Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле

,

где (1 + i)ⁿ - множитель наращения декурсивных сложных процентов.

Более широко распространено математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем

,

где 1/(1 + i)ⁿ - дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.

При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид

,

где j - номинальная сложная процентная ставка; 1/ - дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.

Для дисконтирования при сложной процентной ставке - при начислении процентов один раз в году - используется формула:

А при начислении процентов m раз в году формула:

При учете вексель выполняет две функции: коммерческого кредита и средства платежа.

Абсолютная величина дисконта определяется как разность между номиналом векселя и его современной стоимостью на момент проведения операции. При этом дисконтирование осуществляется по учетной ставке d, устанавливаемой банком: где

t - число дней до погашения;

d - учетная ставка банка;

P - сумма, уплаченная владельцу при учете векселя;

N - номинал;

Современная стоимость PV (ценные обязательства Р) при учете векселя по формуле:

Суть данного метода заключается в том, что проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При этом применяется учетная ставка d.

При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения называют антисипативной ставкой процентов[2]. Учетная ставка d иногда применяется и для наращивания по простым процентам. Необходимость в таком наращивании возникает при определении будущей суммы контракта, например, общей суммы векселя. Формула определения будущей величины в этом случае имеет вид:

Пример 1:

Простой вексель на сумму 100 000 с оплатой через 90 дней учитывается в банке за 60 дней до погашения. Учетная ставка банка 15 %. Определить величину дисконта в пользу банка и сумму, полученную владельцем векселя.

Disc = (100000 * 60 * 0.15) / 360 = 2500;

Соответственно, владелец векселя получит величину PV:

PV=100000 - 2500 = 97500;

Предположим, что в рассматриваемом примере владелец векселя решил учесть вексель немедленно после получения, тогда:

Disc = (100000 * 90 * 0.15) / 360 = 3750;

PV = 100000 - 3750 = 96250;

Как следует из полученного результата, при неизменном значении ставки d чем раньше производится учет векселя, тем больше будет величина дисконта в пользу банка и тем меньшую сумму получит владелец.

9. Дисконтирование: по сложной номинальной процентной ставке m раз в году, по сложной учетной ставке m раз в году

10. Непрерывные проценты: наращение, дисконтирование, связь дискретных и непрерывных процентных ставок

Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками, поскольку сила роста - универсальный показатель. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции).

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

k_н = (1 + j / m)^m = (1 + j / 365)³⁶⁵

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e ^j:

где e ? 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

FV = PV * e ^{j * n} = P * e ^{д * n}

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом д, в отличие от ставки дискретных процентов ( j ).

Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

б) ежедневно;

в) непрерывно.

Решение:

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:

начисление один раз в год

FV = 100'000 * (1 + 0,08)³ = 125'971,2 долларов;

ежедневное начисление процентов

FV = 100'000 * (1 + 0,08 / 365)^{365 * 3} = 127'121,6 долларов

непрерывное начисление процентов

FV = 100'000 * e^{0,08 * 3} = 127'124,9 долларов.

11. Расчет срока кредита:

- при наращении по сложной годовой ставке %,

- при наращении по номинальной ставке % m раз в году,

- при наращении по постоянной силе роста

В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV), наращенная или будущая величина (FV), процентная ставка (i) и время (n).

Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.

Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.

Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов.

Если срок определяется в годах, то

n = (FV - PV) : (PV * i),

а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:

t = [(FV - PV) : (PV * i)] * T.

Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

· срок ссуды:

n = [log (FV / PV)] / [log (1 + i)] = [log (FV / PV) ] / [log(1 + j / m)^m];

· ставка сложных процентов:

Пример. Что выгоднее: увеличение вклада в три раза за три года или 46% годовых?

Решение:

Такого рода задачи приходится решать не только лицам, занимающимся финансовой работой, но и населению, когда решается вопрос о том, куда выгоднее вложить деньги. В таких случаях решение сводится к определению процентной ставки:

Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более выгодно.

12.Эквивалентность простых процентных и простых учетных ставок

Эквивалентные процентные ставки - ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Процедура нахождения эквивалентных ставок:

1) Выбирается величина, которую легко рассчитать при использовании различных процентных ставок, обычно FV;

2) Приравниваются 2 выражения, то есть составляют уравнение эквивалентности;

3) Преобразуя, выражают одну процентную ставку через другую.

