Рисунок 4. Транспортная сеть равных расстояний

Рассмотрим случай 2, когда длины l_ij рёбер (x_i, x_j) транспортной сети различны. Задача усложняется, поскольку часто путь, проходящий через минимальное число вершин, может иметь бльшую длину (стоимость или время продвижения), чем обходные пути. Алгоритм расчёта индексов похож на предыдущий. Однако, есть различия.

- Первоначально конечному узлу приписываем индекс _n=0, а для остальных узлов устанавливаем индекс, равный бесконечно большому числу (_i=).

- Ищем такую дугу (x_i, x_j), для которой справедливо неравенство:

(30)

и заменяем индекс у x_j узла:

 (31)

- Продолжаем этот процесс замены индексов аналогично предыдущему случаю до тех пор, пока остаётся хотя бы одна дуга, позволяющая уменьшить индекс _j.

Правило нахождения кратчайшего пути при вычисленных индексах _i формулируется следующим образом: при обратном проходе по графу G от x₀ к x_n выбираем тот из узлов, для которого _i минимально.

Пример. По аналогии с предыдущим примером относительно КУП «СПЕЦКОММУНТРАНС» задача формулируется, как нахождение кратчайшего пути следования автомобиля, производящего работу по вывозу мусора на свалку. В общем виде задача звучит так. Пусть дан граф G₂, представленный на рисунке 6 Сеть состоит из шестнадцати узлов. Расстояния между узлами различны и каждое из рёбер графа G₂ помечено величиной расстояния между узлами, соединёнными данным ребром. На рисунке 6 также указаны значения индексов _i для каждого i-го узла. Расчёт начинаем с узла x_n, имеющего индекс _n=0, и завершаем установкой индексов у всех остальных узлов. Индекс при x₀ равен ₀=26, что означает L_кр=26. Само направление кратчайшего пути находим аналогично первому случаю путём составления последовательности узлов по направлению убывания у них индексов от ₀=26 до _n=0. Для графа G₂ кратчайший путь составляют узлы: x₀, x₅, x₈, x₁₁, x₁₃, x_n. На рисунке 6 кратчайший путь также выделен жирными стрелками. Обратим внимание на формирование индексов у x₁₂: ₁₂=11 как результат сложения индекса ₁₃=6 с длиной l(x₁₃, x₁₂)=5. Как видим, работает правило минимизации длины возможных путей от x₁₂ до x_n.

Рисунок 5. Транспортная сеть с разными расстояниями между узлами

3.2.3 Построение оптимальных маршрутов движения транспортных средств

По-другому эта задача называется задачей “О коммивояжере”.

Применительно к предприятию КУП «СПЕЦКОММУНТРАНС» задача формулируется, как построение оптимального маршрута для автомашины, которой необходимо побывать во всех пунктах, где стоят контейнеры с мусором, один раз и выгрузиться на свалке. В общем виде постановка задачи выглядит следующим образом.

Классическая постановка задачи о коммивояжере выглядит следующим образом:

Имеется N городов, которые должен обойти коммивояжер с минимальными затратами. При этом на его маршрут накладывается два ограничения:

маршрут должен быть замкнутым, то есть коммивояжер должен вернуться в тот город, из которого он начал движение;

в каждом из городов коммивояжер должен побывать точно один раз, то есть надо обязательно обойти все города, при этом не побывав ни в одном городе дважды.

Для расчета затрат существует матрица условий, содержащая затраты на переход из каждого города в каждый, при этом считается, что можно перейти из любого города в любой, кроме того же самого (в матрице как бы вычеркивается диагональ). Целью решения является нахождения маршрута, удовлетворяющего всем условиям и при этом имеющего минимальную сумму затрат.

Алгоритм решения

В дипломной работе для решения задачи о коммивояжере применяется метод ветвей и границ, относящийся к методам дискретной оптимизации. В сущности, это полный перебор решений, который оптимизируется за счет того, что при переборе вариантов по определенным признакам отсекаются неоптимальные множества перебора. Так как количество вершин от уровня к уровню возрастает в факториальной прогрессии, то отсечение вершин верхних уровней значительно сокращает общее число перебираемых вариантов.

Общая схема метода такова (данная программная реализация):

а) Все множество разбивается на N-1 подмножеств, каждое из которых оценивается верхней и нижней оценками.

