695

580

16,2

37,3

46,6

38,8

15,1

27,4

30,9

29,5

44,7

37,2

38,9

28,6

18,2

39,0

37,8

36,6

26,7

29,0

40,0

36,5

Для выявления зависимости между объемами розничного товарооборота и уровнем издержек обращения:

Сгруппируйте торговые организации по объему реализованной продукции, образовав пять групп с равными интервалами.

По каждой группе и в целом по совокупности торговых организаций подсчитайте:

а) число торговых организаций;

б) объем реализованной продукции;

в) сумму издержек обращения.

Сначала вычислим величину интервала группированного признака (объем реализованной продукции).

i=

где x max - наибольшее значение признака.

x min - наименьшее значение признака.

n - число образуемых групп.

Для нашего примера величина интервала равна:

i= (тыс.сом)

Обозначим границы групп:

200-325 - первая группа

325-450 - вторая группа

450-575 - третья группа

575-700 - четвертая группа

700-825 - пятая группа

По каждой группе надо подсчитать число торговых организаций, объем реализованной продукции и издержки обращения.

Результаты необходимо первоначально занести в рабочую таблицу.

Групповые показатели рабочей таблицы занесем в итоговую таблицу (аналитическую).

Итоговая таблица

Группы № п/п	Группы торговых организаций по объему реализованной продукции, тыс. сом	Количество торговых организаций	Объем реализованной продукции, тыс. сом	Издержки обращения, тыс. сом
А	Б	1	2	3
1 2 3 4 5	200-325 325-450 450-575 575-700 700-825	3 4 6 5 20	723 1559 3138 3172 1561	49,5 120,8 202,8 197,5 84,4
	итого	20	10153	655

Сравнивая графы 2 и 4, видим, что с увеличением объема реализованной продукции растут издержки обращения. Следовательно, между изучаемыми признаками имеется прямая зависимость.

Задача 2. Необходимо произвести перегруппировку данных. Образовав новые группы с интервалами до 500, 500-1000, 1000-2000, 2000-3000, 3000 сом и выше по данным распределения персонала фирмы по уровню дохода.

Распределение работников фирмы по уровню дохода (сом).

№ группы	Группы работников по уровню дохода, сом.	Число работников, чел.
1 2 3 4 5 6	До 400 400-1000 1000-1800 1800-3000 3000-4000 4000 и более	16 20 44 74 37 9
	Итого	200

В первую новую группу войдет полностью первая группа сотрудников и часть второй группы, чтобы образовать группу до 500 сом. Необходимо от интервала второй группы взять 100 сом. Величина интервала этой группы составит 600 сом. Следовательно, необходимо взять от нее 1:6 (100:600) часть. Аналогичную же часть во вновь образуемую новую группу надо взять и от численности работников, т.е. 20*1/60=3 человека. Тогда в первой группе будет работающих 16+3=19 человек.

Вторую новую группу образуют работники второй группы за вычетом отнесенных к первой, т.е. 20-3=17 человек. Во вновь образованную третью группу войдут все работники третьей группы и часть работников четвертой группы. Для определения этой части от интервала 1800-3000 (ширина интервала 1200 человек).

Нужно добавить к предыдущему 200 человек (чтобы верхняя граница интервала была равна 200 руб.). Следовательно, необходимо взять часть интервала, равную 200:1200, т.е. 1:6.

В этой группе 74 человека, значит надо взять 74*(1:6)=12 человек. В третью новую группу войдет: 44+12=56 человек.

Во вновь образованную четвертую группу войдет 74-12=62 человека, оставшихся от прежней четвертой группы. Пятую вновь образованную группу составят работающие пятый и шестой прежних групп: 37+9=46 человек.

По результатам перегруппировки получены следующие данные:

№ группы	Группы работников по уровню дохода, сом.	Число работников, чел.
1 до 500 19 2 500-1000 17 3 1000-2000 56 4 2000-3000 62 5 3000 и более 46
Итого 200

Модуль №1. Задания для контрольной работы

Теоретический вопрос: Стадии статистического исследования, сводка и группировка.

Задача: За отчетный период имеются следующие данные о розничном товарообороте и издержках обращения по торговым организациям.

Торговые организации № п\п	Объем розничного товарооборота, тыс. сом	Издержки обращения, тыс. сом
1	200	16,2
2	590	37,3
3	825	46,6
4	463	38,8
5	245	15,1
6	392	27,4
7	511	30,9
8	404	29,5
9	642	44,7
10	425	37,2
11	570	38,9
12	472	28,6
13	278	18,2
14	665	39,0
15	736	37,8
16	562	36,6
17	338	26,7
18	560	29,0
19	695	40,0
20	580	36,5

Для выявления зависимости между объемом розничного товарооборота и уровнем издержек обращения:

сгруппируйте магазины по размеру розничного товарооборота, образовав пять групп с равными интервалами.

По каждой группе и в целом по совокупности магазинов подсчитайте:

число торговых организаций;

объем розничного товарооборота - всего и в среднем;

сумму издержек обращения - всего и в среднем;

средний объем розничного товарооборота;

моду;

медиану.

Тема №4. Абсолютные, относительные, средние величины

Абсолютные величины

Относительные величины

Средние величины

а) сущность средних

б) виды средних

в) способы исчисления

г) мода и медиана

Литература:

Общая теория статистики под редакцией Ефимова М.Р. Москва Инфра М 1998 г.

Общая теория статистики под редакцией Виноградова Н.М. М, Статистика 1998 г.

Общая теория статистики под редакцией Рябушкина, М, Статистика 1995 г.

1. Абсолютные величины

В результате статистического наблюдения получают данные о значениях тех или иных признаков, которые характеризуют каждую единицу совокупности.

Для характеристики всей совокупности данные по отдельным единицам сводят и получают обобщающие показатели.

Единицы измерения:

натуральные

комбинированные

условно-натуральные

стоимостные

Натуральные применяются, когда единицы измерения соответствуют потребительским свойствам продукта. Пример: цемент в тоннах, ткани в метрах.