Пример:

i_кв=3%;

i_год-?



а) простые ставки процента, уравнение эквивалентности:

б) сложные ставки процента, уравнение эквивалентности:

Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.

Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.

Эквивалентная процентная ставка - это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.

Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:

i = (1 + j / m)^m - 1.

j = m[(1 + i)^{1 / m} - 1].

Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично - применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, - и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.

Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.

Пример. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?

Решение:

Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:

j = m[(1 + i)^{1 / m} - 1] = 2[(1 + 0,25)^1/2 - 1] = 0,23607.

Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:

j = m[(1 + i)^{1 / m} - 1] = 4[(1 + 0,25)^1/12 - 1] = 0,22523.

Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.

При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок:

простая процентная ставка:

i = [(1 + j / m)^{m * n} - 1] / n;

сложная процентная ставка:

16. Эквивалентность простых и сложных % ставок

По простой

По сложной

Уравнения эквивалентности FV_пр = FV_сл

В практической деятельности часто возникает необходимость изменения условий ранее заключенного контракта - объединение нескольких платежей или замене единовременного платежа рядом последовательных платежей. Естественно, что в таких условиях ни один из участников финансовой операции не должен терпеть убыток, вызванный изменением финансовых условий. Решение подобных задач сводится к построению уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенная к какому-то одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенному к тому же моменту времени.

Для краткосрочных контрактов консолидация осуществляется на основе простых ставок. В случае с объединением (консолидированием) нескольких платежей в один сумма заменяемых платежей, приведенных к одной и той же дате, приравнивается к новому обязательству:

FV₀ = УFV_j * (1 + i * t_j),

где t_j - временной интервал между сроками, t_j = n₀ - n_j.

Пример 6. Решено консолидировать два платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами платежа 20 тыс. руб. и 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31.05. Определить сумму консолидированного платежа при условии, что ставка равна 10% годовых.

Решение:

Определим временной интервал между сроками для первого платежа и консолидированного платежа:

t₁= 11(апрель) + 31(май) - 1 = 41 день;

для второго платежа и консолидированного платежа:

t₂ = 22(май) - 1 = 21 день.

Отсюда сумма консолидированного платежа будет равна:

FV_oб. = FV₁ * (1 + t₁ / T * i) + FV₂ * (1 + t₂ / T * i) = 20'000 * (1 + 41/360 * 0,1) + 30'000 * (1 + 21/360 * 0,1) = 50'402,78 руб.

Таким образом, консолидированный платеж со сроком 31.05 составит 50'402,78 руб.

Конечно, существуют различные возможности изменения условий финансового соглашения, и в соответствии с этим многообразие уравнений эквивалентности. Готовыми формулами невозможно охватить все случаи, возникающие в практической деятельности, но в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется похожим образом.

Если платеж FV₁ со сроком n₁ надо заменить платежом FV_об. со сроком n_об. (n_об. > n₁) при использовании сложной процентной ставки i, то уравнение эквивалентности имеет вид:

FV_об. = FV₁ * (1 + i)ⁿ_об. ^{- n}₁

Пример. Предлагается платеж в 45 тыс. руб. со сроком уплаты через 3 года заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет. Найти новую сумму платежа, исходя из процентной ставки 12 % годовых.

Решение:

Поскольку n_об. > n₁, то платеж составит:

FV_об. = FV₁ (1 + i)ⁿ_об. ^{- n}₁ = 45'000 (1 + 0,12)^{5 - 3} = 56'448 руб.

Таким образом, в новых условиях финансовой операции будет предусмотрен платеж 56'448 руб.

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 4.

Рис. 4. Наращение по простым и сложным процентам.

Как видно из рисунка 4, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом i,

если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i)ⁿ ;

если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i)ⁿ ;

если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i)ⁿ .

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

· более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

· более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

· обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

4. Потоки платежей. Финансовые ренты и их классификация

В финансовой литературе ряд распределенных во времени выплат и поступлений называется потоком платежей.

Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т. п.

Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:

· член ренты (R) - величина каждого отдельного платежа;

· период ренты (t) - временной интервал между членами ренты;

· срок ренты (n) - время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;

· процентная ставка (i) - ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента.

Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков платежей. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки:

· В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют

o годовую ренту, которые представляют собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году;

o срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так и менее года.

