12
40	5.07	6.03	8.05	25	36	45	1.09	9
41	12.07	12.02	13.01	20	30	45	25.08	9
42	5.06	13.04	12.05	30	35	45	1.07	11
43	5.07	5.09	13.11	60	75	15	1.12	12
44	6.09	4.05	15.07	15	12	15	20.09	13
45	12.06	12.08	25.06	12	25	45	15.09	15
46	27.09	13.08	12.09	15	17	15	7.11	16
47	15.04	12.08	25.04	10	20	23	1.09	9
48	30.08	24.08	16.08	24	34	6	10.09	18
49	15.07	12.05	21.08	12	18	20	30.08	23
50	11.07	15.09	16.09	14	16	25	20.11	24
51	25.05	13.05	1.06	15	18	17	1.07	21
52	23.06	15.07	15.08	13	16	27	1.10	21
53	12.02	12.09	4.05	14	56	75	20.09	30
54	24.08	16.07	30.11	12	8	30	1.12	25
55	2.08	8.09	3.05	12	3	7	10.09	25
56	30.06	17.08	12.05	20	9	30	20.08	27
57	15.09	1.06	30.09	12	17	11	1.12	15
58	12.09	4.08	5.10	11	8	9	15.10	15
59	6.07	11.02	7.05	12	4	7	24.05	13
60	6.03	24.05	14.06	7	9	5	30.06	16

Задание 6. Необходимо три векселя со сроками погашения n1, n2 и n3 и суммами S1, S2 и S3 тысяч рублей заменить одним векселем со сроком погашения n0. Определить сумму, которая должна быть указана в этом векселе при простой учетной ставке d% и сложной учетной ставки d%, если К=360.

№	n1	n2	n3	S1	S2	S3	n0	d%
1	24.08	12.07	16.08	5	13	6	1.08	10
2	3.09	5.10	11.12	7	6	12	12.10	9
3	4.08	5.07	12.02	17	8	23	15.05	8
4	5.10	6.09	12.08	12	11	10	1.10	11
5	5.06	12.06	29.05	21	9	10	1.06	12
6	5.08	27.09	21.09	5	7	12	15.09	15
7	13.04	15.04	17.06	11	7	34	10.05	16
8	4.09	30.08	25.08	12	13	15	20.08	17
9	13.08	15.07	30.10	10	9	11	1.09	18
10	12.07	11.07	13.08	12	17	11	1.08	20
11	5.06	25.05	16.08	12	13	18	1.07	21
12	14.08	23.06	17.09	10	9	11	1.09	24
13	30.01	12.02	15.03	50	45	15	1.03	25
14	12.07	24.08	30.06	13	16	11	1.08	26
15	30.07	2.10	13.09	17	18	15	20.09	27
16	27.09	30.06	15.05	13	15	16	1.08	30
17	13.09	15.07	18.09	13	12	11	1.09	35
18	13.08	12.09	18.09	10	9	18	1.09	45
19	5.06	6.07	8.10	22	24	26	1.09	12
20	5.07	6.03	8.05	25	36	45	5.06	9
21	12.02	13.03	13.01	20	30	45	1.03	9
22	13.04	11.02	12.05	30	35	45	1.03	11
23	5.09	6.08	13.11	60	75	15	15.09	12
24	4.05	23.08	15.07	15	12	15	1.08	13
25	12.08	11.09	25.06	12	25	45	1.09	15
26	13.08	30.09	12.09	15	17	15	1.09	16
27	12.08	3.07	25.04	10	20	23	1.08	9
28	24.08	14.06	16.08	24	34	6	20.08	18
29	12.05	14.06	21.08	12	18	20	1.08	23
30	15.09	16.07	16.09	14	16	25	1.09	24

№	n1	n2	n3	S1	S2	S3	n0	d%
31	13.05	7.05	1.06	15	18	17	24.05	21
32	15.07	12.09	15.08	13	16	27	1.09	21
33	12.09	2.08	4.05	14	56	75	1.09	30
34	16.07	18.09	30.11	12	8	30	1.09	25
35	8.09	7.08	3.05	12	3	7	1.09	25
36	17.08	18.03	12.05	20	9	30	1.08	27
37	1.06	3.07	30.09	12	17	11	1.09	15
38	4.08	3.08	5.10	11	8	9	20.09	15
39	11.02	8.03	7.05	12	4	7	15.04	13
40	24.05	28.02	14.06	7	9	5	1.06	16
41	11.08	2.09	23.10	12	13	15	3.10	2
42	1.12	23.02	1.05	13	16	17	7.11	3
43	1.07	1.04	7.05	12	9	13	24.05	5
44	1.12	15.06	17.09	13	10	23	30.09	7
45	30.01	15.06	17.09	14	11	25	1.02	8
46	10.10	23.07	24.08	15	12	36	1.09	9
47	1.09	23.08	27.12	16	15	24	1.10	10
48	15.09	3.05	4.07	23	14	25	1.09	11
49	15.09	14.06	12.07	45	17	27	1.09	12
50	15.05	14.03	15.04	23	19	28	1.05	13
51	15.12	26.09	30.05	45	20	27	1.11	10
52	20.09	28.02	30.07	67	21	15	1.09	9
53	18.09	23.08	15.08	13	18	18	1.09	9
54	20.10	18.05	12.04	21	16	20	30.09	8
55	20.09	11.07	25.08	22	15	19	1.09	8
56	20.10	12.08	16.05	24	13	18	1.10	7
57	20.12	30.11	7.07	26	11	27	1.12	9
58	1.12	25.06	13.07	27	12	23	15.11	8
59	20.09	12.08	18.08	31	24	26	1.09	10
60	20.10	15.08	15.09	30	23	18	30.09	10

Задание 7. Два платежа P1 и P2 тыс. со сроками n1 и n2 заменяются одним с продлением срока до n0. При объединении векселей применена процентная ставка (сила роста) %. Найти сумму нового платежа.

№	n1	P1	n2	P2	n0		№	n1	P1	n2	P2	n0
1	10.02	10	12.03	20	13.04	6	31	12.06	20	13.08	30	1.09	8
2	11.09	12	10.05	30	1.10	5	32	12.03	15	13.04	40	25.05	11
3	13.08	18	1.09	35	17.09	10	33	5.09	12	6.10	25	1.11	9
4	12.10	11	3.08	34	25.10	8	34	21.07	15	13.08	50	1.09	7
5	13.07	25	16.04	15	2.08	12	35	15.08	34	17.05	35	1.09	15
6	12.09	23	20.09	25	1.10	6	36	23.07	12	25.06	15	1.09	8
7	23.08	20	23.07	18	1.09	5	37	12.07	30	15.06	12	1.08	4
8	14.09	45	21.08	15	1.10	11	38	30.01	18	12.02	16	1.03	9
9	12.07	25	13.08	27	12.09	10	39	30.07	35	11.08	23	1.10	12
10	25.07	85	24.08	25	3.09	11	40	3.08	32	12.10	26	1.12	10
11	4.07	18	3.05	15	1.08	9	41	5.03	20	4.05	16	10.06	8
12	18.09	25	12.07	25	10.10	5	42	12.09	45	26.07	35	7.11	6
13	15.10	35	16.09	45	12.11	9	43	12.10	65	5.10	50	1.12	10
14	11.09	55	3.05	26	1.11	9	44	12.04	45	4.05	28	1.06	8
15	10.06	35	6.08	30	1.09	6	45	5.08	20	10.06	35	10.09	8
16	20.02	14	12.03	10	13.04	6	46	22.06	25	13.08	20	1.09	8
17	18.09	23	10.08	12	1.10	5	47	17.03	25	13.06	15	25.07	11
18	15.08	30	1.05	18	1.09	10	48	5.07	18	6.08	12	1.11	9
19	12.11	15	3.06	11	25.12	8	49	13.04	13	16.07	25	2.08	12
20	21.03	17	13.05	15	1.09	7	50	18.08	14	17.06	34	1.09	15
21	14.09	25	20.08	23	1.10	6	51	27.07	30	25.05	12	1.09	8
22	28.08	40	26.07	20	1.09	5	52	1.07	50	25.06	30	1.08	4
23	1.09	12	25.08	45	1.10	11	53	3.01	35	18.02	18	1.03	9
24	2.07	45	19.08	25	12.09	10	54	30.05	65	11.06	35	1.09	12
25	25.06	75	24.07	85	3.09	11	55	3.09	80	12.11	32	1.12	10
26	4.07	16	3.06	20	1.08	9	56	5.05	23	4.04	30	10.06	8
27	18.06	20	12.07	35	10.10	5	57	12.08	25	26.06	45	7.11	6
28	15.12	35	16.08	60	30.12	9	58	12.11	30	5.11	75	1.12	10
29	11.11	45	3.09	18	1.12	9	59	12.06	40	24.05	25	1.09	8
30	10.02	35	16.08	45	1.09	6	60	5.09	60	18.06	55	10.10	8

Задание 8. Платежи в размере P1, P2, P3 тыс. рублей уплачиваются через n1, n2, n3 дней после некоторой даты. Решено заменить их одним платежом, равным сумме а) P1+P2+P3+10 тыс. рублей; б) P1+P2+P3. Найти срок консолидированного платежа для простой и сложной процентных ставок i%.