Комбинированные применяются в тех случаях когда 1 ед. измерения не дает полной характеристики изучаемому показателю.

Условно-натуральные - различные виды продукции обладают потребительской стоимостью.

Стоимостные - для обобщения показателей, когда надо определить сводные данные.

2. Абсолютные величины

Различают 2 вида абсолютных величин индивидуальные и суммарные.

Индивидуальными называют абсолютные величины, характеризующие размеры отдельных единиц совокупности (пример: количество деталей изготовленные одним работником, количество детей в отдельной семье). Они получаются непосредственно в процессе статистического наблюдения и финансируются в первичных документах.

Суммарные абсолютные величины получаются как правило, путем суммирования отдельных индивидуальных величин. Пример: перепись населения - получают итоговые абсолютные данные о численности населения.

Для определения абсолютной величины используются следующие единицы измерения:

натуральные

комбинированные

условно-натуральные

стоимостные

Натуральные характеризуют явления в натуральной форме и выражаются в мерах длины, веса, объема и т.п. или количеством единиц. Пример: урожай в тоннах, производство тракторов в шт., или суммарной мощностью лошадиных силах.

Комбинированные используются 2 вида натуральных единиц, чел. час - затраты труда, Электроэнергия - киловатт час, грузооборот - тонно-километры.

Условно-натуральнные - когда различные виды продукции обладают одной потребительской стоимостью, - т.е. удовлетворяют одну и ту же потребность ( газ, уголь, нефть - потребность в топливе - условно-натуральное топливо; условную - банку в консервной промышленности).

Стоимостные применяются когда натуральные не позволяют получать суммарные абсолютные показатели. Стоимостные единицы измерения характеризуют стоимость определенной продукции или объем выполненных работ. Стоимостные показатели определяются расчетным путем.

Абсолютные статистические показатели могут быть измерены с различной степенью точности. С переходом к более высоким ступеням обобщения применяются и более крупные единицы измерения. Пример: производство станков на предприятии учитываются в шт., а в масштабах машиностроения - млн. шт.

Соблюдение одноименных единиц измерения исследуемых показателей является важным исходным условием при международных сравнениях. Вместе с тем одноименные единицы измерения объем производства однотипной продукции в разных странах могут быть неодинаковыми по величине и методологии учета. Так в России, СНГ выпуск кирпича учитывается в шт. стандартного размера 250*120*65 мм., а в США - 193*92*57. Поэтому 1 млн. штук кирпича в США будет соответствовать 519 тыс. шт. Поэтому при подготовке статистических справочников случаи несопоставимости данных различных стран должны быть учтены.

статистический наблюдение сводка исчисление

3. Относительные величины

Абсолютные величины играют большую роль в системе статистических показателей. Однако в ряде случаев абсолютные величины недостаточно для выяснения характерных черт изучаемых явлений и в таких случаях их дополняют относительными величинами и средними. Пример: для сравнения уровня экономического развития отдельных стран нельзя использовать только абсолютные величины объема производства продукции, для этого надо использовать показатель производство продукции на 1 душу населения - это относительные величины.

Относительные величины получают в результате сравнения двух сопоставимых статистических величин.

Относительные величины исчисляются как отношение двух чисел. При этом числитель называется сравниваемой величиной, а знаменатель - базой относительного сравнения.

В зависимости от характера изучаемого явления базисная величина может быть принята за единицу или за 100. Если будет единица, то относительная величина выражается числом, показывающим во сколько раз одна величина больше другой и называют ее коэффициентом.

Если базисное число принято за 100, тогда относительная величина выражается в %. Пример: производство продукции в 1992 г. увеличилась по сравнению с 1990 г. в 1,03 раза; производительность труда увеличилась на 2,5% и составила в 1992 г. 102,3%.

При расчете относительных величин, у которых численность значительно меньше знаменателя, целесообразно принимать базовую величину за 1000, относительные величины - в промиллях. Пример: на 1000 человек населения в 1992 г. приходилось 395 врачей или 395 %о.

Относительные величины подразделяются по своему содержанию на следующие виды: динамики, планового задания, выполнения плана, структуры, координации, интенсивности и сравнения.

а) относительные величины динамики - темпами роста - называются показатели, характеризующие изменение величины общественных явлений во времени. Для расчета относительной величины динамики необходимо вычислить отношения двух объемов, имевших место в разные периоды времени. Пример: если завод выпустил станков 700 штук в 1992 г., а в 1993 - 770 штук, то относительная величина динамики составит 1,1=770-700 или 1105 - увеличение производства станков на 0,1 или на 10%.

При определении относительной величины в качестве базы сравнения часто рассматривается не предшествующий период, а период, удаленный на более длительный промежуток времени. Пример: за 5, 10, 20, 25 лет.

б) относительные величины планового задания представляет собой отношение предусмотренного планом уровня или объема к соответствующему показателю, фактически достигнутому в отчетном периоде, принятому за базу сравнения.

Плановое задание на предстоящий период

ОВПЗ =

Фактическое выполнение в базисном периоде

Исчисленное отношение м.т. выражено в виде числа или в процентах.

Пример: 1992г.-700 шт. план 1993г.-735шт.

ОВПВ=735:700=1,05 или105%. Планируется увеличить выпуск станков в 1,05 раза или на 5%.

ОВВП отражают степень выполнения планового задания и представляют собой отношения фактического выполнения плана к установленному плановому заданию:

При этом необходимо, чтобы числитель и знаменатель исходного отношения соответствовали одному или тому же периоду или моменту времени.

Пример: 1992г.-770шт. план 1992г.-735шт.

ОВВП=104,8=(770:735)*100.

Завод перевыполнил план на 4,8%.

Если план задания установлен в относительных величинах, то при расчете ОВВП следует соотнести % отношения фактически достигнутого уровня к базисному уровню к базисному уровню и показатель планового задания.