· По числу начислений процентов различают

o ренты с начислением 1 раз в год;

o ренты с начислением m раз в год;

o непрерывное начисление.

· По величине членов ренты могут быть

o постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, т.е. рента с равными членами;

o переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными членами.

· По числу членов ренты они бывают

o с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно и заранее известно;

o с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не известно.

· По вероятности выплаты ренты делятся на

o верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий, например, погашение кредита;

o условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного события.

· По методу выплаты платежей выделяют

o обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, - с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо);

o ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).

Под потоком платежей понимается некоторая последовательность платежей во времени (Cash Flow).

Потоки могут быть:

§ Регулярные;

§ Нерегулярные.

Элементами нерегулярного потока являются как положительные поступления, так и отрицательные выплаты, а соответствующие платежи могут производиться через различные интервалы времени.

Финансовая рента (аннуитет) - поток одинаковых платежей, все элементы которых положительные величины, а временные интервалы между платежами - одинаковы.

Характеристики ренты:

§ Размер платежа (Payment - PMT);

§ Период ренты;

§ Срок ренты;

§ Процентная ставка.



По моменту выплаты в пределах периода между платежами ренты делятся:

a) Постнумерандо - выплаты в конце периода;

b) Пренумерандо - выплаты в начале периода;

c) В середине периода.

Расчет наращенной суммы постоянной годовой ренты постнумерандо при начислении % один раз в год

Получатели поступлений оценивают свой доход суммарной величиной за полный срок действия платежа, разумеется, с учетом временной неравноценности денег.

Наращенная сумма - сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.

Рис. 7. Логика финансовой операции наращения финансовой ренты

Наращенные отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 + i).

Рассмотрим определение наращенной суммы на примере наиболее простого случая, - годовой постоянной обычной ренты:

где FVA - наращенная сумма ренты;

R - размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;

i - годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;

n - срок ренты в годах,

s _n;i - коэффициент наращения ренты.

Пример. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

Решение:

Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.

Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

Расчет современной стоимости постоянной годовой ренты постнумерандо при начислении % один раз в год.

Помимо наращенной суммы обобщающей характеристикой потока платежей является современная величина. Современная (текущая) величина потока платежей (капитализированная или приведенная величина) - это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов. Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п. Данная характеристика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить указанную наращенную сумму.

Рис. 8. Логика финансовой операции определения современной величины потока платежей

В этом случае реализуется схема дисконтирования: все элементы с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, что позволяет их суммировать.

В простейшем случае, для годовой обычной ренты с выплатами в конце каждого года, когда момент оценки совпадает с началом ренты, современная величина финансовой ренты равна:

Дробь в формуле - коэффициент приведения ренты (a_n;i), значения которого табулированы для широкого круга значений, поскольку зависят от ставки процентов (i) и от числа лет (n)

Пример. Определить по данным примера современную величину ренты.

Решение:

Современная величина ренты составит:

Таким образом, все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент в размере 1'217,78 руб.

Расчет наращенной суммы постоянной p-срочной ренты постнумерандо при начислении % m раз в год (p=m)

Бывают случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в год равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году. Тогда наращенная величина ренты будет определяться по формуле:

Также нередки случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в году и начисление процентов также происходит несколько раз в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p ? m. Тогда формула по которой можно определить наращенную величину финансовой ренты примет вид:

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки.

Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i) раз.

Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентом один раз в год формула примет вид:

Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов несколько раз в год:

Расчет современной стоимости постоянной p-срочной ренты постнумерандо при начислении % m раз в год (p=m).

Рассмотрим расчет современной величины ренты для различных ее видов:

· годовая рента с начислением процентов несколько раз в год:

· срочная рента при начислении процентов один раз в год:

· срочная рента с неоднократным начислением процентов в течение года, при условии, что число выплат не равно числе начислений, т.е. p ? m :

Определение размера очередного платежа постоянной финансовой ренты постнумерандо (p=m=1)

Последовательные платежи в виде постоянной обычной годовой ренты определяются основными параметрами:

R - размер платежа;

n - срок ренты в годах;

i - годовая ставка процентов.

Однако при разработке условий финансовой операции могут возникать ситуации, когда заданной величиной является одна из двух обобщающих характеристик и неполный набор параметров ренты. В таких случаях находят недостающий параметр.

