Модели в финансовой экономике

, то

Обозначим сумму q_t+q_t-₁ как q_t (2), т. е. q_t (2)=q_t+q_t-₁, и составим отношение дисперсий значений q_t (2) и удвоенной дисперсии значений исходного ряда q_t, t=1, 2,..., Т; которое обозначим как VR (2). Получим

где r₁ - первый коэффициент автокорреляции ряда q_t.

В случае справедливости ГСБ можно ожидать, что поскольку r₁, то отношение дисперсий будет близко к единице, т. е. VR(2)1. При этом, если во временном ряду q_t имеет место положительная автокорреляционная связь, то VR(2)1. С точки зрения выражений (7.21) и (7.22) это означает, что условная дисперсия суммы двух последовательных значений временного ряда q_t будет нарастать быстрее, чем по линейному закону. При отрицательной автокорреляции (r₁0) VR (2)1, т. е. рост дисперсии этой суммы будет медленнее линейного закона.

Для построения теста, проверяющего ГСБ на основании отношения дисперсий VR(2), необходимо знать закон распределения этой случайной величины. Интуитивно на основании выражения (7.52) можно ожидать, что закон распределения VR(2) совпадает с распределением случайной переменной 2r₁, которое, как было отмечено в главе VI, при r₁ приблизительно нормальное с математическим ожиданием, равным нулю, и удвоенной дисперсией. Напомним, что дисперсия случайной переменной r₁ (D(r₁)) приблизительно равна 1/Т. В нашем случае можно ожидать, что ее величина составит 2/Т, т. е. D(2r₁)=2/Т. Иными словами, случайная величина оказывается распределенной согласно нормальному закону , а величина распределена по стандартизованному нормальному закону.

Для более строгого доказательства этого интуитивно предполагаемого результата рассмотрим процесс, определенный выражением (7.23), в моменты времени t=0,1,2,...,2Т. Оценки параметров математического ожидания постоянного прироста и дисперсии D(y)=_y² определим согласно следующим выражениям:

Заметим, что оценка дисперсии _y² - ₂² получена на основании четных значений ряда у_t, т. е. для двойного периода времени между наблюдениями (t, t+2). За такой период постоянная составляющая прироста равна 2, а ошибка равна сумме ошибок интервалов (t, t+1) и (t+1, t+2) , т. е. (_2t+_2t+1).

Оценки ₁² и ₂² дисперсии _y² являются случайными величинами, подчиненными нормальному закону распределения (см. приложение 2 к главе VII). При этом

Таким образом, из выражений (7.57) и (7.58) следует, что дисперсия оценки ₂² оказывается в два раза больше, чем дисперсия оценки ₁². Здесь учтено, что при оценке ₁² число степеней свободы равно 2Т, а при оценке ₂² число степеней свободы равно Т. Заметим, что в соответствии с (7.52), отношение ₂²/₁² представляет собой случайную величину VR (2), определенную выражением (7.53). Это следует из того, что D(y_t+y_t-1)=₂², а D(y_t)=₁². Иными словами,

VR (2)= ₂²/₁². (7.59)

Используем формулу Тейлора для оценки сначала математического ожидания отношения VR (2). Получим (см. выражение (7.199) приложения 3 к главе VII)

M[VR (2)]=1. (7.60)

Далее согласно этой же формулы найдем дисперсию переменной (VR (2)-1)=, которая, как показано в этом же приложении, определяется выражением

D[VR (2) -1]=, (7.61)

где, напоминаем, в данном случае 2Т - количество степеней свободы процесса y_t, t=0,1,2,...,2Т .

Таким образом, в случае справедливости ГСБ отношение VR (2) при Т распределено приблизительно по нормальному закону, т. е. (VR (2)-1), откуда в свою очередь следует, что

Результат (7.62) совпадает с рассмотренным выше интуитивным предположением.

Из выражения (7.62) непосредственно вытекает, что справедливость ГСБ может быть подтверждена или отвергнута на основании сопоставления расчетного значения с пределами интегрирования стандартизованной плотности нормального распределения при заданной доверительной вероятности р_* и значении Т+1 - числе измерений временного ряда y_t, t=0,1,2,..., Т.

Иными словами, ГСБ принимается, если удовлетворяется соотношение

где х₁ и х₂ находятся из выражения

р(х₁ z х₂)=р_*=

и х₁=-х₂,

В частности, при р_*=0,95 ГСБ справедлива, если интервал (7.63) имеет следующие пределы: х₁ =-1,96, х₂ =1,96.