Пример: производительность труда в 1992 г. в промышленности была увеличена на 3,5% при плановом росте 2,9%, то ОВВП составит

план по росту производительности труда перевыполнен на 0,6%.

В статистическом анализе встречаются ситуации, когда приходится оценивать степень выполнения плана по показателю, величину которого планировалось снизить ( трудоемкость, себестоимость).

Пример: предприятию был установлен план снижения трудоемкости единицы продукции на 7%, фактическое снижение составило лишь 3%.

фактическая трудоемкость > плановой на 4,3%, т.е. план по снижению трудоемкости недовыполнен на 4,3%.

Между относительными величинами динамики, планового задания и выполнения плана существует взаимосвязь.

Введем следующие обозначения: базовый уровень - у0, плановый уровень - упл, фактический уровень - у1.

в нашем примере со станками

1,05 * 1,048 = 1,1

Полученное соотношение имеет большое практическое значение, т.к. позволяет определить любую из трех величин при двух неизвестных.

ОВПЗ = ОВД / ОВВП ; ОВВП = ОВД / ОВПЗ

с) ОВС структуры характеризуют долю отдельных частей в общей совокупности.

Пример: долю городского населения во всем населении республики.

ОВС называются удельными весами, рассчитывают делением определенной части целого на общий итог, принимаемый за 100%.

Пример: рассмотрим структуру ВОП.

ВОП по отраслям народного хозяйства.

	1992 г.
	сумма, млн.р.	в % к итогу
ВОП в т.ч. по отраслям - промышленность сельское хозяйство транспорт исвязь строительство торговля и др. отрасли.	1236,0 792,7 170,3 55,2 115,1 102,7	100,0 64,1 13,8 4,5 9,3 8,3
А	1	2

В приведенной таблице в графе 2 показатель относительной величины структуры, они характеризуют удельные веса продукции отдельных отраслей народного хозяйства в ВОП.

Важным моментом расчета ОВС является правильный выбор базы сравнения, т.е. того целого, часть которого мы определяем. Иначе можно получить ошибочные результаты.

Примеры: завод имеет 200 станков, в начале года получил 10 новых высокопроизводительных станков из которых 4 не были установлены. Определить удельный вес не установленных станков, если базой сравнения весь парк станков, то ОВС = 4/(200+10)*100=1,9% - незначительный процент особой тревоги не вызывает. Но это не верный подход, т.к. на заводе всего новых 10 станков, и действительная доля не установленных станков равна 40% = (4/10)*100. Таким образом завод явно неэффективно использует новые станки и необходимо срочно принять меры.

Относительные величины координации.

ОВК - характеризуют соотношение отдельных частей совокупности с одной из них, принятой за базу сравнения.

Характерной особенностью ОВК является то, что из двух сравниваемых частей за базу может браться любая из них. Из данной таблицы - соотношение между продукциями промышленности и сельского хозяйства, (792,7/170,3)=4,56 - на 1 млрд. руб. продукции сельского хозяйства приходится 4,65 млрд. руб. продукции промышленности. Или (170,3/792,7)=0,21 - на 1 млрд. руб. промышленной продукции приходится 0,21 млрд. руб. сельскохозяйственной продукции. На практике в целях достижения большей наглядности, при расчете ОВК чаще используется деление большего числа на меньшее.

Относительными величинами интенсивности называются показатели, характеризующие меру распространения или развития данного явления в определенной среде. Они рассчитываются как отношение абсолютной величины данного явления к размеру среды, в которой они развиваются.

Пример: фондоотдача - выпуск продукции в расчете на 1 руб. стоимости основных фондов; уровень производительности труда - выпуск продукции на одного рабочего; рентабельность - прибыль на 1 руб. основных фондов и нормируемых ОС.

Таким образом ОВК развития характеризуют эффективность использования различного рода ресурсов, социальные и культурные уровни жизни народа и др. аспекты общественной жизни.

Относительные величины интенсивности являются обычно именованными числами и имеют размерность тех а.в., соотношение которых они отражают.

Когда результаты достаточно малы, их для наглядности умножают на 1000,10000 и получая характеристики в промилле, продецемилле. Пример: в 1992 г. на каждую 1000 жителей родилось 18,9 ребенка, а на 10000 человек населения приходилось 39,5 врача. Особый интерес представляет разновидность ОВК - производство продукции на душу населения - количество определенной продукции делится на численность населения региона. Уровень производства продукции характеризует уровень технического развития региона. Производство продукции на 1 душу населения - выражает уровень экономического развития.

Относительными величинами сравнения называются относительные показатели, получающиеся в результате сравнения одноименных уровней, относящихся к различным объектам или территориям, взятым за один и тот же период времени.

Обычно они исчисляются в % или в кратных отношениях, показывающих во сколько раз одна сравниваемая величина больше или меньше другой. Пример: соотношение производства некоторых видов продукции в двух странах.

Тема № 5. Средние величины

Сущность и значение средних величин.

Виды средних величин.

Выбор формы средней (Понятие об исходном соотношении средней). Способы их исчисления.

Мода и медиана.

Многомерные средние.

Сущность и значение средних величин и способы их вычисления

Средняя является очень распространенным обобщающим показателем в статистике. Это поясняется тем, что только с помощью средней можно охарактеризовать совокупность по количественно варьирующему признаку. Предположим мы хотим сравнить заработную плату, которые получают работники двух предприятий. Для этого мы не можем сравнить заработную плату двух рабочих с двух п/п, так как признак этот изменяется и другие рабочие получают другую заработную плату. Сумму тоже не можем сравнивать - разное число рабочих. Если же эти суммы мы поделим на число рабочих, то есть исчислим средний уровень заработной платы, то мы можем их сравнивать и сказать на каком п/п средняя заработная плата выше заработной платы изучаемой совокупности рабочих получает обобщенную характеристику в средней величине. Она в одной величине показывает общую веру этого признака.

Средней величиной в статистике называется обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку. Средняя показывает уровень этого признака, отнесенной к единице совокупности.