При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной:

а) наращенная сумма. Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем (FVA), тогда величину последующих взносов в течение n лет при начислении на них процентов по ставке i можно определить по формуле:

Пример. Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 50 тыс. руб. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%.

Решение:

В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен:

Таким образом, чтобы накопить на счете необходимую сумму для покупки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 4'568 руб.

б) современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:

Пример. Сумма 10 тыс. долларов предоставлена в долг на 5 лет под 8% годовых. Определить ежегодную сумму погашения долга.

Решение:

Известна современная величина долга, отсюда:

Таким образом, ежегодно необходимо будет возвращать сумму 2'504,56 руб.

Можно произвести проверку: сумма долга с начисленными на нее процентами к концу пятого года будет составлять:

FV = 10'000 * (1 + 0,08)⁵ = 14'693,28 руб.

Наращенная сумма для потока платежей размером 2504,56 руб. составит:

Следовательно, величина члена финансовой ренты определена верно. Незначительное расхождение вызвано округлением расчетов.

Современная величина ренты пренумерандо рассчитывается путем умножения современной величины обычной ренты на соответствующий множитель наращения.

5. Метод расчета нормы рентабельности инвестиций

Анализ эффективности инвестиционных проектов в условиях инфляции

Ставка процентов не является застывшей на вечные времена величиной, поэтому в финансовых операциях, в силу тех или иных причин, предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. Например, наличие инфляции вынуждает собственника денег периодически варьировать процентной ставкой. В таких случаях наращенную сумму определяют, используя следующую формулу:

FV = PV * (1 + n₁ * i₁ + n₂ * i₂ + … + n_k * i_k),

где k - количество периодов начисления;

n_k - продолжительность k-го периода;

i_k - ставка процентов в k-ом периоде.

Инфляция - это экономическое явление, которое возникает вследствие целого комплекса как политических, так и социально-экономических событий. Уровень инфляции выступает обобщающим показателем финансово-экономического положения страны. Инфляция - устойчивый рост среднего уровня цен на товары и услуги в экономике. Инфляция - многомерное и многоаспектное явление, которое можно классифицировать на основе различных критериев. Внешним проявлением инфляции является повышение общего уровня цен, т.е. совокупный рост цен на товары и услуги в течение длительного времени. Соответственно на денежную единицу приходится меньше товаров, т.е. деньги обесцениваются.

Если наблюдается общее снижение цен, то происходит дефляция.

Темпы инфляции определяются с помощью индекса - относительного показателя, характеризующего среднее изменения уровня цен некоторого фиксированного набора товаров и услуг за данный период времени.

Индекс инфляции показывает во сколько раз выросли цены (J_ф), а уровень инфляции показывает, насколько процентов возросли цены (ф), т.е. по своей сути это соответственно темп роста и темп прироста:

J_ф = 1 + ф

Для оценки уровня инфляции используется система индексов цен.

Индекс потребительских цен (ИПЦ) - это показатель международной статистики, регулярно использующийся практически во всех странах мира (CPI - Consumer Price Index), который характеризует динамику затрат на постоянный набор товаров и услуг за счет ценностного фактора.

Индекс потребительских цен дает достаточно обобщенную характеристику инфляции, так как потребление является завершающим этапом в создании валового продукта, и здесь находят свое отражение все предыдущие стадии производства.

Расчет ИПЦ в России осуществляется за каждый месяц и нарастающим итогом с начала года (к декабрю прошлого года).

Отечественные исследователи часто расценивают уровень инфляции как темп прироста потребительских цен:

ф = ИПЦ - 100 (%)

В зависимости от уровня инфляции в год выделяют:

· нормальную (ползучую) - от 3% до 10%;

· галопирующую - от 10% до 100%;

· гиперинфляцию - свыше 50% в месяц.

Еще одним важным показателем международной статистики, оценивающим инфляцию, является дефлятор валового внутреннего продукта, который характеризует изменение стоимостного объема ВВП за счет его ценностного фактора. Дефлятор ВВП также дает обобщенную характеристику инфляции, поскольку характеризует движение цен на потребительском рынке, а также на рынке инвестиционных товаров и услуг.

Для характеристики инфляции могут применяться и другие показатели: размер эмиссий, сокращение товарных запасов и т.п.

Инфляция противодействует повышению стоимости денег, обесценивая их. Графически это представлено на рис. 9.