б) Производится отсев неоптимальных множеств по следующему критерию: если нижняя оценка (решение релаксированной задачи) больше минимальной из верхних оценок (решений нерелаксированной задачи), то множество считается очевидно неоптимальным и отсекается, иначе остается до следующей итерации.

в) Находится множество с лучшей нижней оценкой (прогнозом) и дробится на количество равное размерность исходной матрицы минус количество уже пройденных (фиксированных для данного множества) городов.

г) Находятся минимальные верхняя и нижняя оценка. Если они равны и достигнуты на одном и том же множестве, то это значит, что получено оптимальное решение и алгоритм заканчивает работу, иначе возврат к шагу 2.

Математическая модель задачи

N - число городов.

C_{i j} , i, j=1..N - матрица затрат, где C_{i j} - затраты на переход из i-го города в j-й.

X_{i j} - матрица переходов с компонентами:

X_{i j} = 1, если коммивояжер совершает переход из i-го города в j-й,

X_{i j} = 0, если не совершает перехода,

где i, j = 1..N и ij.

Критерий:

(32)

Ограничения:

, i = 1..N (33)

, j = 1..N (34)

U_i - U_j + N X_i j N-1, i, j = 1..N, i j. (35)

Доказательство, что модель (32-35) описывает задачу о коммивояжере:

Условие (33) означает, что коммивояжер из каждого города выезжает только один раз; условие (34) - въезжает в каждый город только один раз; условие (35) - обеспечивает замкнутость маршрута, содержащего N городов, и не содержащего замкнутых внутренних петель.

Рассмотрим условие (35). Применим метод доказательства от противного, то есть предположим, что условие (35) выполняется для некоторого подцикла T из R городов, где R<N. Сложив все неравенства (35) вдоль этого подцикла получим

. (36)

Так как , (37)

то N R (N -1), где R<N, R 0.

Следовательно, не существует замкнутого подцикла с числом городов меньшим, чем N.

Покажем, что существует U_i, которое для замкнутого цикла, начинающегося в некотором начальном пункте, удовлетворяют условию (35). При всех X_{i j} (j-й город не посещается после i-го) в (4) имеем U_i - U_j N - 1, что допустимо в силу произвольных U_i и U_j.

Пусть на некотором R-ом шаге i-й город посещается перед j-м, то есть X_i j = 1. В силу произвольности значений U_i и U_j положим U_i = R, а U_j = R + 1, тогда из (35) имеем:

U_i - U_j + N X_{i j} R - (R - 1) + N = N - 1 (38)

Итак, существуют такие конечные значения для U_i и U_j, что для маршрута, содержащего N городов, условие (35) удовлетворяется как неравенство или строгое равенство. А следовательно, модель (32-35) описывает задачу о коммивояжере.

3.3 Влияние игровых моделей операций на повышение эффективности производства КУП «СПЕЦКОММУНТРАНС»

3.3.1 Модели теории игр. Основные определения и термины

В разных областях целенаправленной деятельности, например при разработке и эксплуатации АСУ, часто возникают конфликтные ситуации, характеризуемые наличием противоположных интересов коллективов, которые пытаются достичь своих целей часто в ущерб друг другу. Размеры ущерба и его конкретное выражение могут быть самыми разными. Особое место в изучении проблем конфликта занимает выбор и сравнительный анализ возможных (допустимых) способов поведения противоборствующих сторон, что даёт основу для принятия каждой стороной разумных решений относительно своих действий. При этом стороны, принимающие решение в рассматриваемых условиях, должны учитывать не только поставленные перед собой цели, но и цели противной стороны.