№	P1	P2	P3	n1	n2	n3	i%	№	P1	P2	P3	n1	n2	n3	i%
1	15	12	12	30	25	35	6	31	12	18	15	40	15	65	8
2	15	24	24	60	35	75	8	32	16	35	34	50	40	45	7
3	12	45	35	60	45	35	6	33	15	46	45	40	60	75	9
4	25	54	65	30	65	65	8	34	35	55	75	20	75	75	7
5	45	58	35	80	45	45	6	35	12	68	45	70	35	35	7
6	18	34	60	70	30	45	8	36	16	23	30	60	20	40	8
7	12	21	20	50	70	90	9	37	14	18	10	40	75	80	10
8	15	15	11	50	60	70	11	38	16	16	18	60	35	75	5
9	25	17	15	70	45	60	6	39	23	20	12	80	35	90	7
10	21	10	35	50	30	80	6	40	22	30	45	20	25	60	8
11	24	40	26	40	25	45	9	41	35	23	23	30	45	70	7
12	46	25	25	50	35	75	8	42	35	45	20	35	30	65	6
13	36	35	30	25	70	60	6	43	37	45	35	30	80	90	5
14	38	65	45	45	60	45	8	44	40	75	25	65	50	60	9
15	45	30	22	60	40	70	10	45	35	45	35	70	35	80	11
16	12	15	11	35	30	25	6	46	15	12	18	45	40	45	7
17	24	15	15	50	60	60	6	47	34	16	12	65	50	90	8
18	35	12	35	55	60	80	9	48	45	15	45	45	40	70	7
19	65	25	26	35	30	75	8	49	75	35	23	45	20	60	6
20	35	45	25	65	80	80	6	50	45	12	20	75	70	70	5
21	60	18	30	70	70	65	8	51	30	16	35	45	60	55	9
22	20	12	45	35	50	45	10	52	10	14	25	30	40	40	11
23	12	15	22	25	50	30	8	53	15	16	35	60	35	90	9
24	24	25	18	70	65	80	7	54	35	23	25	80	75	70	6
25	45	21	25	50	45	80	7	55	60	22	34	20	35	60	8
26	75	24	50	40	75	45	9	56	60	35	60	30	65	70	9
27	55	46	75	50	75	75	10	57	45	35	60	35	45	65	11
28	35	36	75	25	35	60	9	58	40	37	75	30	45	90	8
29	55	38	35	45	40	45	9	59	45	40	45	65	90	60	10
30	40	45	50	60	60	70	11	60	25	35	70	70	70	80	10



Лабораторная работа 4

Анализ потоков платежей

1. Цель работы

1. Расчеты наращенных сумм обычной ренты и p-срочной ренты, расчет современной величины обычной ренты. Определение параметров финансовых рент: размера платежа (члена ренты), срока ренты, ставок процентов.

2. Анализ финансовых рент: расчеты с простыми и сложными процентными ставками, смешанные ренты, ренты с периодом превышающим год, вечная рента.

3. Расчет наращенных сумм и величин переменных рент: при разовом изменении платежей, при постоянном абсолютном приросте платежей, при постоянном относительном изменении платежей.

4. Анализ непрерывных постоянных рент: расчет величины рент, сроков и процентных ставок; анализ непрерывных переменных рент: расчет величины рент и процентных ставок.

5. Конверсия рент: выкуп рент и рассрочка платежей.

6. Изменение параметров рент: замена немедленной ренты на отсроченную, изменение продолжительности и срочности ренты, общий случай замены ренты; объединение рент.

7. Расчет страховых взносов.

2. Краткие теоретические сведения

1. Постоянные потоки платежей.

Финансовой рентой (аннуитетом) называется поток платежей, все члены которого являются положительными величинами, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны. Отдельные платежи, входящие в ренту, называются членами ренты.

Рента описывается следующими параметрами: членом ренты (величины отдельных платежей), периодом ренты (временной интервал между двумя платежами), сроком ренты (интервал времени от начала финансовой ренты до ее окончания), процентной ставкой, которая используется для наращения или дисконтирования отдельных платежей.

Существуют следующие виды финансовых рент:

- годовые ренты (период ренты равен одному году) и p-срочные ренты (в течении года предусмотрено p выплат), при p=1 получаем, что p - срочная рента соответствует годовой ренте;

- дискретные ренты (период ренты не равен нулю) и непрерывные ренты (период ренты стремится к нулю);

- постоянные ренты (все члены ренты постоянны) и переменные ренты (члены ренты изменяются со временем);

- верные ренты (безусловная выплата ренты) и условные ренты (выплата при выполнении каких-то дополнительных условий):

- ограниченные ренты (срок ренты конечен) и вечные ренты (срок ренты не ограничен);

- немедленные ренты (время начала срока ренты начинается сразу с момента оформления финансового обязательства) и отложенные ренты (время начала срока ренты запаздывает по отношению ко времени оформления обязательства);

- обычные ренты или постумерандо (платежи осуществляются в конце каждого периода) и пренумерандо (платежи осуществляются в начале каждого периода).

2. Наращенная сумма постоянной обычной ренты.

Формула для расчета наращенной суммы постоянной обычной ренты имеет вид



(2.1)

где R - величина отдельного платежа (член ренты), - множитель наращения, который определяется процентной ставкой i и периодом ренты, n - число членов ренты, которое определяется сроком ренты и периодом ренты. Величина sn,i называется коэффициентом наращения ренты и для ее определения существуют специальные таблицы.

Из выражения (2.1) следует формула для наращенной суммы ренты со сроком равным n лет:

а) годовая рента c годовой процентной ставкой ic:

(2.2)

Пример. Для создания фонда производятся взносы по 20 т.р. на протяжении 5 лет, годовая процентная ставка равна 10%. Необходимо определить накопленную сумму. Имеем

б) p - срочная рента c номинальной процентной ставкой j, начисляемой m - раз в году (p - срочная рента выплачивается p - раз в году равными частями Rp=R/p)

(2.3)

при m=1 имеем p-срочную ренту с годовой ставкой ic.

Разделив числитель и знаменатель в (4.3) на j/m получаем формулу для вычислений наращенной суммы p-срочной ренты с помощью таблиц для коэффициентов наращения ренты sn,i и коэффициента наращения p - срочной ренты s(p)n,i:

(2.4)

Пример. Найти наращенную сумму ежемесячных взносов с общим годовым взносом 18 т.р. на протяжении 3 лет, при этом проценты начисляются поквартально по номинальной ставке 8%. Имеем p-срочную ренту p=12 и m=4,

в) непрерывное начисление процентов для p-срочной ренты по ставке

(2.5)

Пример. Предусмотрены полугодовые выплаты по 5т.р. в течении 4 лет при непрерывном начислении процентов по ставке 9%. Найти наращенную сумму выплат. Имеем p- срочную ренту с p=2 и Rp=R/p=5000 руб. Находим

3. Современная величина обычной ренты.

Современной или приведенной величиной потока платежей (ренты) называется сумма всех дисконтированных членов такого потока к моменту времени соответствующему началу этого потока. Современную величину иногда называют капитализированной стоимостью потока и определяют по формуле

(2.6)

где R - величина отдельного платежа (член ренты), - множитель дисконтирования, который определяется процентной ставкой i и периодом ренты, n - число членов ренты, которое определяется сроком ренты и периодом ренты. Величина an,i называется коэффициентом приведения ренты и для ее определения существуют специальные таблицы.

Для современной величины ренты сроком n лет имеем:

а) годовая рента c годовой процентной ставкой ic

(2.7)

Пример. Предполагается погашение долга с ежегодной выплатой 60т.р. на протяжении 8 лет при ставке 7%, найти современную величину этого долга.

б) рента p-срочная с номинальной процентной ставкой j, начисляемой m раз в году (при p=1 и m=1 имеем годовую ренту, при p=1 имеем годовую ренту с номинальной процентной ставкой j, при m=1 имеем p - срочную ренту)

(2.8)

Пример. Предусмотрены ежеквартальные выплаты с годовой суммой 4т.р. в течение 3 лет, проценты будут начисляться два раза в год по номинальной ставке 6%. Найти современную величину всех выплат. Имеем p=4 и m=2;

в) p-срочная рента с непрерывным начислением процентов

(2.9)

Пример. Предусмотрены поквартальные выплаты с годовой суммой 10т.р. в течении 5 лет при непрерывном начислении процентов по ставке 8%. Найти наращенную сумму выплат. Имеем p- срочную ренту с p=4,

4. Определение параметров финансовых рент.

Формулы для определения члена ренты:

(2.10)

Пример. В течении 6 лет должен быть создан фонд в размере 200т.р. Требуется определить величину полугодовых взносов при ежегодном начислении процентов по ставке 10%. Имеем p=2, m=1,

Формулы для расчета срока платежа:

(2.11)

Пример. В течении какого срока должен быть создан фонд в размере 200т.р., если поквартальные взносы равны 5т.р. при полугодовом начислении процентов по номинальной ставке 10%. Имеем p=4, m=2, R/p=5000,

5. Различные виды рент с постоянными членами.