Рассмотренный тест несложно преобразовать для случая 2-го, 3-го и т. д. коэффициентов автокорреляции приростов ряда y_t и, следовательно, отношений VR (3), VR (4),... .

В частности, отношение VR (3), на основании которого может быть проверена гипотеза о равенстве нулю 2-го коэффициента автокорреляции ряда приростов процесса y_t, формируется следующим образом:

где, в свою очередь, числитель ₃² определяется следующим выражением:

Остальные характеристики, т. е. и ₁², определены как и раньше выражениями (7.54) и (7.55) соответственно.

Как и в случае VR (2) можно показать, что случайная величина распределена при Т по нормальному закону с параметрами (0,4).

В общем случае, случайная величина имеет также асимптотически нормальное распределение N(0,2(n-1)). Гипотеза о справедливости ГСБ в данном случае подтверждается с вероятностью р_*, если расчетное значение VR (п) удовлетворяет соотношению (7.63) при случайной величине z, определяемой следующим выражением:

Таким образом, рассмотренные тесты позволяют проверить справедливость основной предпосылки всех версий ГСБ - отсутствие автокорреляционных связей в ряду приростов финансового показателя y_t, t=1,2,..., Т; y_t=lnY_t. Однако подтверждение этого предположения еще не указывает на конкретную версию ГСБ. Напомним, что различные версии ГСБ отличаются друг от друга либо наличием определенных закономерностей в рядах функциональных преобразований этих приростов (ошибок), либо особыми свойствами дисперсии ошибки (гетероскедастичность). В частности, напомним, что ГСБ-1 и ГСБ-2 предполагают полное отсутствие корреляционных связей между временными рядами квадратов значений ошибки (а также их третьих, четвертых степеней и т. п.). ГСБ-2 допускает некоррелированные изменения дисперсии этого процесса в рассматриваемом интервале, а ГСБ-3 допускает существование корреляционных взаимосвязей во временных рядах значений ошибки, возведенных во вторую, третью и т. д. степени, различных комбинаций рядов, полученных в виде произведений разновременных значений ошибки, т. е. типа _tt-i и _tt-j и т. п.

Таким образом, при справедливости ГСБ-1 дополнительно к условиям типа cov(_t, _t-i)=0, i=1,2,... должны выполняться условия, свидетельствующие об отсутствии автокорреляционных связей в рядах квадратов ошибки, ее произведений четвертого порядка и т. д. , что эквивалентно следующим соотношениям:

где _t=(у_t-у_t-1-).

При нарушениях условия (7.67) рассматриваемый процесс удовлетворяет условиям ГСБ-3.

В этом случае для проверки соответствия свойств рассматриваемого процесса предпосылкам ГСБ-1 или ГСБ-3 тестированию должны быть подвергнуты также временные ряды квадратов ошибки и их разновременных произведений. При этом могут использоваться те же самые тесты, которые были рассмотрены в разделе 7.3.

Справедливость предпосылок ГСБ-2 обычно устанавливается путем проверки условия постоянства дисперсии приростов в ряду рассматриваемого финансового показателя. Если условие

на интервале t=1,2,..., Т не выполняется, процесс удовлетворяет предпосылкам ГСБ-2. В случае выполнения этого условия рассматриваемый процесс удовлетворяет условиям ГСБ-1 (разумеется при выполнении также условия (7.67)). Для проверки условия (7.68) можно использовать тесты, основанные на критериях Фишера, Кокрена, Сиджела-Тьюки и другие, описанные в главе VI.

Заметим, что рассмотренные в данном разделе тесты обычно используются в исследованиях свойств временных рядов финансовых показателей с глубиной интервала наблюдений, не превышающей 1-2 года. В последнее время в научной литературе вырос интерес к исследованиям свойств временных рядов со значительно более обширной предысторией, охватывающей 10-летний и более продолжительные периоды. На таких интервалах в целом трудно ожидать выполнения предпосылок ГСБ-1. Однако и их нарушение можно обнаружить, лишь сопоставляя свойства процессов на различных достаточно больших временных промежутках, поскольку в период из 100-500 наблюдений такие процессы часто обладают свойствами строгого белого шума.

Проверка таких свойств (соответствие предпосылкам ГСБ-1 на относительно коротких временных интервалах и соответствие ГСБ-2 или ГСБ-3 на длинных интервалах) осуществляется с использованием специального класса тестов (тесты сверхдлинных временных серий), рассмотрение которых выходит за рамки данного раздела.