Игра называется “игрой с нулевой суммой”, когда один игрок выигрывает то, что проигрывает другой (сумма выигрышей равна нулю). При анализе рассматривается выигрыш только одного игрока (“мы”, обозначаемого в дальнейшем как A, “противника” обозначаем как B). Всегда рассматривается A “выигрывающим”, а B всегда “проигрывает”. Ход в игре означает выбор одного из предусмотренных правилами игры вариантов. Различаем личные и случайные ходы. Личные ходы - это сознательный выбор одного из возможных вариантов в данной игровой ситуации. При случайном выборе вариантов задаётся распределение вероятностей возможных исходов. Некоторые игры могут состоять только из случайных ходов (азартные игры, например игра в “кости”). Игры могут состоять также только из личных ходов (например, шахматы) или из смешанных (личных и случайных, например, карточные игры). Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих однозначно выбор хода в зависимости от ситуации в игре. По числу возможных стратегий игры бывают конечные и бесконечные. В конечной игре игрок A имеет m стратегий, а игрок B использует n стратегий. Такая игра называется “игрой mn”. Обозначим эти стратегии соответственно {A₁, A₂, ..., A_m} и {B₁, B₂, ..., B_n}. Если игра состоит из личных ходов, то выбор пары стратегий {A_i, B_j} однозначно определяет выигрыш игрока A, обозначаемый a_ij. Если игра кроме личных ходов содержит ещё и случайные ходы, то при паре стратегий {A_i, B_j} выигрыш есть случайная величина, которую можно оценить математическим ожиданием и также обозначить как a_ij.

Если известны все значения выигрышей при выборе стратегий игроками, то их можно представить в виде матрицы игры . На пересечении i-ой строки (стратегии игрока A) с j-ым столбцом (стратегией игрока B) в матрице игры находится значение выигрыша игрока A (a_ij). Основой игры является предположение, что противник, по меньшей мере, так же разумен, как и мы, и делает всё для того, чтобы помешать нам добиться своей цели. Фактически в ММ игры не учитывается элемент риска, просчёты и ошибки игроков. Важным ограничением ММ игры является то, что выигрыш искусственно сводится к одному единственному числу. На практике приходится учитывать несколько критериев успеха. Стратегия, оптимальная по одному критерию, не обязательно будет оптимальной по другим критериям.

Для определения оптимальных стратегий поведения сторон в состязательных задачах используется:

для игровых моделей с полной информацией наиболее часто аппарат линейного программирования;

при наличии неполной информации (риска) специальные алгоритмы теории игр;

при неопределенности поведения игроков теория статистических решений.

Можно предложить следующую методику решения состязательных задач первого класса.

Во-первых, обязательно составление матрицы выигрышей сторон при сочетании стратегий игроков.

Во-вторых, необходимо выявить основные особенности, взаимосвязи и количественные закономерности. На основании этих взаимосвязей устанавливается уравнение выигрышей конфликтующих сторон. Для каждой из конфликтующих сторон необходимо составить столько уравнений взаимосвязей, сколько имеется у нее стратегий. В этих уравнениях связей число составляющих соответствует числу стратегий, имеющихся в распоряжении у конфликтующей стороны. Обычно предполагается свойство аддитивности выигрышей. Поэтому средние выигрыши игроков представляют собой сумму эффектов.

Каждый эффект представляет собой произведение выигрыша игрока, взятый из матрицы выигрышей, на вероятность появления этой стратегии в его смешанной стратегии .

В-третьих, сводит состязательную задачу с нулевой суммой к задаче линейного программирования. В результате преобразований целевой функцией является средний выигрыш одной из конфликтующих сторон. А в качестве ограничений используются неравенства, определяющие соотношение между ценой игры и ожидаемым выигрышем одного из игроков для каждой его стратегии поведения.

В-четвертых, для облегчения решения задачи линейного программирования в ряде случаев пытаются дать геометрическое толкование решения задачи игровой задачи, представив области ограничений и градиент изменения целевой функции.

Чтобы лучше представить методику построения моделей теории игр, обратимся к простому примеру. Пусть предприятия A и B могут выпускать одинаковую продукцию нескольких видов и должны разработать свои производственные планы с учётом имеющегося спроса на неё. Существует опасность того, что стремление каждого предприятия самостоятельно обеспечить выпуск либо всех, либо произвольно взятых видов продукции приведёт к нежелательным последствиям, а именно к перепроизводству одних и нехватке других изделий. Сбалансировать эту ситуацию поможет игровая модель, в которой множество конкурирующих сторон ограничивается указанными A и B. Их стратегии S_1a, S_2a и S_1b, S_2b соответственно заключаются в выборе различных вариантов производственного плана, а возможные результаты действий (исходы) определяются содержанием принятых планов. Так, если сторона A реализует стратегию (план) S_ia, а сторона B - стратегию (план) S_jb, то в итоге потребители получат только ту продукцию, которая предусмотрена этими планами (исход И_ij). Выигрыш (прибыль) A при этом составит ПA(И_ij) единиц, а выигрыш B - ПB(И_ij) единиц. Следовательно, можно говорить о заинтересованности A и B в тех или иных исходах. Обычно в матрице игры сразу указывается выигрыш игрока A (a_ij), который эквивалентен ПA(И_ij).