Рис. 9. Факторы изменения стоимости денег

Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги. Таким образом, формула для исчисления наращенной суммы с учетом влияния инфляции, принимает следующий вид:

FV = PV(1 + i)ⁿ / (1 + ф) ⁿ

Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.

Поскольку ставка доходности ( i ) является фактором роста денег, то находится в числителе формулы, а показатель инфляции ( ф ) является фактором их обесценивания, поэтому находится в знаменателе формулы.

Пример. Пусть ежемесячный уровень инфляции 2,5%. Определить ожидаемый уровень инфляции за квартал.

Решение:

Индекс инфляции за месяц

J_ф = 1 + ф = 1 + 0,025 = 1,025

Индекс инфляции за квартал, т.е. за три месяца

J_ф = (1 + ф)³ = 1,025³ = 1,077

Уровень инфляции за квартал

ф = J_ф - 1 = 1,077 - 1 = 0,077

Следовательно, ожидаемый квартальный уровень инфляции составит 7,7%.

Показатели финансовой операции могут быть представлены, как:

· номинальные, т.е. рассчитанные в текущих ценах;

· реальные, т.е. учитывающие влияние инфляции, и рассчитанные в сопоставимых ценах базисного периода.

Пример. Определить реальные результаты вкладной операции для суммы 5'000 руб., размещенной на полгода под 8% годовых, если ежемесячный уровень инфляции составляет 2%.

Решение:

Наращенная сумма вклада

FV = PV(1 + ni) = 5'000 (1 + 0,5 * 0,08) = 5'200,00 руб.

Индекс инфляции за срок хранения вклада составит

J_ф = (1 + 0,02)⁶ = 1,126

Реальная сумма вклада

FV_ф = 5'200 / 1,126 = 4'618,11 руб.

Следовательно, наращенная величина по своей покупательной способности с учетом инфляции будет соответствовать сумме 4'618,11 руб., т.е. меньше первоначальной суммы.

Методы учета инфляции в финансовых расчетах

Владельцы денег не могут мириться с их обесцениванием в результате инфляции и предпринимают различные попытки компенсации потерь от снижения их покупательной способности.

Наиболее распространенным методом является индексация ставки процентов, по которой производится наращение, поскольку:

· если уровень инфляции равен ставке начисляемых процентов (ф = i), то реального роста денежных сумм не будет, т.к. наращение будет полностью поглощаться инфляцией;

· если уровень инфляции выше уровня процентной ставки (ф > i),то происходит "проедание" капитала, и реальная наращенная сумма будет меньше первоначальной денежной суммы;

· если уровень инфляции ниже процентной ставки (ф < i), то это будет соответствовать росту реальной денежной суммы.

В связи с этим вводится понятие номинальная ставка процента, т.е. ставки с поправкой на инфляцию ( i_ф ).

Общая формула для определения простой ставки процентов, компенсирующей ожидаемую инфляцию, имеет следующий вид:

i_ф = [(1 + n i) * J_ф - 1] : n

где i - простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка);

i_ф - процентная ставка с поправкой на инфляцию.

Пример. Банк выдал клиенту кредит на один год в размере 20 тыс. руб. по ставке 6% годовых. Уровень инфляции за год составил 18%. Определить с учетом инфляции реальную ставку процентов по кредиту, погашаемую сумму и сумму процентов за кредит.

Решение:

Номинальная наращенная сумма

FV = PV(1 + n i) = 20'000 (1 + 0,06) = 21'200,00 руб.

Номинальные начисленные проценты

I = FV - PV = 21'200 - 20'000 = 1'200,00 руб.

Реальная наращенная сумма

FV_ф = FV / (1 + ф ) = 21'200 / 1,18 = 17'966,10 руб.

Реальные проценты

I_ф = FV_ф - PV = 17'966,10 - 20'000 = -2'033,90 руб.

Таким образом, получен убыток от данной финансовой операции в размере 2'033,90 руб.

Ставка по кредиту с учетом инфляции должна быть равна

i_ф = [(1 + n i) * I_ф - 1] : n = (1,06 * 1,18 - 1) / 1 = 0,2508

Наращенная сумма

FV = PV(1 + n i) = 20'000 (1 + 0,2508) = 25'016,00 руб.

Доход банка

I = FV - PV = 25'016 - 20'000 = 5'016,00 руб.