Формулы наращенных и приведенных сумм рент с постоянными членами:

а) p срочная рента с простыми процентами

(2.12)

Если используется простая учетная ставка d, то имеем

Пример. Сколько стоит портфель векселей, если каждый векселя выписаны на 10 т.р. каждый и погашаются раз в полугодие в течении 5 лет, и банк производит учет по простой ставке 8%? Имеем Ra=10000 руб., n=5, p=2, d=0,08,

б) смешанные ренты. Для расчета наращенной суммы p-срочной ренты иногда применяют смешанный метод, т.е. наращенная сумма в пределах года определяется по простым процентам для членов Ra=R/p, а за целые годовые периоды в течении n лет по сложным процентам но уже для членов Rg

(2.13)

Пример. На счет в начале каждого полугодия вносится сумма 3т.р. Найти накопленную сумму за 5 лет, если в течении года начисляются простые проценты, а за весь год - сложные проценты по ставке 9%. Имеем Ra=3000 руб., p=2,

в) ренты с периодом больше года. Если разовый платеж равен Rq, а период ренты больше года и равен q, то всего платежей на протяжении n лет будет n/q. Так как множитель дисконтирования по сложным процентам за этот период равен =(1+ic)-q, то из (2.6) имеем



(2.14)

где an,i - коэффициент приведения ренты со сроком n, а sq,i - коэффициент наращения ренты с периодом q.

Пример. Найти современную стоимость инвестиций в модернизацию газового промысла, если вначале требуется вложение 15млн.р.?, а затем каждые три года по 5 млн. р. в течении 15 лет, если проценты начисляются по ставке 7%? Имеем Rq=5000т.р., q=3, n=15,

г) вечная рента - это последовательность платежей, число членов которой не ограниченно, т.е. n. Из (2.7) получаем

(2.15)

Для вечной p - ренты с номинальной процентной ставкой j из (2.8) получаем

(2.16)

Для вечной ренты с периодом большим года из (2.14) имеем

(2.17)



Пример. Требуется выкупить вечную ренту, которая выплачивается каждые полгода в сумме 10т.р., а проценты начисляются ежеквартально по номинальной ставке 8%. Имеем p=2, m=4, j=0,08; R=Rap=20000 руб.,

д) отложенная рента. Начало выплат по такой ренте отложено на L лет. Если приведенная к сроку L сумма немедленной ренты (ренты рассмотренные выше) равна A, то современная величина отложенной на L лет ренты AL равна

(2.18)

где L - соответствующий дисконтный множитель за L лет.

Пример. Выплата ренты общим сроком 20 лет отложена на 10 лет. Член ренты равен 5т.р., а выплата процентов производится по ставке 9%. Имеем L=10, n=10, R=5000 руб;

е) рента пренумерандо. В данной ренте платежи осуществляются в начале каждого периода ренты, поэтому проценты на каждый платеж R начисляются в начале периода, а не в конце. К концу периода каждый член ренты пренумерандо будет больше члена обыкновенной ренты в раз ( - множитель наращения за соответствующий период). Следовательно при определении наращенной суммы и современной величины ренты пренумерандо можно брать обыкновенную ренту с разовыми платежами равными R, т.е. достаточно увеличить значения наращенной и приведенных сумм обычной ренты в раз



(2.19)

Пример. Если наращенная сумма обычной ренты равна 45т.р. при годовой процентной ставке 10% и платежи производятся каждые полгода, то наращенная сумма ренты пренумерандо будет равна: S=45000, p=2, m=1, j=0,1,

6. Потоки с разовым изменением платежей

Переменный поток платежей, члены которого изменяются по какому-то закону, а интервал времени между предыдущим и последующим платежами один и тот же называется переменной рентой.

а) нерегулярный поток платежей при постоянной процентной ставке. Для наращенной суммы и современной величины потока продолжительностью n лет из m различных платежей Rk со сроками выплаты nk (k=1,2,...,m) имеем

- для начисления процентов один раз в конце года

(2.20)

- для непрерывных процентов:

(2.21)

Пример. Предполагается в течении трех лет погашение задолженности, при этом погашаемая сумма в конце первого года сумма равна 17т.р., второго - 35 т.р. и третьего - 30 т.р. Найти наращенную сумму долга в конце срока, если процентная ставка равна 11%. Имеем n1=1, n2=2, n3=3, n=3,

б) переменная рента с разовым изменением членов ренты и процентных ставок. Если весь срок ренты на m интервалов времени со сроками nk (k=1,...,m), nm=n, в каждом из которых члены ренты и процентные ставки постоянны и равны соответственно Rk и ik, и при этом проценты начисляются один раз в конце года, то наращенная сумма и современная величина равны

(2.22)

Пример. В течении двух периодов создается накопительный фонд, в первом периоде продолжительностью три года ежегодные взносы в конце каждого года равны 33т.р. и предполагается процентная ставка 10%, а во втором в течении двух лет взносы равны 45т.р. и процентная ставка - 8%. Определить наращенную сумму в конце срока. Имеем m=2, n=5, n1=3, i1=0,1; n2=2; i2=0,08,

7. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей.

Формулы наращенной суммы и современной величина имеют вид:

а) годовая рента, у которой члены возрастают по арифметической прогрессии с разностью b, при этом первый член ренты равен R,



(2.23)

б) p - срочная рента, у которой первая выплата равна Rp, а каждая последующая увеличиваться на величину b

(2.24)

Пример. В конце каждого полугодия на протяжении 1,5 лет производятся платежи, при этом начиная с первого в сумме 8т.р. последующие возрастают каждые полгода на 2т.р. Определить наращенную сумму для процентной ставки 5%. Имеем n=1,5; p=2, np=3, Rp=8000, b=2000,

8. Ренты с постоянным относительным изменением платежей.

Члены p срочной ренты изменяются по закону геометрической прогрессии со знаменателем q, а проценты начисляются m раз в году по номинальной ставке j

(2.25)

Пример. Пусть по контракту сроком 6 лет первый взнос в конце первого года равен 40т.р., а последующие увеличиваются на 30%, процентная ставка равна 7%. Найти современную стоимость контракта. Имеем n=6, Rp=40000, q=1,3; p=m=1, j=0,07,

9. Непрерывные постоянные потоки платежей.

При непрерывной ренте платежи на протяжении срока ренты происходят непрерывно, т.е. в течении года имеем бесконечное количество платежей p. На основание этого имеем следующие формулы:

а) наращенная сумма и современная величина постоянной непрерывной ренты

(2.26)

б) наращенная сумма и современная величина постоянной непрерывной ренты при непрерывных процентах

(2.27)

Пример. Доход за аренду помещения в сумме 150т.р. в год поступает непрерывно, при этом также происходит и начисление процентов по ставке 5%, найти наращенную сумму за 10 лет. Имеем

в) срок ренты. Из соотношений (2.26) и (2.27) имеем

(2.27)



Пример. За кокой срок наращенная сумма обычной ренты будет превышать годовой взнос в 10 раз, если проценты начисляются непрерывно по ставке 7%?

10. Непрерывные переменные потоки платежей.

Формулы для наращенной и современной суммы непрерывных переменных потоков имеют вид

(2.28)

а) линейно изменяющийся поток платежей ,

(2.29)

Пример. Взносы в течении пяти лет начиная от суммы 10т.р. постоянно увеличиваются на 3т.р. в год, процентная ставка =7%, найти накопленную сумму взносов в конце срока. Имеем R0=10000, n=5, b=3000, =0,07,

б) экспоненциальный поток платежей ,

(2.30)

Пример. В течении 5 лет поступает непрерывный поток платежей с R0=60т.р., на который по мере поступления начисляются проценты по годовой ставке ic=9%, при этом темп инфляции равен h=3%. Найти наращенную сумму этого потока.

Вначале находим эквивалентную непрерывную ставку (силу роста):, а затем величину , которая определяется темпом инфляции:. Отсюда получаем: Окончательно имеем

11. Конверсия рент.

Конверсией рент называется замена одних рент другими рентами. На основание принципа финансовой эквивалентности при конверсии сумма современных величин заменяемых рент Ak(1) (k=1,2,..M1) должна быть равна сумме современных величин заменяющих рент Ak(2) (k=1,2,..M2), т.е. должно выполняться равенство

Из этого соотношения, а также формул для современных величин рент получаем следующие соотношения:

а) замена постоянных обыкновенных рент

(2.31)

где R1, R2 - члены рент, p1, p2 - количество выплат в году, j1, j2 - процентные ставки, m1, m2 - количество периодов начислений процентов в году по этим ставкам, n1, n2 - сроки рент, L1, L2 - сроки на которые отложены выплаты рент.

Пример. Пусть немедленную годовую ренту с параметрами: R1, n1, ic требуется заменить на отсроченную на L лет ренту с членом R2, с той же процентной ставкой ic и сроком n2. Требуется найти член ренты R2. Имеем

(2.32)

б) объединение (консолидация) рент. На основании принципа финансовой эквивалентности имеем равенство

(2.33)

где R0,, n0, i0 - параметры консолидирующей ренты, Rk,, nk, ik - параметры консолидируемых рент, m - общее количество консолидируемых рент.