Если принято ПA(И_ij)= -ПB(И_ij)=a_ij, то возникает бескомпромиссная ситуация (всё, что выигрывает A, проигрывает B и наоборот). Если же в качестве a_ij рассматривается какая-то комбинация величин ПA(И_ij), ПB(И_ij) (сумма, среднее и т.д.), то тем самым утверждается возможность объединения усилий сторон, ведения переговоров между ними, заключения соглашений в интересах достижения и личных, и общих целей. Таким образом, главным в теории игр является принцип рационального выбора сторонами своих действий. Решающая роль здесь принадлежит информации, которой располагают стороны. Основные вопросы, определяющие содержание исследований игровых моделей, состоит в следующем: “что считается рациональным (оптимальным) решением игры?”, “существует ли в данной игре решение, которое можно назвать оптимальным?”, “как найти оптимальные решения игры?”. Отбор критериев обычно выходит за рамки ММ, хотя и оказывает определяющее влияние на характер получаемых решений. Поэтому в дальнейшем будем считать, что уже известны значения функций выигрыша или сами выигрыши конкурирующих сторон.

3.3.2 Применение теории матричных игр

Теория игр исследует оптимальные стратегии в ситуациях игрового характера. К ним относятся ситуации, связанные с выбором наивыгоднейших производственных решении системы научных и хозяйственных экспериментов, с организацией статистического контроля, хозяйственных взаимоотношений между предприятиями промышленности и других отраслей. Формализуя конфликтные ситуации математически, их можно представить как игру двух, трех и т. д. игроков, каждый из которых преследует цель максимизации своей выгоды, своего выигрыша за счет другого.

Решение подобных задач требует определенности в формулировании их условий: установления количества игроков и правил игры, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (отрицательный выигрыш понимается как проигрыш). Важным элементом в условии задач является стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечной -- функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также сведение задачи к не которой системе дифференциальных уравнений.

На промышленных предприятиях теория игр может использоваться для выбора оптимальных решений, например при создании рациональных запасов сырья, материалов, по луфабрикатов, в вопросах качества продукции и других экономических ситуациях. В первом случае противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, в том числе и страховых, гарантирующих бесперебойную работу производства; сокращения запасов, обеспечивающих минимизацию затрат на их хранение; во втором -- стремления к выпуску большего количества продукции, ведущего к снижению трудовых затрат; к повышению качества, сопровождающемуся часто уменьшением количества изделий и, следовательно, возрастанием трудовых затрат. В машиностроительном производстве противоборствующими направлениями являются стремление к максимальной экономии металла в конструкциях, с одной сто роны, и обеспечение необходимой прочности конструкций -- с другой.

В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении экономических задач, в которых оппозиционной силой выступает природа, и когда вероятность наступления тех или иных событий многовариантна или неизвестна.

Природные условия нередко сказываются и на эффективности работы промышленных предприятий.

3.3.3 Использование теории матричных игр при выборе типов машин для строительно-монтажных работ

Необходимо решить задачу выбора типов машин для производства строительно-монтажных работ с использованием математического аппарата теории игр.

Постановка задачи. Имеется выбор из нескольких типов машин (ТО49, КО-413, ТО28, ЗИЛ-138), технологически пригодных для выполнения данного комплекса механизированных работ. Требуется однозначно определить, какие типы машин из этого набора являются для предприятия более выгодными с точки зрения принятого критерия оценки. В качестве такого критерия могут быть приняты, например, приведённые затраты на выполнение единицы работ, себестоимость работ и др.

По условию задачи требуется привести рассматриваемые типы машин в определённую систему, т.е. произвести их упорядочение.

Упорядочение типов машин в данном случае означает расположение их в определённой последовательности, в порядке предпочтительности одной машины относительно другой, т.е. так, чтобы первый тип был бы для строительной организации выгоднее, чем второй, а второй - предпочтительнее, чем третий и т.д.

Задача решается в условиях, когда известна номенклатура работ на планируемый период, но неизвестно, в каком пропорциональном отношении встретятся механизированные работы различных видов.