Реальный доход банка

I_ф = FV_ф - PV = 25'016 / 1,18 - 20'000 = 1'200,00 руб.

Реальная доходность финансовой операции

i = I_ф / PV = 1'200 / 20'000 = 0,06

Таким образом, чтобы обеспечить доходность в размере 6% годовых, ставка по кредиту с учетом инфляции должна соответствовать 25,1% годовым.

Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле

i_ф = i + ф + iф

Пример. Определить номинальную ставку процентов для финансовой операции, если уровень эффективности должен составлять 7% годовых, а годовой уровень инфляции 22%.

Решение:

Процентная ставка с учетом инфляции

i_ф = i + ф + iф = 0,07 + 0,22 + 0,07 * 0,22 = 0,3054.

Таким образом, номинальная ставка составляет 30,54% при реальной ставке 7%.

Для расчета номинальной ставки можно использовать следующую модель:

из которой можно сравнивать уровни процентной ставки и инфляции, проводить анализ эффективности вложений и устанавливать реальный прирост вложенного капитала.

При начислении процентов несколько раз в год

Эти модели позволяют производить учет инфляции и корректировку процентных ставок.

На практике довольно часто довольствуются сравнением i и ф путем вычисления реальной ставки, т.е. уменьшенной ставки доходности на уровень инфляции:

i = (i - ф) / (1 + ф)

Пример. Определить реальную ставку при размещении средств на год под 35% годовых, если уровень инфляции за год составляет 30%.

Решение:

Определяем реальную ставку:

i = (0,35 - 0,2) / (1 + 0,2) = 0,125

Таким образом, реальная ставка 12,5% годовых.

Вывод

Основные категории, используемые в финансово-экономических расчетах

В финансовой математике широко представлены все виды статистических показателей: абсолютные, относительные и средние величины.

Процентные деньги или просто проценты в финансовых расчетах представляют собой абсолютную величину дохода (приращение денег) от предоставления денег в долг в любой его форме (причем эта финансовая операция может реально и не состояться):

· выдача денежной ссуды;

· продажа в кредит;

· сдача в аренду;

· депозитный счет;

· учет векселя;

· покупка облигаций и т.п.

Таким образом, проценты можно рассматривать как абсолютную "цену долга", которую уплачивают за пользование денежными средствами.

Абсолютные показатели чаще всего не подходят для сравнения и оценки ввиду их несопоставимости в пространстве и во времени. Поэтому в финансово-коммерческих расчетах широко пользуются относительными показателями.

Относительный показатель, характеризующий интенсивность начисления процентов за единицу времени, - процентная ставка. Методика расчета проста: отношение суммы процентных денег, выплачивающихся за определенный период времени, к величине ссуды. Этот показатель выражается либо в долях единицы, либо в процентах. Таким образом, процентная ставка показывает, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование в течение определенного периода времени 100 единицами первоначальной суммы долга.

Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. за фиксированные одинаковые интервалы времени, которые носят название "период начисления", - это отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов. Обычные или декурсивные (postnumerando) проценты начисляются в конце периода. В качестве единицы периода времени в финансовых расчетах принят год, однако это не исключает использования периода менее года: полугодие, квартал, месяц, день,час.

Рис. 1. Период начисления процентов

Период времени от начала финансовой операции до ее окончании называется сроком финансовой операции.

Для рассмотрения формул, необходимо ввести ряд условных обозначений:

I - проценты за весь срок ссуды (interest);

PV - первоначальная сумма долга или современная (текущая) стоимость (present value);

i - ставка процентов за период (interest rate);

FV - наращенная сумма или будущая стоимость (future value), т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу срока ссуды;

n - срок ссуды в годах.

После начисления процентов возможно два пути:

· либо их сразу выплачивать, по мере их начисления,

· либо отдать потом, вместе с основной суммой долга.

Увеличение суммы долга в связи с присоединением к ней процентных денег называется наращением, а увеличенная сумма - наращенной суммой. Отсюда можно выделить еще один относительный показатель, который называется коэффициент наращения или множитель наращения, - это отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга. Коэффициент наращения показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы долга, т.е. по существу является базисным темпом роста.

Основу коммерческих вычислений составляют ссудо-заемные операции, в которых проявляется ярче всего необходимость учета временной ценности денег. Несмотря на то, что в основе таких расчетов заложены простейшие на первый взгляд схемы начисления процентов, эти расчеты многообразны ввиду многообразия условий финансовых контрактов в отношении частоты и способов начисления процентов, а также вариантов предоставления и погашения ссуд.