Из (2.33) имеем

(2.34)

Пример. Две обыкновенные ренты с параметрами R1=100т.р., n1=3, i1=6%; R2=200т.р., n1=4, i1=7% ; требуется заменить одной с R0=300т.р. и i0=8%. Найти срок n0. Имеем

Частные случаи:

-все члены объединяемых рент одинаковы и равны Rk=R, (k=1,2,..,m), то из (2.34) получаем следующие формулы для расчета члена ренты R0 и срока n0

(2.35)

(2.36)

-все члены объединяемых рент разные Rk1Rk2, где k1,k2=1,2,...,m; а все процентные ставки одинаковые и равны ic, т.е. ic= i0=ik, k=1,...m; то получаем формулы для расчета члена ренты R0 и срока n0

(2.37)

(2.38)

Пример. Требуется консолидировать две ренты: R1=5т.р. и R2=8т.р. со сроками n1=3 года и n2=5 лет рентой член которой равен R0=7т.р., при этом процентная ставка для всех рент равна 10%. Найти срок n0. Имеем

12. Условные аннуитеты.

Финансовые ренты в страховании, условия выплаты которых определяется случайными величинами, называются условными аннуитетами.

В страховом договоре указывается, что если в течении срока действия этого договора произойдет некоторое событие, то страхователь получит сумму S, при этом страхователь за этот договор должен платить в течении всего срока страховщику страховые взносы (премии) U.

Для определения размера премии U используется принцип финансовой эквивалентности обязательства для страхователя и страховщика. Если вероятность события в k году равна k, то математическое ожидание современной величины суммы всех выплаченных премий должна равняться математическому ожиданию возможных выплат за весь срок равный m лет. Отсюда получаем уравнение

(2.39)

где - дисконтный множитель.

При имущественном страховании вероятность наступления событий обычно постоянна, т.е. k= (k=1,...,m), поэтому при =(1+ic)-1 имеем

(2.40)



Пример. Имущество застраховано на случай пожара на суму 50т.р. на срок равный 10 лет. Определить сумму ежегодных страховых взносов, если процентная ставка равна 8%. Имеем

3. Задания

Задание 1. В конце каждого года в течение n лет в банк вносится по R рублей: a) найти наращенную к концу срока ренты сумму, если проценты начисляются в конце года, ставка - i% годовых;

б) найти наращенную сумму ренты при условии, что проценты начисляются поквартально, ставка - i% годовых.

№	n	R	i%	№	n	R	i%	№	n	R	i%
1	5	500	10	21	5	400	8	41	5	500	5
2	4	300	7	22	7	200	8	42	6	600	6
3	6	600	8	23	6	300	9	43	6	450	7
4	7	700	9	24	8	250	7	44	7	550	8
5	5	500	11	25	7	500	6	45	8	650	5
6	8	500	12	26	8	400	8	46	9	700	9
7	5	400	9	27	9	500	8	47	10	300	8
8	6	600	5	28	6	600	7	48	9	200	6
9	7	500	6	29	7	700	5	49	8	350	10
10	8	200	6	30	8	350	9	50	8	300	11
11	5	400	8	31	5	550	10	51	9	300	12
12	4	500	11	32	8	500	11	52	10	250	15
13	7	600	12	33	7	600	12	53	7	300	6
14	8	250	15	34	9	200	15	54	6	400	7
15	9	450	20	35	8	300	20	55	6	400	10
16	5	500	12	36	6	400	15	56	8	500	11
17	6	300	11	37	7	500	18	57	5	550	12
18	7	250	10	38	8	450	12	58	8	650	10
19	8	500	6	39	4	350	10	59	8	700	12
20	10	450	6	40	5	600	15	60	9	800	15

Задание 2. Для создания фонда ежегодно выделяется по R тыс. рублей. На аккумулируемые средства начисляются сложные проценты по ставке i%. Необходимо определить общую сумму фонда через n лет для следующих вариантов поступления средств и начисления процентов:

а)поступление в конце года, начисление процентов по полугодиям;

б)поступление в конце квартала, начисление процентов по полугодиям;

в)квартальное поступление и начисление процентов.

№	R	i%	n	№	R	i%	n	№	R	i%	n
1	3	5	4	21	5	5	5	41	2	5	6
2	4	6	3	22	5,5	6	6	42	2,5	6	5
3	5	6	5	23	6	7	7	43	3	6	4
4	2	7	6	24	4	8	5	44	4,5	7	5
5	4	8	5	25	5	5	6	45	5	8	5
6	3	9	5	26	6,5	9	8	46	4	9	7
7	6	10	4	27	6	8	9	47	4,5	10	6
8	7	9	6	28	5	6	8	48	6	9	8
9	8	8	5	29	4	10	7	49	2,5	8	5
10	4	8	4	30	3	11	6	50	5	8	6
11	5	9	6	31	3,5	12	8	51	3	9	6
12	4	10	5	32	2	15	7	52	4,5	10	7
13	3	7	6	33	2,5	6	5	53	5	7	8
14	5	6	6	34	4	7	8	54	6	6	6
15	5	6	5	35	4	10	6	55	4,5	6	8
16	7	8	4	36	5	11	8	56	5	8	6
17	8	5	3	37	5,5	12	9	57	4	5	5
18	3	8	5	38	4	10	6	58	2,5	8	4
19	3,5	8	6	39	5	12	7	59	3	8	6
20	4,5	9	5	40	6	15	8	60	2,5	9	7

Задание 3. Условия контракта предусматривают ежегодные выплаты в сумме R тыс. рублей в течение n лет. Определить накопленную к концу срока сумму при непрерывном начислении процентов по ставке %, если выплаты производятся: а)раз в конце года; б) по полугодиям; в)поквартально.



№	R	n	%	№	R	n	%	№	R	n	%
1	3	5	3	21	5	4	3	41	3	5	4
2	4	4	4	22	4	5	2	42	4	5	3
3	5	6	5	23	3	5	2,5	43	2,5	6	3
4	4	5	4	24	3,5	6	4	44	1,5	6	4
5	6	6	3	25	4	7	5	45	2	7	5
6	5,5	5	3	26	5	6	3,5	46	3	6	4
7	5	7	4	27	6	7	4	47	4	7	6
8	5	6	5	28	4,5	8	5	48	2,5	8	5
9	4,5	5	4	29	4	7	6,5	49	2	5	4
10	2,5	6	2,5	30	3	6	6	50	3	6	3,5
11	2	5	3	31	2	7	7	51	43,5	5	4,5
12	1,5	5	3,5	32	4	6	4	52	4	7	2
13	2	4	4	33	2,5	5	3	53	3	6	3,5
14	3	6	5	34	3	6	5	54	2	5	4
15	4,5	5	6	35	1,5	7	4,5	55	1,5	4	3,5
16	6	6	7	36	3	5	4	56	3	6	4
17	5	6	5,5	37	2	64	5	57	2,5	5	3
18	4	5	6,5	38	4	4	4,5	58	4	5	5
19	4,5	5	4,5	39	5	5	4	59	3	4	4
20	2	4	6	40	3,5	6	4	60	2	4	5

Задание 4. Найти современную величину ренты, если рента выплачивается в конце года, член ренты R рублей, ставка i% годовых, срок ренты n лет.

№	R	i%	n	№	R	i%	n	№	R	i%	n
1	300	6	10	21	200	9	5	41	300	12	8
2	500	7	9	22	300	8	6	42	200	11	8
3	450	8	10	23	450	10	6	43	500	12	9
4	400	9	8	24	500	11	7	44	600	15	7
5	500	10	9	25	600	12	8	45	300	16	8
6	600	12	8	26	450	11	8	46	450	17	9
7	450	15	7	27	500	10	9	47	500	11	10
8	650	15	8	28	350	11	10	48	600	12	9
9	700	11	8	29	450	9	10	49	700	13	8
10	500	12	10	30	500	10	9	50	500	14	9
11	450	15	11	31	500	11	8	51	500	15	7
12	300	16	12	32	600	12	9	52	400	20	9
13	250	18	10	33	550	11	7	53	550	12	8
14	200	20	9	34	450	12	8	54	700	12	9
15	500	20	8	35	500	15	9	55	600	12	10
16	200	15	8	36	350	14	8	56	700	11	11
17	750	12	9	37	450	16	7	57	800	11	12
18	700	11	7	38	500	18	8	58	750	10	9
19	800	12	8	39	600	20	9	59	650	10	8
20	200	10	9	40	500	15	9	60	350	11	9

Задание 5. Имеется обязательство выплачивать в течение n лет по R рублей в год. Ставка процентов i% годовых. Найти современную величину ренты и наращенную сумму, если: 1)выплата один раз в конце года, начисление процентов по полугодиям; 2)ежеквартальные выплаты и начисление процентов?

№	n	R	i%	№	n	R	i%	№	n	R	i%
1	5	800	7	21	5	450	12	41	5	200	10
2	6	500	8	22	4	300	15	42	6	350	9
3	4	450	9	23	5	500	16	43	4	400	18
4	7	600	6	24	6	600	14	44	5	500	12
5	6	700	5	25	7	750	13	45	6	550	15
6	5	800	7	26	6	800	12	46	5	600	16
7	5	450	6	27	7	500	20	47	6	750	18
8	6	500	8	28	8	600	18	48	7	600	20
9	7	600	7	29	7	500	16	49	6	500	24
10	6	800	9	30	6	500	12	50	5	450	12
11	7	700	9	31	7	450	10	51	5	600	10
12	8	500	10	32	5	500	8	52	6	500	9
13	7	600	11	33	6	600	9	53	5	600	8
14	6	500	12	34	7	750	15	54	5	750	12
15	5	450	15	35	8	800	16	55	4	800	10
16	6	500	12	36	7	500	18	56	5	750	12
17	7	500	13	37	6	600	15	57	6	650	24
18	6	600	12	38	5	750	12	58	7	750	10
19	5	500	15	39	6	600	18	59	5	600	12
20	6	500	15	40	5	450	20	60	6	550	12

Задание 6. Определить размер равных взносов в конце года, чтобы создать через n лет фонд, равный S тыс. рублей, ставка процентов i% годовых.