С помощью средних можно сравнивать между собой различные совокупности по варьирующим признакам. (различные области по срокам урожайности, различные предприятия по средней себестоимости)

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, которым мы характеризуем изучаемую совокупность. Значит за всякой средней скрывается ряд распределения единиц совокупности. В этом отношении средняя принципиально отличается от относительных величин и в частности от показателей интенсивности. ОВИ - отношения объема двух разных совокупностей. И ни одна из них не выступает как варьирующий признак единиц другой совокупности. Так выработка стали на душу населения, не означает, что каждая душа выплавляет сталь, в то время как средняя заработная плата обобщает заработную плату каждого отдельного рабочего, входящего в совокупность.

Во всех случаях в изменении средних показателей проявляется общая основная тенденция, под влиянием которой складываются процесс развития явлений в целом, в отдельных же индивидуальных случаях эта тенденция может и не обнаруживаться явно.

Тенденция при общем снижении себестоимости в какой-нибудь отрасли, на отдельные предприятия под влиянием каких-либо причин может и не снижаться

Поэтому важно, чтобы средние величины были основаны на массовом обобщении фактов. При массовом обобщении фактов случайные отклонения индивидуальных величин от общей тенденции взаимно погашаются в средней величине.

Поэтому средняя величина выявляет общую тенденцию присущую данному явлению, типичный для него размер варьирующего признака.

Во все более полном погашении отклонений порождаемые случайными причинами, по мере увеличения числа наблюдений проявляется сущность ЗБЧ следовательно, можно сказать, что ЗБЧ создает условие, чтобы в средней проявился типичный уровень варьирующего признака в конкретных условиях места и времени.

Величина этого уровня определяется естественно не ЗБЧ, а сущностью того явления, которые характеризуются средней.

Виды средних величин.

Средние которые применяются в статистике относятся к классу степенных средних. Общая формула степенной средней имеет такой вид:

=

- степенная средняя

- меняющиеся величины признака (вариант)

n - число вариант

m - показатель степеней средней

- знак суммирования

Изменения показателя степени средней (m)

m = 1 определяет вид средней

средняя арифметическая

=

2) m = 2 средняя квадрадическая =

3) m = 3 средняя кубическая

4) m = -1 средняя гармоническая =

5) m = 0 средняя геометрическая

= , где П - знак перемножения

Из степенных средних в статистике наиболее часто применяется средняя арифметическая, реже - средняя гармоническая, средняя геометрическая применяется только при исчислении средних темпов динамики, а средняя квадратическая - только при исчислении показателей вариации.

Сл.пример показывает, что разные виды средних при одном и том же исходном материале имеют неодинаковое значение:

= = = 4,5

= = = = 4, 75

= = ==4

==4,26

В общем виде их соотношение определяется показателем степени средней:

, то есть чем больше показатель степени, тем больше величина средней. Это правило называется правилом мажорантности средних *.

Выбор формы средней

В статистике правильную характеристику совокупности в каждом отдельном случае дает только вполне определенный вид средней.

Для определения этого вида средней в статистике имеется критерий в виде определяющего свойства средней. Таковым считается механизм образования объема варьирующего признака.

Средняя только тогда будет верной обобщающей характеристикой совокупности

по варьирующему признаку, когда при замене всех вариант средней общий объем варьирующего признака останется неизменным. Следовательно, в зависимости как образуется общий объем варьирующего признака и определяется правильный вид средней.

Средняя арифметическая есть частное отделения суммы вариант на их число. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных его единиц. Пример: общий ФЗП - это сумма заработной платы.

* кроме степенных средних в статистике применяют описательные характеристики распределения варьирующего признака: моду и медлану.

Чтобы исчислить среднюю арифметическую, нужно сложить все отдельные варианты и сумму - разделить на их число.

Пример: Месячная заработная плата (сом) 20 рабочих составляет

130, 140, 150, 150, 150, 160, 160, 165, 165, 170, 170

170, 175, 180, 180, 195, 195, 195, 200, 200

= = 170

обозначив варианты , ……. расчет можно представить как

= =

Эта формула средней арифметической простой.

В нашем примере 20 рабочих, имеют всего лишь 10 разных значений, так как одинаковые заработные платы получили по нескольку рабочих.

150-3; 160-2; 165-2; и т.д.

В этих случаях исчислить средней арифметической проще перед суммированием умножить варианту на частоту. Такое умножение называется взвешиванием, а число единиц, имеющих одинаковое значение - весами.

= = = 170

веса обозначим буквой

= =

Вычисление средней для вариационного ряда - дискретные, интервальные.

Пример: Вычисление среднего числа детей в семье

Итого 200 500

= = = 25 (ребенка)

Вычисление средней заработной платы.

Группы рабочих по размерам заработной платы	Середина интервала (х)	Число рабочих ()
130-140 140-150 150-160 160-170 170-180 180-190	135 145 155 165 175 185	10 50 100 115 180 45	1350 7250 15500 18975 31500 8325

Итого - 500 82900

= = = 165, 8 (руб)

основные свойства средней арифметической

Средняя от построения величин равна ей самой

= А

Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты

Изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же величину

= + A

Изменения каждого варианта в одно и тоже число раз изменяет среднюю во столько же раз

= А

Средняя гармоничная

Определение средней гармоничной по своему определяющему свойству средняя гармоническая должна применяться тогда, когда общий объем признака образуется как сумма обратных значений вариант. Средняя гармоническая применяется когда веса приходится не умножать, а делить их варианты или умножать на обратное значение. Средняя гармоничная - это величина обратная средний арифметический из обратных значений признака.

Пример: Расчет среднего процента выполнения плана

Предприятия	План	Факт.вып.	Степень вып. плана
А Б В	100 200 300	105 180 330	1,05 105 0,9 90 1,1 110

Всего 600 615 1,025 1025

Варьирующий признак - степень выполнения плана. Среднее значение признака получается как средний арифметический, если взвешивать отдельные варианты по показателю плана

= = = 1, 025

Если за веса принимать не план, а факт то получим неправильный результат

= = = 1, 033

Правильный результат при взвешивании по фактическом выполнении даст средняя гармоническая

= w - веса ср.гарм.