Существуют различные способы начисления процентов и соответствующие им виды процентных ставок.

6. Индекс цен Пааше и Ласпейреса

В экономике в условиях рыночных отношений особое место среди индексов качественных показателей отводится индексу потребительских цен. С его помощью осуществляется оценка динамики цен и пересчет важнейших стоимостных показателей системы национальных счетов.

Рассмотрим принцип построения агрегатных индексов качественных показателей на примере индекса цен.

Индекс цен -

Если нам небходимо выявить изменения цен на различные продукты и товары или количества товаров и продуктов, то необходимо привести определенное количество товаров и продуктов по определенным ценам к общей стоимости. Для этого мы должны соизмерить "вес" каждого элемента (будь то цена или кол-во товара).

При отражении изменения цен на товары в качестве весов будет выступать количество товара. Если же необходимо отразить изменение количества товаров, то в роли "весов" будут выступать цены. Но возникает проблема: на уровне какого периода зафиксировать веса (базисного или отчетного).

Существует два способа расчета индексов цен: индесы цен Пааше и Лайспейреса.

Индекс цен Ласпейреса

Данный способ предлагает использование весов базисного периода . Впервые был введен в 1864 году экономистом Э.Ласпейресом.

-- стоимость продукции реализованной в базисном (предыдущем) периоде по ценам отчетного периода

-- фактическая стоимость продукции в базисном периоде

Экономическое содержание

Индекс цен Ласпейреса показывает, на сколько изменились цены в отчетном периоде по сравнению с базисным, но на товары реализованные в базисном периоде. Иначе говоря индекс цен Ласпейреса показывает во сколько товары базисного периода подорожали или подешевели из-за изменения цен в отчетном периоде.

Индекс цен Пааше

Индекс цен Пааше -- это агрегатный индекс цен с весами (количество реализованного товара) в отчетном периоде.

-- фактическая стоимость продукции отчетного периода

-- стоимость товаров реализованных в отчетном периоде по ценам базисного периода

Экономическое содержание

Индекс цен Пааше характеризует изменение цен отчетного периода по сравнению с базисным по товарам, реализованным в отчетном периоде. То есть индекс цен Пааше показывает на сколько подешевели или подорожали товары.

Значения индексов цена Пааше и Ласпейреса для одних и тех же данных не совпадают, так как имеют разное экономическое содержание и следовательно применяются в разных ситуациях.

В отечественной статистике до перехода к рыночным отношениям отдавали предпочтение индексу цен Пааше. Но из-за особенностей расчета начиная с 1991 года вычисление общего уровня цен на товары и услуги начали проводить по формуле Ласпейреса. Связано это с тем что во время инфляции или экономических кризисов многие товары могут выпасть из потребления. При исчислении по формуле Пааше не учитываются товары спрос на которые упал, поэтому при исчислении индекса цен по формуле Пааше небходим частый перерасчет информации для формировании правильной системы весов. В связи с этим и в международной практике прибегли к расчету индексов цен по формуле Ласпейреса.

Идеальный индекс цен Фишера

Представляет собой среднюю геометрическую из произведений двух агрегатных индексов цен Ласпейреса и Пааше:

Идеальность заключается в том, что индекс является обратимым во времени, то есть при перестановке базисного и отчетного периодов получается обратный индекс (величина обратная величине первоначального индекса).

Индекс цен Фишера лишен какого-либо экономического содержания. В силу сложности расчета и трудности экономической интерпретации ипользуется довольно редко (например при исчислении индексов цен за длительный период времени для сглаживания значительных изменений).

P/S/См. почитать:Статистические методы: мода, медиана, средние (средняя ариметическая, геометрическая), показатели вариации.

Блок заданий:

Теоретическая и практическая база для решения задач

Основные критерии эффективности инвестиционного проекта и методы их оценки

1.Общая характеристика методов оценки эффективности

Международная практика оценки эффективности инвестиций существенно базируется на концепции временной стоимости денег и основана на следующих принципах:

1. Оценка эффективности использования инвестируемого капитала производится путем сопоставления денежного потока (cash flow), который формируется в процессе реализации инвестиционного проекта и исходной инвестиции. Проект признается эффективным, если обеспечивается возврат исходной суммы инвестиций и требуемая доходность для инвесторов, предоставивших капитал.