№	n	S	i%	№	n	S	i%	№	n	S	i%
1	5	5	8	21	5	12	8	41	5	12	7
2	4	10	9	22	6	15	9	42	6	24	8
3	6	15	10	23	5	40	10	43	4	25	6
4	7	12	12	24	6	45	12	44	5	20	8
5	8	15	5	25	7	30	15	45	5	45	9
6	5	10	7	26	10	45	10	46	6	60	5
7	6	10	6	27	12	35	5	47	7	45	6
8	6	10	12	28	10	25	7	48	8	30	7
9	7	40	12	29	12	12	8	49	7	35	8
10	7	25	12	30	11	25	10	50	7	20	9
11	5	35	11	31	12	12	12	51	8	50	5
12	5	5	10	32	10	35	10	52	5	75	6
13	5	35	9	33	5	20	9	53	6	10	7
14	4	35	7	34	4	12	8	54	6	15	8
15	6	45	8	35	5	15	7	55	5	10	9
16	7	25	5	36	5	12	6	56	4	15	5
17	8	45	6	37	4	15	8	57	5	12	6
18	9	24	5	38	5	12	7	58	6	15	7
19	10	12	3	39	6	10	9	59	5	12	7
20	5	35	7	40	5	40	5	60	5	12	10

Задание 7. В начале каждого месяца на счет вносится сумма R рублей. Определить накопленную сумму через n лет при условии, что проценты начисляются по ставке i%, причем в пределах года на поступающие суммы начисляются простые проценты, а за целые годовые периоды - сложные.

№	R	n	i%	№	R	n	i%	№	R	n	i%
1	200	2	11	21	50	4	12	41	50	5	6
2	100	3	12	22	45	3	12	42	55	4	7
3	50	4	13	23	55	4	12	43	60	6	8
4	200	3	15	24	60	5	11	44	75	5	9
5	45	2	9	25	75	6	10	45	80	4	6
6	50	4	8	26	400	5	12	46	55	5	5
7	60	3	7	27	200	4	12	47	65	6	7
8	70	5	9	28	75	5	9	48	75	4	6
9	35	4	8	29	100	6	8	49	45	5	8
10	45	5	12	30	50	5	7	50	200	3	6
11	50	6	11	31	45	6	10	51	500	4	7
12	60	7	10	32	40	4	11	52	50	5	6
13	50	5	11	33	50	4	12	53	65	4	8
14	55	4	12	34	65	6	15	54	75	5	7
15	100	6	11	35	75	5	6	55	80	5	8
16	200	5	10	36	45	6	7	56	400	6	9
17	150	4	9	37	55	3	8	57	200	5	6
18	35	3	10	38	60	4	9	58	100	5	7
19	25	4	11	39	70	5	6	59	200	6	8
20	50	5	12	40	60	4	7	60	25	5	10

Задание 8. Требуется выкупить (погасить единовременным платежом) вечную ренту, член которой R рублей выплачивается в конце каждого полугодия, процент начисляется m раз в год, по номинальнойй ставке j%. Найти величину платежа.

№	R	j%	m	№	R	j%	m	№	R	j%	m
1	100	5	2	21	10	4	3	41	50	5	4
2	45	4	3	22	20	4	4	42	60	3	6
3	70	8	4	23	50	3	6	43	70	7	12
4	80	6	6	24	70	8	12	44	90	9	3
5	200	7	12	25	80	9	2	45	35	8	2
6	35	9	1	26	120	6	4	46	750	6	6
7	50	11	12	27	38	7	3	47	45	7,8	4
8	65	6	3	28	94	7,5	6	48	85	5	12
9	120	8	4	29	63	5,8	4	49	380	6	2
10	350	5	6	30	15	6	12	50	55	8,5	3
11	40	7	12	31	840	8	3	51	92	4	4
12	75	8,3	4	32	65	5	6	52	100	9	3
13	29	9	3	33	90	7	1	53	40	8	6
14	66	6	6	34	350	5	12	54	400	6	12
15	200	8	3	35	38	7,6	4	55	25	7,8	4
16	150	7	1	36	44	6	6	56	70	5	3
17	430	5,5	12	37	390	7	3	57	800	4,8	6
18	88	8	6	38	90	9	12	58	65	8,8	2
19	70	9	2	39	50	5	4	59	18	6	12
20	38	7,5	4	40	89	6,7	3	60	600	5	4

Задание 9. Срок ренты n лет, член ренты R тыс. рублей, ставка i%. Найти наращенную сумму при применении простой и сложной ставки; результаты сравнить.

№	n	R	i%	№	n	R	i%	№	n	R	i%
1	4	3	4	21	4	11	6	41	5	5	3
2	3	5	5	22	5	12	5	42	4	15	4
3	5	4	4	23	4	15	4	43	4	24	5
4	4	3	3	24	5	20	5	44	5	35	6
5	5	5	3	25	3	20	6	45	4	60	4
6	6	6	4	26	4	12	5	46	5	15	5
7	5	7	5	27	5	14	5	47	6	12	3
8	4	8	6	28	5	15	4	48	6	15	4
9	5	9	6	29	6	16	2	49	5	10	4
10	4	10	7	30	5	17	5	50	4	9	5
11	3	12	8	31	4	8	6	51	4	8	2
12	4	10	9	32	5	9	8	52	3	10	3
13	5	12	10	33	4	5	10	53	4	8	5
14	5	15	5	34	5	6	5	54	5	9	6
15	4	45	3	35	5	7	5	55	6	6	4
16	5	6	4	36	6	8	5	56	5	7	5
17	4	8	2	37	5	8	6	57	4	9	4
18	5	7	5	38	4	5	2	58	5	8	5
19	4	9	3	39	5	4	3	59	4	10	6
20	5	10	5	40	5	6	2	60	5	5	4

Задание 10. Необходимо сравнить два варианта строительства дороги: первый требует разовых вложений, равных S1 млн. рублей и капитальный ремонт стоимостью K1 млн. рублей каждые n1 лет, второй - S2 млн. рублей и капитальный ремонт стоимостью K2 млн. рублей каждые n2 лет. Временной горизонт 60 лет, ставка процентов i% годовых.

№	S1	K1	n1	S2	K2	n2	i%	№	S1	K1	n1	S2	K2	n2	i%
1	6	1	5	5	1,2	4	10	31	7	0,5	5	8	0,4	6	11
2	8	0,8	5	9	0,7	6	9	32	9	0,6	10	10	0,5	12	11
3	10	0,7	10	5	1	6	10	33	5	1	5	6	0,8	4	9
4	6	0,5	6	7	0,4	10	8	34	7	0,8	4	8	0,6	6	7
5	8	0,7	5	9	0,4	10	10	35	10	0,5	6	9	0,7	5	12
6	11	0,7	4	9	0,9	3	11	36	12	0,8	6	9	1	5	12
7	15	0,4	10	12	0,7	6	11	37	9	0,8	5	11	0,6	10	10
8	10	0,5	6	12	0,3	5	11	38	12	0,8	4	11	0,9	3	12
9	9	0,7	6	11	0,5	10	12	39	8	0,6	6	10	0,4	10	10
10	6	1	5	5	1,2	4	8	40	7	0,5	5	8	0,4	6	6
11	8	0,8	5	9	0,7	6	12	41	9	0,6	10	10	0,5	12	12,5
12	10	0,7	10	5	1	6	10	42	5	1	5	6	0,8	4	9,5
13	6	0,5	6	7	0,4	10	6	43	7	0,8	4	8	0,6	6	5,5
14	8	0,7	5	9	0,4	10	7,5	44	10	0,5	6	9	0,7	5	8
15	11	0,7	4	9	0,9	3	9	45	12	0,8	6	9	1	5	10,5
16	15	0,4	10	12	0,7	6	11	46	9	0,8	5	11	0,6	10	12
17	10	1	5	11	0,9	6	10	47	12	0,5	10	10	0,8	6	11
18	15	0,6	6	10	1	5	9	48	10	0,5	6	12	0,3	5	7,5
19	12	0,8	4	11	0,9	3	6,5	49	9	0,7	6	11	0,5	10	8
20	8	0,6	6	10	0,4	10	7	50	6	1	5	5	1,2	4	3,5
21	7	0,5	5	8	0,4	6	4,5	51	8	0,8	5	9	0,7	6	5,5
22	9	0,6	10	10	0,5	12	6	52	10	0,7	10	5	1	6	6,5
23	5	1	5	6	0,8	4	4	53	6	0,5	6	7	0,4	10	4,5
24	7	0,8	4	8	0,6	6	5	54	8	0,7	5	9	0,4	10	6
25	10	0,5	6	9	0,7	5	7,5	55	11	0,7	4	9	0,9	3	4
26	12	0,8	6	9	1	5	3	56	15	0,4	10	12	0,7	6	3,5
27	9	0,8	5	11	0,6	10	6	57	10	1	5	11	0,9	6	8
28	12	0,5	10	10	0,8	6	6,5	58	15	0,6	6	10	1	5	4
29	10	0,5	6	12	0,3	5	6	59	12	0,8	4	11	0,9	3	4,5
30	9	0,7	6	11	0,5	10	6	60	8	0,6	6	10	0,4	10	6

Задание 11. Предполагается выплачивать платежи таким образом, что каждый год они увеличиваются на b рублей. Первая уплата равна R рублей. Ставка равна i%, срок выплат - n лет. Платежи и начисление процентов производятся раз в конце года. Необходимо найти современную величину и наращенную сумму данной ренты.