= = = = 1, 025

К средней гармонической следует прибегать в тех случаях, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности - носители признака, а произведения этих единиц на значения признака w = xf

Из этого следует, что средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестна численность совокупности и приходится взвешивать варианты по объемам признака.

Нужно иметь в виду, что если в качестве весов выставляют абсолютные величины, всякие промежуточные действия при расчете средней должны давать экономически значимые результаты. При расчете средней % выполненного плана показатель выполненного плана умножаем на план задания и получаем фактическое выполнение плана. Для расчета средней цены умножаем цены на количество товаров и получаем их стоимость.

Если показатель выполненного плана умножить на фактически выполненный или цену умножить на (фактическое выполнение) стоимость, то с э.т.з. результат будет абсурдным. Значит формы средней выбраны не правильно. Это может быть дополнительным критерием правильности выбора формы средней.

Данные по трем заводам:

Номер завода	Издержки производства	С/с единичной продукции
1 2 3	200 460 110	20 23 22

Условием выбора формы средней является экономическое содержание показателей

= =

= = = = 22,0 руб

4. Мода и медиана

Средние величины, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности. Но бывает, что величина средней не совпадает не с одним реально существующих вариантов. Поэтому в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном ряду определенное положение. Среди таких величин наиболее часто употребляются мода и медиана, называемыми описательными средними.

Медианой называется вариант расположенный в центре ранжированного ряда.

Если расположить по росту 11 человек, то медианой будет являться значение роста шестого по счету человека. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой - больше ее.

Нахождение медианы в вариационных рядах. Дискретный ряд. Всем единицам ряда придать порядковые номера.

n - нечетное число членов

Ме =

n - четное число членов

Ме = Ме = + 1

Ме - среднее значение двух вариантов имеющих порядковые номера и +1

Интервальный ряд Сначала определяют интервал, в котором она находится (медианный интервал). В медианном интервале сумма накопленных частот равна или превышает полусумму всех частот. После Ме вычисляют по формуле

Ме = ХМе + hМе

- нижняя граница медианного интервала

- ширина медианного интервала

- сумма частот, накопленная до медианного интервала

- частота медианного интервала

Пример:

Группы рабочих по стажу, лет	Количество рабочих (частоты)	Накопленные частоты
0-5 5-10 10-15 15-20 20 и более	146 495 237 103 19	146 641 878 981 1000
Всего	1000

Ме = 5 + 5 = 8,6 года.

Полученный результат говорит о том, что из 1000 рабочих 500 человек имеют стаж работы меньше 8,6 года, а 500 больше.

Мо = 5 + 5 7,9 года

Следовательно, наиболее распространенным стажем является 7,9 года, то есть около 8 лет.

Модой в статистике называется величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном ряду модой является вариант, обладающий наибольшей частотой. Применяется чтобы охарактеризовать наиболее часто встречающуюся величину признака (наиболее распространенный размер обуви, головных уборов, одежды, преобладающие цены) и т.д.

Дискретный ряд - вариант с наибольшей частотой

Интервальный ряд Сначала отыскивается модульный интервал, наибольшей частотой. Затем Мо определяется по формуле

Мо = + h

- нижняя граница модального интервала

h - ширина интервала

fmo - част. Мо интервал

fmo-1 и fm+1 - частота предмодального и послемодального интервала.

Задания для самостоятельной работы.

Тема: «Средние величины».

Задачи.

№1. Пять групп рабочих обрабатывают один и тот же вид деталей. Дневная выработка деталей на один день обследования отдельными рабочими характеризуется следующими данными.

Порядковый номер рабочего	Дневная выработка рабочего, шт.
1 2 3 4 5 6 7	1-группа	2-группа	3-группа	4-группа	5-группа
	38 37 34 36 35 - -	40 32 50 42 30 28 35	39 33 41 37 32 40 -	45 42 50 48 40 - -	41 43 40 42 44 - -

Определите среднее дневное число деталей, обработанных одним рабочим:

для каждой группы дайте сравнительную характеристику этих средних;

для всех групп в целом, используя

а) непосредственно данные условия задачи;

б) вычислите показатели средней дневной выработки по пяти бригадам.

Ответьте на вопрос, как изменяется среднедневная выработка рабочего по каждой группе, если все индивидуальные значения выработки:

а) увеличатся на пять единиц;

б) уменьшатся на пять единиц;

в) увеличить в два раза;

г) уменьшить в два раза.

№2. Распределение студентов по успеваемости характеризуется следующими данными:

Номер группы	Экзаменационный бал	Число студентов
1 2 3 4 5	2	3	4	5	32 26 34 30 28
	2 1 3 1 -	10 13 8 6 8	16 9 11 12 14	4 3 12 11 6

Определите средний балл экзаменационной оценки:

для каждой группы студентов, дайте сравнительную характеристику

для всех групп в целом, используя

а) непосредственно данные условия задачи;

б) вычисленные показатели среднего экзаменационного балла.

№3. Имеются следующие данные о группировке предприятий и организаций по численности работающих и территорий.



Группы предприятий по численности работающих, чел.	Количество предприятий
	1 регион	2 регион	3 регион
До 350 350-500 500-700 700-1000 1000-2000 2000 и более	38 42 31 14 15 0	26 17 15 28 14 0	22 24 147 15 25 10
итого	140	100	110

Определите среднее число работающих на одном предприятии:

а) по каждому региону;

б) по трем регионам вместе.

Используя полученные показатели средней численности работающих на одно предприятие по регионам.

Срок службы станков, лет	Количество станков (шт)
До 5 лет От 5 до 10 лет От10 до 15 От 15 и более	Цех №1	Цех №2	Цех №3	Цех№4	Цех№5
	12 18 15 5	4 6 20 10	2 8 11 9	7 14 16 13	6 10 18 16

№4. Имеются следующие данные о сроке службы станков по пяти цехам промышленного предприятия.