2. Инвестируемый капитал равно как и денежный поток приводится к настоящему времени или к определенному расчетному году (который как правило предшествует началу реализации проекта).

3. Процесс дисконтирования капитальных вложений и денежных потоков производится по различным ставкам дисконта, которые определяются в зависимости от особенностей инвестиционных проектов. При определении ставки дисконта учитываются структура инвестиций и стоимость отдельных составляющих капитала.

Суть всех методов оценки базируется на следующей простой схеме: Исходные инвестиции при реализации какого-либо проекта генерируют денежный поток CF₁, CF₂, ... , CF_n. Инвестиции признаются эффективными, если этот поток достаточен для

· возврата исходной суммы капитальных вложений и

· обеспечения требуемой отдачи на вложенный капитал.

Наиболее распространены следующие показатели эффективности капитальных вложений:

· дисконтированный срок окупаемости (DPB);

· чистое современное значение инвестиционного проекта (NPV);

· внутренняя норма прибыльности (доходности, рентабельности) (IRR).

Данные показатели, равно как и соответствующие им методы, используются в двух вариантах:

· для определения эффективности независимых инвестиционных проектов (так называемая абсолютная эффективность), когда делается вывод о том принять проект или отклонить;

· для определения эффективности взаимоисключающих друг друга проектов (сравнительная эффективность), когда делается вывод о том, какой проект принять из нескольких альтернативных.

2.Метод дисконтированного периода окупаемости

Пример 1. Пусть оба проекта предполагают одинаковый объем инвестиций $1,000 и рассчитаны на четыре года.

Проект А генерирует следующие денежные потоки : по годам 500, 400, 300, 100, а проект В - 100, 300, 400, 600. Стоимость капитала проекта оценена на уровне 10%. Расчет дисконтированного срока осуществите с помощью следующих таблиц.

Таблица1. Проект А

Год	0	1	2	3	4
Чистый денежный поток (ЧДП)	-1,000	500	400	300	100
Дисконтированный ЧДП	-1,000	455	331	225	68
Накопленный дисконтированный ЧДП	-1,000	-545	-214	11	79

Во третьей строке таблицы помещены дисконтированные значения денежных доходов предприятия в следствии реализации инвестиционного проекта. В данном случае уместно рассмотреть следующую интерпретацию дисконтирования: приведение денежной суммы к настоящему моменту времени соответствует выделению из этой суммы той ее части, которая соответствует доходу инвестора, который предоставляется ему за то, что он предоставил свой капитал. Таким образом, оставшаяся часть денежного потока призвана покрыть исходный объем инвестиции. В четвертой строке таблицы содержатся значения непокрытой части исходной инвестиции. С течением времени величина непокрытой части уменьшается. Так, к концу второго года непокрытыми остаются только $214, и поскольку дисконтированной значение денежного потока в третьем году составляет $225, становится ясным, что период покрытия инвестиции составляет два полных года и какую-то часть года. Более конкретно для проекта получим:

. Аналогично для второго проекта расчетная таблица и расчет дисконтированного периода окупаемости имеют следующий вид.

Таблица 2. Проект В.

Год	0	1	2	3	4
Чистый денежный поток (ЧДП)	-1,000	100	300	400	600
Дисконтированный ЧДП	-1,000	91	248	301	410
Накопленный дисконтированный ЧДП	-1,000	-909	-661	-360	50

.

На основе результатов расчетов делается вывод о том, что проект А лучше, поскольку он имеет меньший дисконтированный период окупаемости.

Существенным недостатком метода дисконтированного периода окупаемости является то, что он учитывает только начальные денежные потоки, именно те потоки, которые укладываются в период окупаемости. Все последующие денежные потоки не принимаются во внимание в расчетной схеме. Так, если бы в рамках второго проекта в последний год поток составил, например $1000, то результат расчета дисконтированного периода окупаемости не изменился бы, хотя совершенно очевидно, что проект станет в этом случае гораздо более привлекательным.

3. Метод чистого современного значения (NPV - метод)

Этот метод основан на использовании понятия чистого современного значения (Net Present Value)

,

где CF_i - чистый денежный поток,

r - стоимость капитала, привлеченного для инвестиционного проекта.