№	b	R	i%	n	№	b	R	i%	n	№	b	R	i%	n
1	100	1000	4	5	21	50	500	7	6	41	50	500	5	7
2	40	400	5	5	22	200	400	6	7	42	25	200	4	7
3	50	100	5	7	23	40	400	6	6	43	25	100	4	6
4	50	500	7	8	24	50	100	3	5	44	100	150	8	7
5	50	450	6	6	25	50	300	7	8	45	25	700	7	5
6	40	400	6	6	26	100	500	8	4	46	20	100	7	7
7	50	200	8	7	27	40	200	8	5	47	100	200	6	6
8	25	250	9	6	28	75	125	5	6	48	50	500	7	7
9	20	250	4	7	29	40	400	6	7	49	40	400	6	8
10	50	500	8	8	30	60	300	7	6	50	20	200	8	5
11	30	50	5	5	31	60	500	5	4	51	50	100	4	5
12	50	400	6	5	32	30	200	6	4	52	50	500	7	6
13	20	200	7	6	33	40	500	8	7	53	25	200	6	7
14	50	300	8	6	34	45	200	6	8	54	40	400	9	7
15	20	500	5	6	35	50	500	8	8	55	30	500	7	8
16	20	200	7	6	36	45	500	8	9	56	60	300	8	5
17	50	500	7	6	37	50	500	6	7	57	75	500	9	7
18	60	400	8	5	38	40	400	7	6	58	50	500	8	7
19	60	500	7	6	39	25	500	9	6	59	50	500	6	7
20	40	400	7	7	40	50	500	8	6	60	20	400	8	6

Задание 12. По условиям контракта предполагается в конце каждого года выплачивать платежи, первый из них равен R рублей, следующие платежи увеличиваются каждый раз на %. Срок - n лет, ставка процента - i% годовых. Найти современную величину и наращенную сумму ренты.

№	R		n	i%	№	R		n	i%	№	R		n	i%
1	200	20	6	4	21	500	40	6	5	41	100	10	7	6
2	100	30	7	6	22	200	25	8	7	42	200	20	8	7
3	300	40	7	8	23	300	25	7	6	43	400	20	8	10
4	400	50	6	8	24	300	10	9	9	44	500	40	7	9
5	200	15	8	11	25	350	40	6	12	45	400	30	8	8
6	300	40	7	12	26	300	40	5	7	46	400	20	6	5
7	200	30	7	9	27	500	30	5	6	47	250	25	6	8
8	200	40	6	7	28	500	50	7	6	48	100	50	7	8
9	300	20	8	7	29	200	40	5	9	49	400	40	6	8
10	300	30	4	5	30	500	50	5	7	50	400	20	5	4
11	50	10	7	8	31	300	20	6	6	51	250	20	6	8
12	400	30	5	7	32	400	30	5	7	52	500	40	6	8
13	500	40	8	7	33	450	30	7	7	53	200	30	6	9
14	600	40	6	8	34	100	40	7	9	54	500	50	7	9
15	50	50	8	8	35	450	30	8	10	55	200	10	5	9
16	500	50	7	12	36	150	15	4	10	56	400	40	6	11
17	200	20	5	12	37	300	25	8	12	57	300	30	6	11
18	500	30	6	11	38	300	40	6	12	58	600	40	7	12
19	250	50	5	8	39	450	40	8	15	59	500	50	5	10
20	500	20	6	9	40	400	15	7	8	60	450	20	8	9

Задание 13. Намечается в течение n лет увеличивать выпуск продукции на b тыс. рублей ежегодно. Базовый уровень выпуска R0 тыс. рублей. Необходимо определить современную величину ренты и суммарный стоимостный объем выпуска c начисленными по ставке % процентами.

№	n	b	R0	%	№	n	b	R0	%	№	n	b	R0	%
1	5	50	100	8	21	7	50	500	7	41	4	50	200	6
2	8	100	600	5	22	6	50	300	7	42	9	50	600	4
3	5	100	800	5	23	10	100	700	6	43	7	50	1000	8
4	10	100	900	5	24	6	100	1000	7	44	12	50	500	6
5	8	100	1000	8	25	6	500	1000	7	45	7	75	1000	9
6	5	500	1500	6	26	6	50	500	5	46	7	200	2000	7
7	7	50	1000	4	27	8	300	5000	8	47	6	50	500	6
8	6	500	5000	8	28	5	100	700	5	48	5	200	5000	6
9	4	50	800	7	29	10	200	5000	7	49	5	100	1000	6
10	10	300	8000	6	30	6	50	1000	7	50	12	250	5000	7
11	5	20	5000	3	31	6	30	5000	5	51	6	50	2000	4
12	5	25	4000	6	32	8	40	5000	5	52	6	25	2500	7
13	7	50	1000	4	33	7	40	5000	6	53	6	20	4000	6
14	8	50	4000	5	34	7	25	2500	5	54	7	25	5000	7
15	8	40	5000	7	35	6	50	4000	8	55	9	50	5000	6
16	7	40	3000	6	36	6	50	3000	5	56	8	50	2500	7
17	5	40	2000	4	37	5	40	3000	4	57	4	25	1000	5
18	4	50	2500	3	38	5	25	4000	8	58	5	45	3000	5
19	6	50	5000	5	39	5	50	5000	4	59	7	50	4000	6
20	6	50	4000	7	40	6	25	3000	7	60	7	40	2000	4

Задание 14. Имеется три годовых ренты со сроками n1, n2, n3, член каждой ренты равен R рублей, ставка i%. Необходимо объединить эти ренты в одну, при условии, что член этой ренты 3R, ставка i%. Определить срок ренты.



№	n1	n2	n3	R	i%	№	n1	n2	n3	R	i%
1	4	5	3	1000	5	31	7	5	8	500	10
2	5	7	6	2000	6	32	4	5	3	600	9
3	5	6	8	500	5	33	5	7	8	400	8
4	4	3	8	200	5	34	4	6	9	500	7
5	5	4	8	600	7	35	6	8	10	1000	9
6	4	6	9	150	8	36	4	6	9	2000	8
7	6	7	4	350	9	37	4	7	9	1500	10
8	5	8	7	400	10	38	5	6	9	2500	10
9	7	9	6	500	11	39	3	6	8	400	8
10	6	3	5	2000	12	40	9	6	4	500	9
11	5	4	7	250	15	41	5	6	9	2000	10
12	4	5	8	500	10	42	9	5	4	500	8
13	3	7	6	400	9	43	5	6	9	1000	6
14	6	7	5	600	5	44	5	4	9	2500	5
15	5	7	9	200	10	45	5	6	9	3000	10
16	8	6	5	500	7	46	8	5	6	500	6
17	4	5	9	2000	7	47	6	7	4	4000	5
18	9	5	4	1500	8	48	6	5	7	600	7
19	3	4	8	450	9	49	8	9	7	750	8
20	5	7	6	400	12	50	3	5	6	500	6
21	3	6	9	500	11	51	7	8	3	500	7
22	5	6	4	300	9	52	5	6	8	400	8
23	7	9	6	500	7	53	4	5	7	200	9
24	5	4	9	250	8	54	6	7	5	3000	7
25	5	7	6	600	6	55	4	3	8	4500	8
26	6	8	9	500	7	56	9	10	12	5000	6
27	4	3	7	250	8	57	6	7	10	150	5
28	6	8	9	450	5	58	10	6	8	250	6
29	5	6	4	500	6	59	5	7	9	450	7
30	6	7	8	450	8	60	4	6	8	500	8

Задание 15. Имеется три годовых ренты со сроками n1, n2, n3, члены рент равны R1, R2, R3 рублей, ставки i1%, i2%, i3%. Необходимо объединить эти ренты в одну, при условии, что член этой ренты R, ставка i%. Определить срок ренты.