Определите средний срок службы станков по каждому цеху. Используя в качестве весов:

а) абсолютные показатели (количество станков);

б) относительные показатели структуры распределения станков (проценты, коэффициенты).

№5. Имеются следующие данные о распределении работников двух предприятий по размеру месячной заработной платы.

Группы работников по размеру заработной платы, сом	Число работников в % к итогу
	1 предприятие	2 предприятие
500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000 и выше	12 28 35 13 9 3	6 10 29 41 12 2
Итого	100	100

Рассчитайте среднюю плату работников, по каждому предприятию используя способ моментов. Сравните полученные данные.

№6. Имеются следующие данные о производстве и себестоимости продукции «А» по двум предприятиям:

Предприятие№	1 квартал	2 квартал
	себестоимость единицы, сом	производство, тыс. сом	себестоимость единицы, сом	производство, тыс. сом
1	70	6	65	4
2	110	4	108	6

Определите среднюю себестоимость продукции за кварталы.

Объясните, почему при более низкой себестоимости по каждому предприятию во втором квартале средняя себестоимость оказалась выше, чем в первом квартале.

№7. Имеются следующие данные о заработной плате работников по двум предприятиям.

Предприятие№	Базисный год	Отчетный год
	Средняя заработная плата (сом)	Число рабочих, чел.	Средняя заработная плата (сом)	Фонд заработной платы, (сом)
1 2	500 540	8 120	510 560	40800 72800

Определите среднюю заработную плату работников по двум предприятиям:

а) за базисный год;

б) за отчетный год;

в) за два года вместе;

Какие виды средней используются в каждом случае? Поясните полученные результаты.

№8. Имеются следующие данные о работе промышленного предприятия.

Предприятие№	Объем договорных обязательств выпуска продукции, т.с.	Фактический выпуск продукции, тыс. сом	Выполнение договорных обязательств, %	Продукция высшего сорта, %
А	1	2	3	4
1 2 3 4	400 405 410 420	400 408 405 434	100 100,7 98,8 103,3	65,1 64,2 58,5 70,3

Определите:

средний процент выполнения предприятиями договорных обязательств, используя показатели:

а) гр. 1 и 2;

б) гр. 1 и 3;

в) гр. 2 и 3;

средний процент продукции высшего сорта.

№9. По предприятию имеются следующие данные:



Номер цеха	1 квартал	2 квартал
	брак, %	фактический выпуск всей продукции, сом	брак, %	фактический выпуск брака, сом
1 2 3	1,4 0,8 1,2	40000 60000 100000	1,2 0,8 1	600 640 700
		200000		1940

Определите процент брака в среднем по предприятию за 1 и 2 кварталы.

№10. Имеются следующие данные об урожайности посевной площади и валовом сборе в трех хозяйственных районах.

Хозяйство	Базисный год	Отчетный год
	урожайность ц\га	посевная площадь, га	урожайность ц\га	валовый сбор, тыс.ц.
1 2 3	380 300 350	400 300 300	400 320 350	200 64 105
		1000		369

В каком году средняя урожайность по району была выше и на сколько процентов.

№11. Ниже приводится ряд показателей по пяти предприятиям за год.

Номер п\п	Выработано продукции, тыс.ц.	Месячный фонд заработной платы, тыс. сом	Средняя месячная заработная плата, сом
1 2 3 4 5	150 180 200 250 150	227,5 247 280 327,6 297,5	650 650 700 780 875

Определите по совокупности этих предприятий:

а) среднемесячную заработную плату рабочих;

б) среднюю выработку на одного рабочего;

в) среднюю выработку сахара на одно предприятие;

г) средний размер предприятия по численности работающих.

№12. В результате статистического обследования пяти районов области получены следующие данные по распределению семей по числу детей.

Число детей	Количество детей, в % к итогу
	1-й район	2-й район	3-й район	4-й район	5-й район
0 1 2 3 4 5 6 и более	7 26 22 19 14 4 8	4 20 28 21 16 5 6	5 29 23 18 12 6 7	3 19 27 25 9 7 10	6 18 31 23 10 8 4
итого	100	100	100	100	100

Определите моду и медиану по каждому ряду распределения.

№13. По группировке магазинов, по размеру месячного товарооборота определите:

а) моду;

б) медиану.

Товарооборот, тыс.сом до 5 5-10 10-15 15-20 20-25 25 и более

Число магазинов 10 13 10 7 5 5

№14. Распределите работников предприятия по степени выполнения норм выработки за 1 квартал характеризуется следующими показателями.

Группы рабочих по выполнению норм выработки, %	Число рабочих, в % к итогу
	январь	февраль	март
До 90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140 140-150	5 7 28 21 18 15 6	2 3 26 32 24 10 3	- 2 14 36 28 12 8
итого	100	100	100

Определите моду и медиану по каждому ряду распределения.

Решение типовых задач.

№1. Заработная плата бригады строителей по отдельным профессиям за месяц характеризуется следующими данными.

Маляры	Штукатуры	Кровельщики
Заработная плата, сом.	Число рабочих, чел.	Заработная плата, сом.	Число рабочих, чел.	Заработная плата, сом.	Число рабочих, чел.
700 710 717	1 1 1	720 736 740	2 2 2	730 742 755	3 5 2
итого	3	-	6	-	10

Определите среднюю заработную плату рабочих по каждой профессии и в целом по бригаде.

Решение: число рабочих известно исчислим фонд заработной платы маляров путем суммирования заработка каждого рабочего. В данном случае веса (частоты) равны единице. Следовательно, расчет средней заработной платы производится по формуле средней арифметической простой.