Условия задачи заданы платёжной матрицей:

Таблица 9 - Платежная матрица игры

Здесь x₁, x₂, x₃, x₄ - типы машин, которыми может быть укомплектован парк предприятия, а y₁, y₂, y₃, y₄, y₅ - виды строительно-монтажных работ, пропорциональное соотношение между которыми неизвестно.

В клетках, стоящих на пересечении строк и столбцов платёжной матрицы, приведены показатели единичной стоимости выполнения работ машинами соответствующих типов (в условных денежных единицах).

Проверим игру на наличие седловой точки.

Противник при любой нашей стратегии (т.е. для любого вида техники) пытается выбрать такой вид работ, для которого себестоимость будет максимальна

- для нас. (39)

Мы из стратегий выбираем ту, которая минимизирует себестоимость (как результат данного подхода противника)

(40)

.

Решение игры определяем в смешанных стратегиях. Цена игры v заключена между нижней и верхней ценами, т.е. 0,75 v 0.91. Составим задачу линейного программирования, условия которой выражаются следующей линейной системой:

 (41)

где р₁, р₂, р₃, р₄ - искомые пропорции по типам машин, v - гарантированная величина средней себестоимости работ, выше которой данный показатель не поднимется при любом, даже самом неблагоприятном соотношении работ.

Решая задачу симплекс-методом, находим оптимальный план (,,,) и оптимальное значение целевой функции (). Отсюда v=0,79; p₁=0,16; p₂=0; p₃=0,32; p₄=0,52. Следовательно, если пропорции между различными типами машин в составе парка будут соответствовать найденным значениям р₁, р₂, р₃, р₄, то средняя себестоимость выполнения единицы строительно-монтажных работ в целом по парку не превысит 0,79 (усл. ден. ед.) даже в самом худшем случае. Наиболее предпочтительным является тип машин x₄, затем - x₃, затем - x₁, а использование типа машин x₂ экономически нецелесообразно.

Заключение

Современное общество в условиях рынка характеризуется повышением технического уровня, усложнением организационной структуры производства, углублением общественного разделения труда, предъявлением высоких требований к методам планирования и хозяйственного руководства. В этих условиях только научный подход к руководству в экономической жизни общества позволит обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства.

Один из мощных инструментов, которым располагают люди, ответственные за управление сложными системами - моделирование. Модель является представлением реального объекта, системы или понятия в некоторой форме, отличной от формы их фактического, реального существования. Обычно модель служит средством, помогающим в объяснении, понимании или совершенствовании системы. Модель какого-либо объекта может быть или точной копией этого объекта, выполненной в другом масштабе или из другого материала, или отображать некоторые характерные свойства объекта в абстрактной форме, в частности в виде математических выражений. Анализ математических моделей дает в руки менеджеров и других руководителей эффективный инструмент, который может использоваться для предсказания поведения систем и сравнения получаемых результатов. Моделирование позволяет логическим путем прогнозировать последствия альтернативных действий и достаточно уверенно показывает, какому из них следует отдать предпочтение.

Для достижения поставленной цели предприятию требуются материалы, оборудование, энергия, рабочая сила и другие ресурсы. Каждое предприятие такими ресурсами располагает, но общие запасы ресурсов ограничены. Поэтому возникает важная задача: выбор оптимального варианта, обеспечивающего достижение цели с минимальными затратами ресурсов. Таким образом, эффективное руководство производством подразумевает такую организацию процесса, при которой не только достигается цель, но и получается экстремальное значение некоторого критерия эффективности.

В разных областях целенаправленной деятельности, например при разработке и эксплуатации АСУ, часто возникают конфликтные ситуации, характеризуемые наличием противоположных интересов коллективов, которые пытаются достичь своих целей часто в ущерб друг другу. Размеры ущерба и его конкретное выражение могут быть самыми разными. Особое место в изучении проблем конфликта занимает выбор и сравнительный анализ возможных (допустимых) способов поведения противоборствующих сторон, что даёт основу для принятия каждой стороной разумных решений относительно своих действий. При этом стороны, принимающие решение в рассматриваемых условиях, должны учитывать не только поставленные перед собой цели, но и цели противной стороны.

