Адаптивные полиномиальные модели

Содержание

1. Адаптивные полиномиальные модели

2. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании

1. Адаптивные полиномиальные модели

Понятие экспоненциальной средней можно обобщить в случае экспоненциальных средних более высоких порядков.

Выравнивание р-го порядка:

(1.1.)

является простым экспоненциальным сглаживанием, примененным к результатам сглаживания (р-l)-го порядка.

Если предполагается, что тренд некоторого процесса может быть описан полиномом степени n, то коэффициенты предсказывающего полинома могут быть вычислены через экспоненциальные средние соответствующих порядков.

В случае, когда исследуемый процесс, состоящий из детерминированной и случайной компоненты, описывается полиномом n-го порядка, прогноз на ф шагов вперед осуществляется по формуле:

y_ф(t)=в₁ + в₂ф + в₃ф²+…+ в_n+1 фⁿ (1.2)

где: в₁, в₂, … в_n+1 - оценки параметров.

Фундаментальная теорема метода экспоненциального сглаживания и прогнозирования, впервые доказанная Р. Брауном и Р. Майером, говорит о том, что (n+l) неизвестных коэффициентов полинома n-го порядка в₁, в₂, … в_n+1 могут быть оценены с помощью линейных комбинаций экспоненциальных средних S⁽ⁱ⁾, где i= .

Следовательно, задача сводится к вычислению экспоненциальных средних, порядок которых изменяется от 1 до n+ 1, а затем через их линейные комбинации - к определению коэффициентов полинома.

На практике обычно используются полиномы не выше второго порядка. Например, при использовании полинома первого порядка адаптивная модель временного ряда имеет вид:

y_t = a_1,t + a _2,t + e_t (1.3.)

где: a_1,t - значение текущего t-гo уровня;

а _2,t - значение текущего прироста.

В таблице 1 приведены формулы, необходимые для расчета по этим моделям.

Процедура прогнозирования экспоненциального сглаживания следующих этапов:

1. Выбирается вид модели экспоненциального сглаживания, задается значение параметра сглаживания а. При выборе порядка адаптивной полиномиальной модели могут использоваться различные подходы, например, графический анализ, метод изменения разностей и др ..

2. Определяются начальные условия. Например, для полиномиальной модели первого порядка необходимо определить в₁,₀ ; в₂,₀.

Чаще всего в качестве этих оценок берут коэффициенты соответствующих полиномов, полученные методом наименьших квадратов. Начальные условия для модели нулевого порядка обычно получают усреднением нескольких первых уравнений ряда. Зная эти оценки, с помощью указанных в таблице формул находят начальные значения экспоненциальных средних.

3. Производится расчет значений соответствующих экспоненциальных средних.

4. Находятся оценки коэффициентов модели.

5. Осуществляется прогноз на одну точку вперед, находится отклонение фактического значения временного ряда от прогнозируемого. Шаги с 3 по 5 данной процедуры повторяются для всех t?n , где n - длина ряда.

6. Окончательная прогнозная модель формируется на последнем шаге в момент t=n. Прогноз получается на базе выражения (1.2.) путем подстановки в него последних значений коэффициентов и времени упреждения ф .

К положительным особенностям рассмотренных моделей следует отнести то, что при поступлении новой, свежей информации расчеты повторять не придется. Достаточно принять в качестве начальных условий последние значения функций сглаживания S_t⁽ⁱ⁾ и продолжить вычисления.

Таблица 1

Основные формулы для прогнозирования по адаптивным полиномиальным моделям

2. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании

1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы IBM. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации б принять равным 0,1.

Таблица 1

Курс акций фирмы IBM

2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации б равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при б =0,l и б =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.

3. Прогнозирование курса акций фирмы IBM осуществлялось на основе адаптивной полиномиальной модели второго порядка

где ф- период упреждения.

На последнем шаге получены следующие оценки коэффициентов:

в₁,_t = 541,53; в₂,_t = -0,41; в₂,_t = -0,72

Рассчитать прогноз курса акций:

на 1 день вперед (ф= 1);

на 2 дня вперед (ф=2).