Если веса (частоты) в рядах распределения равны между собой, как это имеет место в бригаде штукатуров, расчет средней производится также по формуле средней арифметической простой. Следовательно, средняя заработная плата штукатуров

Если частоты имеют различные количественные, как в группе кровельщиков, то средняя заработная плата определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

Средняя заработная плата рабочих бригады строителей может быть определена двумя способами:

Отношением фонда заработной платы рабочих по группам профессий к общей численности рабочих этих групп:

Как средняя арифметическая взвешенная из групповых средних:

№2. По данным обследования получены следующие данные о распределении студентов-заочников по возрасту:

Группа № п\п	Группы студентов по возрасту, лет.	Число студентов, чел.
1 2 3 4	20-25 25-30 30-35 35-40	200 900 800 100
	итого	2000

Определите средний возраст студентов-заочников.

Средние значение признака по данным вариационного ряда распределения определяется по средней арифметической взвешенной

Чтобы применить эту формулу, надо значения признака в интервале (варианты) выразить одним числом, т.е. дискретной величиной, за которую принимается середина интервала каждой группы. Расчеты удобнее располагать в таблице:

Группы студентов по возрасту, лет (х)	Число студентов, чел. (f)	Середина интервала, (х)	Xf
20-25 25-30 30-35 35-40	200 900 800 100	22,5 27,5 32,5 37,5	4500 24750 26000 3750
итого	2000		59000

Таким образом

№3. Распределение предприятий отрасли по численности работающих характеризуются следующими данными.

Групп предприятий Число по числу работающих, чел предприятий
До 50 20 50-60 40 60-70 80 70-80 50 свыше 80 10
Итого 200

Определить среднюю численность работающих на предприятиях отрасли.

Способ моментов основан на применении математических свойств средней арифметической взвешенной и позволяет значительно упростить технику вычисления. Расчет производится по формуле:

где А - постоянная величина, на которую уменьшаются все значения признака. В вариационных рядах с равными интервалами в качестве такой величины принимается варианта ряда с наибольшей частотой; i - величина интервала ряда.

Группы предприятий по числу работающих, чел. (х)	Число предприятий, чел. (f)	Середина интервала, (х)			()*f= =()*f
До 50 50-60 60-70 70-80 свыше 80	20 40 80 50 10	45 55 65 75 85	-20 -10 0 10 20	-2 -1 0 1 2	-40 -40 0 50 20
итого	200				-10

По данным примера А=65, i=10

=

*i+A=-0,05*10+65=-0,5+65=64,5(чел).

№4. Средняя выработка продукции на одного рабочего за смену в двух цехах завода, вырабатывающих однородную продукцию, характеризуется следующими данными:

Бригада №п\п	Цех №1.	Бригада	Цех №2.
	Дневная выработка продукции, шт. (х)	Число рабочих, чел.(f)		Дневная выработка продукции, шт.(х)	Объем произведенной продукции, шт.(м)
1 2 3	20 30 35	8 11 16	4 5 6	38 36 20	418 432 140
		35

Определим среднедневную выработку продукции рабочих: а) по первому цеху;

б) по второму цеху.

По первому цеху расчет производим по средней арифметической взвешенной:

По второму цеху - по средней гармонической взвешенной.

№5. Имеются следующие данные о распределении рабочих по тарифному разряду.



Тарифный разряд	Число рабочих в % к итогу	Сумма накопленных частот
1 2 3 4 5 6	1 3 10 49 28 9	1 4 14 63
итого	100

Определите моду и медиану.

Решение. В дискретных рядах модой является варианта с наибольшей частотой. В задаче наибольшее число рабочих имеет четвертый разряд (49%).

Следовательно, мода равна четвертому разряду. Для вычисления медианы надо определить сумму накопленных частот ряда, составляющую половину общей суммы частот. В графе 3 накопленная сумма частот составляет 63. Варианта х, соответствующая этой сумме, т.е. четвертому разряду, есть медиана.

Есть сумма накопленных частот против одной из вариант равна половине сумма частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

№6. Имеются следующие данные о распределении рабочих по затратам времени на обработку одной детали.

Затраты времени на одну деталь, мин.(х)	Число рабочих,чел.(f)	Сумма накопленных частот
4,5-5,5 5,5-6,5 6,5-7,5 7,5-8,5 8,5-9,5 9,5-10,5 10,5-11,5	8 18 23 30 12 6 3	8 26 49 79
итого	100

Определите моду и медиану.

Решение. В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода (М0) и медиана (Ме) определяются по формулам:

М0= х0+h

где х м0=7,5 - начальное значение модального интервала;

h=1 - величина модального интервала;

fm0=30 - частота модального интервала;

fm0-1=23 - частота интервала, предшествующего модальному;

fm0+1=12 - частота интервала, последующего за модальным.

Следовательно,

М0=7,5+1

Ме=хме+h

где хме=7,5 - начальное значение интервалов;

h=1 - величина медианного интервала;

100 - сумма частот ряда;

Sме-1=49 - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

ме=30 - частота медианного интервала.

Ме=7,5+1мин.

Таким образом, одна половина рабочих затрачивает на обработку детали до 7,53 мин., а другая свыше 7,53 мин.

Тема № 6. Статистическое изучение вариации

Понятие о показателях вариации.

Способы исчисления дисперсии, дисперсия альтернативного признака.

Виды дисперсии.

Приемы анализа вариационных рядов.

Понятие о показателях вариации

Средние величины дают обобщающую характеристику совокупности, но при этом не дают представления об индивидуальных значениях признака. Могут сущность совокупности, у которых средние величины совершенно одинаковы, но отклонения от средних различны.

Пример: Две совокупности, в котором варианты равны, а распределение частот различны.

Пример 1	Пример 2
x	f	xf	x	f	xf
2 3 4 5 6 7 8	1 5 30 60 30 5 1	2 15 120 300 180 35 8	2 3 4 5 6 7 8	30 20 10 50 10 20 30	60 60 40 250 60 140 240

-132660 - 170 850

В первом примере 120 (30+60+30) случаев из 132 - 91% или не отклоняется совсем, или отклоняется на первом. Во втором примере 70 (10+50+10) случаев из 170 - 41% не отклоняются или отклоняются на первом.

В первом примере средняя характеристика более надежно, более типична, чем во втором.