Каждая сторона, участвующая в конфликте, является активной составляющей. Она формулирует свои цели, имеет средства для их достижения, разрабатывает и оценивает по принятым критериям стратегии, осуществляет рациональный (оптимальный) выбор поведения применительно к обстановке. Это означает, что стороны ведут своеобразную игру с различными противниками. Раздел исследования операций, связанный с математическим моделированием условий конфликта и поиском на этой основе оптимальных решений, называют теорией игр.

Повышение эффективности производства определяется как комплексная программа устойчивого, существенного положительного изменения на основе ускоренного развития научно-технического прогресса, рационального использования всех элементов производительных сил. Она проявляется в преобладании конечных факторов в развитии экономики.

Выводы, полученные в ходе изучения экономико-математических методов и моделей в управлении производством, свидетельствуют об улучшении качества управления производством предприятия. Полученные результаты исследования позволили в настоящей дипломной работе предложить пути улучшения и повышения эффективности производства КУП «СПЕЦКОММУНТРАНС».

В качестве основных направлений повышения эффективности производства КУП «СПЕЦКОММУНТРАНС» можно назвать следующие:

обоснованное снижение уровня затрат на перевозку грузов;

оптимизация маршрутов движения транспортных средств;

выбор наилучшего пути передвижения автомобилей;

распределение работ между различного рода транспортными средствами;

выбор наилучшего транспортного средства для выполнения конкретного вида работ;

сокращения длина маршрутов движения автомобилей;

экономия топлива при перевозке грузов;

поиск внутренних резервов по увеличению прибыльности производства и достижению безубыточной работы и другие.

Список использованных источников

Вагнер Г. Основы исследования операций. - М.: Советское радио, 1972. - 561 с.

Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: Советское радио, 1979. - 575 с.

Зайченко Ю.П. Исследование операций. - Киев: Вища школа, 1975. - 590 с.

Ярошевич В.П. Расчётно-графические работы по дисциплине “Применение математических методов в инженерных и экономических расчётах”. - Гомель: БелГУТ, 1987. - 218 с.

Максимей И.В. Модели задач исследования операций: Учеб. пособие. - Гомель: ГГУ, 1984. - 76 с.

Бахтин А.Е. Дискретные задачи производственно-транспортного типа. - Новосибирск: Наука, 1978. - 160 с.

Дегтярёв Ю.И. Исследование операций: Учебник для вузов спец. АСУ. - М.: Высшая школа, 1986. - 320 с.

Кофман А. Займёмся исследованием операций. - М.: Мир, 1966. - 278 с.

Кричевский И.А. О социальной защите при выходе предприятий из кризисного состояния // Финансы - 1997. - №1. - С. 16.

Кричевский И.А. Как улучшить финансовое состояние предприятий ^// Бухгалтерский учёт - 1996. - №12. - С. 53.

Бука Л.И. Совершенствование анализа затрат и финансовых резуль татов на промышленном предприятии // Бухгалтерский учет и анализ - 2000. - №3. - С. 24.

Кравченко Л.И, Кравченко М.А Методика анализа финансовой стабильности предприятия в рыночной экономике // Бухгалтерский учёт и анализ - 1998. - №9. - С. 35.

Кривопущенко О.В. Платёжеспособность предприятия: её оценка при помощи коэффициентов ликвидности и на основании анализа движения денежных потоков // Бухгалтерский учёт и анализ - 1999. - №3. - С. 39.

Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учеб. для студентов экон. спец. - 4-е изд., доп и перераб. - М.: Финансы и статистика, 1997. - 416 с.

Борисов Е.Ф. Экономическая теория: Учебник. -- М.: Юрист, 1997. - 568 с.

Палий В.Ф., Суздальцева Л.П. Технико-экономический анализ производственно-хозяйственной деятельности машиностроительных предприятий: [Учеб.для вузов по спец. "Экономика и управление в машиностроении" ]. - М.: Машиностроение, 1989. - 272 с.

Финансовый анализ деятельности фирмы. - М.: ИСТ-cервис, 1994. - 240 с.

Экономика: Учебник / Под ред. доц. А.С. Булатова. 2-е изд., перераб. и доп. -- М.: Издательство БЕК, 1997. -- 816 с.

Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики. - М.: Экономика, 1988. - 265 с.

Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. - М.: Наука, 1984. - 491 с.

Кантарович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. - М.: Наука, 1979. - 367 с.