№	n1	n2	n3	R1	R2	R3	i1%	i2%	i3%	R	i%
1	3	6	8	500	400	400	8	7	5	1000	9
2	4	7	7	400	300	500	8	7	5	1000	9
3	5	5	6	600	200	500	8	7	5	1000	9
4	6	4	5	700	800	400	8	7	5	1500	9
5	7	6	6	800	450	300	8	7	5	1500	9
6	8	7	7	900	500	500	8	7	5	1500	9
7	5	8	8	700	300	200	7	8	6	1000	8
8	6	9	9	500	400	400	7	8	5	1000	8
9	7	6	5	400	400	500	6	5	6	1000	8
10	7	5	4	500	500	600	6	5	5	1500	8
11	8	4	6	600	600	500	6	5	5	1500	8
12	6	6	8	700	500	200	8	5	5	1000	8
13	7	7	9	800	400	300	8	5	4	1000	8
14	8	8	6	400	200	400	9	5	7	750	8
15	6	5	8	200	400	500	9	5	7	1000	10
16	5	6	9	100	500	200	5	5	7	750	10
17	6	7	6	500	400	600	6	6	7	1000	10
18	7	8	8	400	500	300	6	7	5	1000	10
19	8	6	7	500	600	200	7	7	5	1000	10
20	6	7	4	200	700	100	8	9	5	800	10
21	3	7	6	200	600	800	6	5	9	1500	10
22	4	6	5	300	500	400	6	5	9	1000	10
23	5	8	4	200	400	300	6	5	9	750	10
24	6	9	7	250	500	400	6	5	9	1000	10
25	7	6	9	200	200	300	6	5	9	700	10
26	8	7	9	500	400	300	6	5	9	1000	10
27	5	5	8	450	200	300	6	5	9	750	11
28	6	6	7	500	200	300	7	10	9	700	11
29	7	6	9	400	300	200	8	10	6	800	12
30	7	7	8	800	400	500	8	11	6	1500	12

№	n1	n2	n3	R1	R2	R3	i1%	i2%	i3%	R	i%
31	8	8	5	600	500	200	8	12	6	1000	11
32	6	8	9	500	300	400	9	4	6	1000	10
33	7	9	5	400	300	200	5	4	6	800	10
34	8	4	6	800	500	600	6	4	6	1500	10
35	6	5	7	400	400	500	6	4	6	1000	9
36	5	6	8	200	400	300	6	4	6	800	8
37	6	7	9	400	300	500	3	4	6	1000	10
38	7	6	6	500	400	300	4	4	5	1000	8
39	8	7	4	500	200	300	5	4	5	800	8
40	6	8	3	500	300	200	6	4	5	700	7
41	3	7	7	500	300	200	7	5	8	800	10
42	4	8	8	200	300	400	7	6	8	800	10
43	5	9	6	800	400	500	7	6	8	1500	10
44	6	6	4	400	500	300	7	6	8	1000	10
45	7	5	6	600	500	400	7	6	8	1000	9
46	8	7	6	500	400	300	7	5	8	1000	8
47	5	8	6	500	600	400	7	5	8	1000	9
48	6	7	8	600	700	500	9	5	8	1500	8
49	7	7	9	700	800	500	8	5	8	1500	8
50	7	9	6	900	500	500	8	5	8	1500	10
51	8	3	6	500	300	400	5	5	7	1000	10
52	6	4	7	450	400	100	6	8	7	800	10
53	7	5	9	450	500	100	7	8	7	1000	9
54	8	6	8	350	600	200	6	8	7	1000	10
55	6	6	8	200	100	300	7	8	5	500	10
56	5	5	9	450	100	400	8	8	5	700	10
57	6	8	7	350	100	250	9	8	5	500	9
58	7	7	5	350	200	200	5	8	5	700	9
59	8	6	5	400	200	100	6	7	5	500	10
60	6	9	4	500	200	300	4	7	5	800	10

Задание 16. Пассажирский морской лайнер застрахован на случай кораблекрушения на сумму S млн.р. на срок n лет. Определить сумму ежегодных страховых взносов, если поцентная ставка равна i%.

№	S	n	i%	№	S	n	i%	№	S	n	i%
1	3,5	15	5	21	4	20	4	41	5	25	6
2	6	12	6,5	22	7	18	5,5	42	8	15	7
3	5	20	4,5	23	6	12	6,2	43	7	10	8
4	7	10	8	24	8	15	7	44	15	22	5
5	9	16	7	25	16	25	8	45	20	30	5,7
6	14	12	6	26	20	15	9	46	9	12	4
7	19	18	5,8	27	14	18	6,9	47	16	20	7,5
8	15	19	7,4	28	5	15	5	48	17	28	6,5
9	30	25	6,7	29	9	9	7	49	14	14	9
10	17	17	8,5	30	2	11	6	50	32	24	7,8
11	18	13	5,9	31	12	16	7,8	51	2	10	4,5
12	21	10	7,3	32	18	15	5,5	52	8,5	17	8,4
13	16	22	5	33	11	21	4,8	53	28	25	8,2
14	40	30	6	34	15	16	7	54	31	20	6,6
15	33	22	5,2	35	27	23	7,4	55	7	9	9
16	8	18	6,3	36	29	19	5,3	56	37	26	6,8
17	27	17	6,9	37	19	14	7,7	57	4	16	8,2
18	6	14	5,3	38	45	30	5	58	24	19	4,8
19	26	18	6,8	39	9	14	9,5	59	33	23	7,5
20	25	12	9	40	29	19	7,7	60	10	12	4,6



Лабораторная работа 5

Погашение задолженности

1. Цель работы

1. Формирование погасительного фонда для погашения в один срок при равных и неравных взносах и разработка планов погашения.

2. Погашение долга в рассрочку (частями): равными взносами, равными срочными уплатами при заданном сроке и при заданной срочной уплате, переменными срочными уплатами.

3. Погашение льготных займов и кредитов, расчет грант-элементов.

4. Погашение потребительского кредита и ипотечной ссуды.

5. Погашение долга при аренде оборудования.

2. Краткие теоретические сведения

1. Срочная уплата.

Займом называется любой вид долгосрочной задолженности. Долг заемщика состоит из двух частей: основного долга P и процентов I, которые начисляются на этот долг.

Периодические расходы по погашению займа Y называют срочной уплатой, при этом срочная уплата состоит из двух частей: выплат по погашению (амортизации) основного долга V и текущих процентов I: Y=V+I.

Величины срочных уплат Y зависят от условий займа: суммы основного долга P, срока займа n, продолжительности льготного периода L, уровня процентных ставок по займу g, метода погашения и уплаты процентов I.

Проценты обычно выплачиваются на протяжении всего срока займа, однако они могут и присоединяться к сумме основного долга. В течении льготного периода основная часть долга обычно не погашается, а проценты обычно выплачиваются.

Если весь срок займа разбит на n периодов k=1,...,n; то срочные уплаты Yk в периоде k соответственно будут равны: Yk=Vk+Ik, где Vk и Ik - взносы и проценты в данном периоде. В льготном периоде имеем Yk=Ik.

Сумма всех взносов за срок равный k-1 периодам представляющая собой погашенную часть основного долга на начало периода k называют накопительным фондом Wk на начало k-го периода. Остаток долга Pk на начало периода k соответственно равен Pk=P-Wk.

2. Формирование фонда для погашения в один срок

Если большой заем погашается в один срок, то для накопления суммы, достаточной для погашения займа создается погасительный фонд и разрабатывается план погашения, в котором. определяются проценты Ik , взносы Vk , срочные уплаты Yk, накопительный фонд Wk, остаток основного долга Pk, для всех периодов (k=1,...,n) в течении всего срока n. План погашения может быть представлен в виде следующих таблиц:

Таблица 1

Номер периода (k)	Выплата процентов (Ik)	Взносы в погасительный фонд (Vk)	Расходы по займу (Yk)	Накопление на конец года (Wk)

Таблица 2

Номер периода (k)	Остаток долга на начало периода (Pk)	Срочная уплата (Yk)	Выплата процентов (Ik)	Сумма погашения долга (Vk)



Планирование погасительного фонда при равных взносах. Накопление средств для погашения основного долга P в течение срока займа n осуществляется постоянными взносами Vk=V (k=1,...,n), на которые начисляются сложные проценты по ставке ic.

Если в условиях займа предусмотрена периодическая выплата процентов I по ставке g на всю сумму долга P в течение всего срока: Ik=Pg, то имеем

(2.1)

где sn,g - коэффициент наращения ренты.

Когда проценты на долг присоединяются к сумме основного долга и при этом льготный период равен L, то имеем

(2.2)

При амортизационных отчислениях на полное восстановление различных объектов стоимостью C разовые взносы в амортизационный фонд в течении срока n будут равны:

(2.3)

Планирование погасительных фондов при неравных взносах.

а) взносы Vk изменяются по закону арифметической прогрессии Vk=V+(k-1)b, k=1,...,n. Имеем



(2.4)

б) взносы изменяются по закону геометрической прогрессии со знаменателем q. Здесь взносы изменяются по закону: Vk=Vq(k-1), k=1,...,n. Имеем

(2.5)

3. Погашение долга в рассрочку

Обычно долг выплачивается отдельными платежами, распределенными по времени. Рассмотрим основные методы разработки планов погашения для таких долгов.

Погашение долга равными взносами (суммами). Если заем P погашается в течении n лет p раз в году равными взносами Vk=P/np, k=1,...,np; и при этом каждый раз на остаток долга Pk (k=1,...,np) начисляются проценты по ставке g/p, то

(2.6)

Пример. Пусть долг равный 300 тыс. руб. необходимо погасить равными взносами раз в год в течении 2 лет, при этом на остаток долга начисляются проценты по ставке 5%. Имеем P=300 тыс. руб.; n=2; p=1; g=0.05. Отсюда получаем: Vk=P/np=150000 руб., и далее по формулам (2.6) определяем накопительный фонд Wk, остаток долга Pk, проценты Ik и срочные уплаты Yk. План погашения приведен в таблице 3.

Таблица 3.