Поэтому средние характеристики дополняют показателями, измеряющими отклонения от средних, показателями вариации признака.

Простейшим из показателей вариации является размах вариации. Он представляет собой разность между наибольшим и наименьшим значениями варьирующего признака.

R =

R не связан с частотами в вариационном ряду, его зависимость с max и min значений придает ему неустойчивый характер.

Распределение отклонений можно уловить, исчислить отклонения всех вариант от средней, а чтобы дать им обобщающую характеристику, необходимо вычислить среднюю из этих отклонений.

Сумма отклонений вариант от средней всегда равняется «0», так как сумма положительных отклонений всегда равна сумме отрицательных отклонений. Следовательно, чтобы исчислить среднюю арифметическую из отклонений, нужно условно допустить, что все отклонения, положительные и отрицательные, имеют одинаковый знак.

Способы исчисления дисперсии.

Вычисление дисперсии по формулам является довольно трудоемкой процедурой. Для облегчения расчетных работ часто используются упрощенные способы определения дисперсии и

Преобразуем числитель следующим образом



=

=

Следовательно, дисперсия может быть определена как разность среднего квадрата вариантов и квадрата их средней

Таблица N рабочих	Производственная продукция шт (х)	Х2
1 2 3 4 5	8 9 10 11 12	64 81 100 121 144

 510

Средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической называется средним линейным отклонением.

1) d =

d =

Первая формула применяется, если каждый вариант встречается один раз, а второй - в рядах с неравными частотами.

Существует и другой способ усреднения отклонений вариантов от средней арифметической. Этот способ сводится к расчету квадратов отклонений вариантов от средней с их последующим среднением. Новый показатель вариации - дисперсия, представляющую собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней арифметической.

Корень квадратный из дисперсии - среднее квадратическое отклонение.

По своему абсолютному значению зависит не только от степени вариации признака но и от абсолютных уровней вариант и средней. Поэтому сравнивать вариант - х рядов с разными средними уровнями непосредственно нельзя. Для этого нужно вычислить % соотношения и , полученный показатель называется коэффициентом вариации.

V

Пример:

Группа рабочих по размеру з/пл	варианты	Число рабочих
130-140 140-150 150-160 160-170 170-180 180-190	135 145 155 165 175 185	10 50 100 115 180 45	-30,8 20,8 10,8 0,8 9,2 19,2	948,64 432,64 116,64 0,64 84,64 368,64	9486,4 28632,0 11664,0 73,6 15235,2 16588,8

Сумма-500 74680

= 146, 36

Расчет дисперсии в интервальном ряду распределяются. Данные о распределении посевной площади

Урожайность (х) пшеницы ц/га	Посевная площадь, га (f)	х	xf	х2	x2f
14-16 16-18 18-20 20-22	100 300 400 200	15 17 19 21	1500 5100 7600 4200	225 289 361 441	22500 36700 144400 88200

1000 -18400 341800

Особый интерес представляет положение дисперсии альтернативного признака, то есть признака, которым единицы изучаемой совокупности могут либо обладать, либо не обладать.

В таких случаях наличия признака обозначается единицей, а его отсутствие нулем. Доля единиц, обладающих признаком, обозначается через Р, для остальных единиц q = 1-р р+q = 1 определим для этих условий среднюю величину и дисперсию.

Дисперсия альтернативного признака

Пример: 73% студентов занимаются на хорошо и отлично, то 27% имеют 3 и 2.

Для этого случая дисперсия доли будет равна:

Среднее квадратное отклонение для доли составит:

Виды дисперсии

Когда статистическая совместимость разбить на группы, то и может быть определена как для всей совокупности и так и для каждой группы в отдельности.

Групповые средние и дисперсии обозначим и



Групповая дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин действующих внутри группы.

Средняя из групповых дисперсий - это средняя арифметическая взвешивание из дисперсий групповых

Межгрупповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней :

Межгрупповая средняя характеристика вариацию результативного признака за счет группировочного признака.

Между тремя видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсий.

Это соотношение называется правилом сложения дисперсий. С его помощью зная два вида дисперсий, можно определить третий

Пример:

Данные о промышленности ткачей за час рабочих

Таблица №	Изготовление ткани за 1 час (х)			Таблица №	Изготовление ткани за 1 час (х)
1 2 3 4 5 6	13 14 15 17 16 15	-2 -1 0 2 1 0	4 1 0 4 1 0	7 8 9 10 11 12	18 19 22 20 24 23	-3 -2 1 -1 3 2	9 4 1 1 9 4

- 90 - 10 - 126 - 28

расчет групповых дисперсий

Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий

Исчислим межгрупповую дисперсию для этого определим общую среднюю взвешиванию из групповых средних:



Общую дисперсию используя правило сложения дисперсий

Правило сложения дисперсий используется в статистике для определения степени связи между изучаемыми признаками с помощью эмпирического корреляционного отношения.

Сначала определим коэффициент детерминации

Отношение межгрупповой к общей дисперсии и показывает, какую часть общей вариации изучаемого признака составляет вариация межгрупповая.

Корень из называют эмпирическим корреляционным отношением.

, которое показывает тесноту связи групповым и результативным признаком,

Приемы анализа вариационных рядов

Одной из важнейших задач анализ вариационных рядов распространения является выявление закономерности распределения и определения ее характера. При симметричном распределении (нормальное распределение) частот в вариационном ряду, обобщение характеристики ряда - - равны между собой.

Однако в социально-экономических явлениях нормальное распределение в частом виде не встречаются чаще всего наблюдается асимметрия распределения, которая может быть правосторонней или левосторонней. Если в ряду распределения преобладают варианты с меньшим, чем , значением признака, то вершина кривой распределения сдвинута влево и правая часть оказывается длиннее. Такая асимметрия называется правосторонней (положительной). Если же преобладают варианты с большим, чем средняя арифметическая значением признака - вершина кривой распределения сдвинута вправо, и следовательно левая часть длиннее правой, асимметрия левосторонней (отрицательной).