Полугодие (k)	Остаток долга на начало периода (Pk)	Срочная уплата (Yk)	Выплата процентов (Ik)	Сумма на погашение долга (Vk)
1	300000	165000	15000	150000
2	150000	157500	7500	150000

Равные срочные уплаты Y. Здесь все срочные уплаты в конце периода k (k=1,...,n) равны Yk=Y и состоят из двух частей, одна часть Vk идет на погашение остатка основного долга на начало периода k, а другая выплачивается в виде процентов Ik на этот остаток по процентной ставке g. План погашения долга P может быть разработан для двух случаев:

а) задан срок n. Имеем

(2.7)

где an,g - коэффициент приведения ренты по ставке g.

Формулы (2.7) представляют собой рекурентные соотношения, т.к. позволяют по значениям погасительных взносов за предыдущие периоды времени определить взносы, проценты, остатки долга и накопительный фонд в любом из последующих периодов. Из этих формул можно получить следующие соотношения

(2.8)

Если погасительные взносы осуществляются p раз в году, то подставляя в (2.8) вместо ставки g ставку g/p и вместо числа периодов n число np получаем

(2.9)

б) задана величина срочной уплаты Y. Если погасительные взносы выплачиваются p раз в году вместе с начисленными за срок 1/p процентами по годовой ставке g, то имеем

(2.10)

Далее по известным P, Y, и n с помощью ранее полученных формул (2.8, 2.9) определяем план погашения: срочные уплаты Vk, сумму погашенного основного долга Wk и остаток долга Pk.

в) задана первый погасительный взнос V1.

(2.11)

А далее для расчета плана погашения используем формулы (2.8, 2.9).

г) переменные срочные платежи. Если срочные уплаты Yk представляют собой геометрическую прогрессию со знаменателе q: Yk=Yqk-1 и выплачиваются p раз в году (k=1,..,np), а проценты начисляются p раз в году по ставке g в течении n лет, то имеем

(2.12)

Для вычисления взносов, процентов, остатка долга и выплаченной суммы используются рекурентные формулы (2.7), где k=1,...np; вместо срочной уплаты Yk будут иметь место срочные уплаты Yk=Yqk-1, а вместо процентной ставки g - процентная ставка gp=g/p.

4. Льготные займы и кредиты

Абсолютным грант-элементом F называется разность между суммой займа (кредита) P с процентной ставкой g и современной величиной A суммы всех срочных уплат по погашению займа, приведенных по процентной ставке ic>g, существующей в настоящей момент на финансовом рынке: F=P-A. Относительный гран-элемент f равен отношению абсолютного грант-элемента F к сумме займа P, т.е.

Обыкновенный заем. Если заем P выдан на n лет и его погашение предусматривает выплату равными срочными уплатами Y, в которых проценты начисляются по ставке g, а ставка на рынке ic, то можем записать

(2.13)

Пример. Льготный заем в сумме 10 млр. дол. выдан на 5 лет под 5% при рыночной процентной ставке 7%. Погашение осуществляется равными срочными уплатами. Имеем an,g=4,329; an,i=4,100, f=0,0529; F=529 млн. дол.

Льготный заем. Если в начале срока погашения займа n имеется льготный период L, то получаем



(2.14)

в) беспроцентный заем. При беспроцентном займе имеем g=0 и

(2.15)

5. Потребительский кредит

В потребительском кредите проценты сразу начисляются на всю сумму по простой ставке i и присоединяются к основному долгу S=P+I, (I=Pin), n - срок кредита. Общий долг равными срочными уплатами Y=S/np погашается p раз в году на протяжении всего срока, а для определения суммы взносов и процентов применяется “правило 78” (это число равно сумме порядковых номеров месяцев в году). Если кредит выдан на один год, то согласно этому правилу, в срочной уплате за первый месяц проценты составляют 12/78 часть от общей суммы процентов, во второй уплате 11/78 часть и т.д., до 1/78 части в последнем месяце. Обобщив это правило на n лет при погашениях p раз в году имеем

(2.16)

Пример. Кредит в сумме 50000 руб. выдан на два года при разовом начислении процентов про ставке 8% годовых. Погашение ежемесячное. Имеем P=50000 руб., n=2, p=12, i=0,08; Y=2416,7 руб: Q=2512=300. Далее по формулам (2.16) находим проценты Ik, погасительные взносы Vk, остаток долга Pk; (k=1,...,24) и составляем план погашения (таблица 4).

Таблица 4

Месяц	Остаток долга на начало месяца	Сумма процентов	Погашение основного долга
1	50000,0	640,0	1776,7
2	48223,3	613,3	1803,4
---	---	---	---
24	2390,0	26,7	2390,0

6. Погашение ипотечной ссуды.

Ипотечной ссудой называется распространенная финансовая операция, при которых владельцу имущества выдается ссуда под залог этого имущества, т.е., в случае не выплаты владельцем ссуды, право на имущество переходит к заимодавцу ссуды.

При погашении ипотечной ссуды необходимо знать ежемесячные расходы должника по ее погашению, а также остаток задолженности на любой момент времени. Поэтому здесь сложные проценты начисляются также ежемесячно p=12 по ставке g/12. В случае погашения ссуды равными срочными уплатами Y для срока np=nM (месяцев) имеем

(2.17)

7. Аренда оборудования.

Если стоимость оборудования на начало срока аренды равна C, на конец срока аренды остаточная стоимость оборудования равна S, весь срок аренды равен n, а процентная ставка равна g, то долг P на начало аренды будет равен: P=C-Sт, где -дисконтный множитель: =(1+g)-1. Если долг за аренду выплачивается равными срочными уплатами Y, то можем записать

(2.21)

где an,g - коэффициент приведения ренты.

Расчет взносов, остатка долга по аренде, погасительной суммы и процентов производится по формулам (2.7).

3. Задания

Задание 1. Долг в сумме D тыс. рублей выдан на n лет под g% годовых. Для его погашения единовременным платежом создается фонд. На взносы в фонд начисляются проценты по ставке i% годовых. Взносы в погасительный фонд осуществляются один раз в году. Определить ежегодные расходы должника (срочные уплаты) и общую сумму расходов на погашение долга, если: а) проценты на сумму долга периодически выплачиваются кредитору; б)проценты на долг присоединяются к основной его сумме.

	D	n	g%	i%		D	n	g%	i%		D	n	g%	i%
1	40	5	6	5	21	40	5	10	5	41	50	4	7	8
2	60	6	8	9	22	50	6	11	8	42	50	6	9	7
3	60	5	9	10	23	60	7	12	8	43	40	5	10	9
4	70	7	6	5	24	60	8	12	9	44	60	4	11	7
5	80	5	7	6	25	70	6	10	7	45	70	5	12	8
6	50	5	8	7	26	80	5	9	10	46	45	6	9	8
7	30	5	4	8	27	50	6	8	11	47	65	5	8	9
8	50	4	5	7	28	45	7	9	10	48	75	6	8	6
9	40	6	6	8	29	35	8	7	8	49	80	7	9	10
10	80	7	7	6	30	30	5	8	9	50	60	6	11	12
11	70	6	8	5	31	40	6	9	10	51	55	7	12	10
12	50	5	10	7	32	45	5	11	10	52	55	5	12	7
13	60	6	6	5	33	50	5	10	7	53	20	6	12	8
14	50	6	7	6	34	45	5	9	6	54	55	5	11	7
15	40	7	8	7	35	55	4	8	7	55	45	4	10	8
16	45	8	9	8	36	45	6	8	9	56	60	4	12	7
17	50	6	9	10	37	35	5	9	10	57	60	5	11	8
18	70	8	9,5	9	38	85	9	12	8	58	35	3	9	6
19	45	5	10	6	39	30	4	10	9	59	75	7	8	7
20	60	6	11	7	40	25	5	11	8	60	80	8	7	6,5

Задание 2. Долг в размере D тыс. рублей необходимо погасить в течение n лет. Проценты на долг начисляются по ставке g% годовых. Определить размеры ежегодных расходов (план погашения долга) и общие расходы заемщика по погашению долга, если уплаты по долгу осуществляются один раз в конце года а) равными суммами; б)равными срочными уплатами.

	D	n	g%		D	n	g%		D	n	g%
1	50	5	10	21	50	4	11	41	60	5	10
2	60	5	10	22	60	8	11	42	55	4	9
3	40	5	11	23	55	6	10	43	65	6	8
4	55	5	12	24	45	5	9	44	30	7	8
5	45	5	9	25	30	6	8	45	40	5	8
6	65	5	9	26	35	6	7	46	70	6	10
7	70	5	8	27	60	6	7	47	80	7	11
8	75	5	8	28	55	4	6	48	15	6	12
9	40	4	8	29	60	4	5	49	25	6	13
10	60	4	10	30	70	6	6	50	35	5	14
11	80	4	11	31	75	7	7	51	40	6	12
12	90	5	12	32	60	6	7	52	20	4	12
13	15	5	12	33	70	6	7	53	40	5	12
14	20	4	10	34	80	8	5	54	60	6	9
15	35	5	9	35	30	5	6	55	90	8	9
16	40	5	8	36	35	5	7	56	85	8	8
17	50	6	7	37	45	4	7	57	45	6	7
18	60	6	8	38	50	5	7	58	18	3	7
19	70	6	9	39	60	4	7	59	15	5	8
20	55	6	10	40	70	6	7	60	16	5	7



Задание 3. Заем в размере D тыс. рублей выдан на n лет по льготной ставке g% годовых. Обычная ставка для подобных займов равна i%. Определить для случая погашения займа равными срочными уплатами абсолютное и относительное значение грант-элемента.