3. Изучение структурных характеристик вариационного ряда

При изучении средних величин мы уже отмечали, что мода и медиана являются показателями, характеризующими структуру вариационного ряда, то есть распределение его частот. Как уже отмечалось, мода - это значение признака, наиболее часто встречающееся в данной совокупности. В дискретном ряду модой является просто значение с наибольшей частотой (или частостью).

В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле:

где

- нижняя граница модального интервала

- величина модального интервала

- частоты (или частости) соответственно модального, предшествующего и последующего интервала.

Модальный интервал - это соответственно интервал - имеющий наибольшую частоту (или частость).

Медиана - это условная величина, которая делит всю статистическую совокупность пополам. В дискретном ряду медиана находится как число, расположенное в середине упорядоченного вариационного ряда (если сумма частот является нечетным числом, то медиана совпадает со средним значением в данном ряду, а если - четным, то медиана рассчитывается как полусумма двух средних значений).

В интервальном ряду медиана определяется по формуле:

где

- нижняя граница медианного интервала

- величина медианного интервала

- сумма накопленных частот (частостей) в интервале предшествующем медианному

- сумма частостей.

- порядковый номер медианы в ранжированном ряду.

По соотношению между модой, медианой и средней арифметической можно судить о симметричности ряда распределения.

Симметричным является распределение, в котором частоты двух вариантов, равноотстоящих от центра распределения в обе стороны, равны между собой. В таком распределении частот средняя арифметическая, мода и медиана равны между собой:

= Me =Mo

Если средняя арифметическая превышает значение медианы и моды, то имеет место правосторонняя асимметрия, т.е. большая часть единиц изучаемой совокупности имеет значения, превышающие значение моды.

> Me > Mo

Если, наоборот, средняя арифметическая меньше медианы и моды, то имеет место левосторонняя асимметрия, т.е. большая часть единиц изучаемой совокупности имеет значение признака ниже модального.

< Me < Mo

Моду и медиану называют структурными средними, так как они дают количественную характеристику структуры распределения частот в вариационном ряду. К структурным характеристикам относятся и другие порядковые характеристики вариационного ряда: квартили, делящие ряд на четыре равных части, децили, делящие ряд на 10 равных частей, квинтили, делящие ряд на пять равных частей и другие.

Очевидно, что для деления ряда на четыре части, необходимо рассчитать три квартиля, причем второй квартиль совпадает по своему значению с медианой. Первый и третий квартиль, соответственно, рассчитывают по формулам:

Децили нашли широкое применение в анализе степени дифференциации различных социально-экономических явлений.

Общая схема расчета децилей следующая:

1) Поскольку децили отсекают десятые части совокупности, по накопленным частотам определяем интервалы, куда попадают порядковые номера децилей: для первого дециля - это интервал, куда попадает вариант, отсекающий 10% совокупности с наименьшими значениями признака; для второй - 20% и т.д.;

2) рассчитываем величину децилей по формулам, аналогичным формуле для расчета медианы.

Например, первый и девятый дециль находятся по формулам:

Домашнее задание. Студентам предлагается рассчитать показатели вариации для статистического распределения всех опрошенных по любому из признаков (на основании исходных данных, приведенных в домашнем задании к лекции №3)

Исходные данные для расчета:

Затем предлагается рассчитать для этого же признака две внутригрупповые дисперсии (для группы мужчин и группы женщин), найти среднюю внутригрупповую дисперсию, межгрупповую дисперсию и проверить правило сложения дисперсий.

ЛЕКЦИЯ №6 (по теме «Методы структурного анализа, показатели дифференциации и концентрации признака») пропущена, так как в программу по статистике для заочного отделения эта тема не входит

ЛЕКЦИЯ № 7

ТЕМА «Методология и организация выборочных наблюдений»

Введение

На данной лекции мы более подробно остановимся на способах расчета ошибок и численности выборки при проведении выборочных наблюдений. В этих формулах используются ранее изученные показатели вариации.

Основная цель любого несплошного наблюдения заключается в получении характеристик изучаемой статистической совокупности на основе обследования не всей совокупности, а некоторой ее части. Одним из наиболее распространенных видов несплошных наблюдений является выборочное наблюдение.

При выборочном методе наблюдения обследованию подвергается сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно до 5-10%, реже до 15-25%). При этом изучаемая статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью, или просто выборкой.

Выборочное наблюдение проводится в целях распространения выводов, полученных по данным выборки, на генеральную совокупность.

В отличие от других видов статистических наблюдений, для выборочного наблюдения характерны особые, основанные на законах математической статистики, способы формирования выборочной совокупности.

1. Задачи выборочного наблюдения и различные способы формирования выборки

Задачами выборочного наблюдения являются:

P определение величины возможных отклонений показателей генеральной совокупности (средней или доли) от показателей выборочной совокупности;

P определение объема (численности) выборки, при котором пределы возможной ошибки не превысят некоторой, наперед заданной величины;

P определение вероятности того, что в проведенном выборочном наблюдении ошибка будет иметь заданный предел.

Значение выборочного метода состоит в том, что при минимальной численности обследуемых единиц проведение исследования осуществляется в более короткие сроки и с минимальными затратами труда и средств. Это повышает оперативность статистической информации, уменьшает ошибки регистрации.

При некоторых исследованиях выборочный метод является единственно возможным, например, при контроле качества продукции (товара), если проверка сопровождается уничтожением или разложением на составные части обследуемых образцов.

При соблюдении правил научной организации обследования выборочный метод дает достаточно точные результаты, поэтому его целесообразно применять для проверки данных сплошного учета. Минимальная численность обследуемых единиц позволяет провести исследования более тщательно и квалифицированно.

Например, при переписях населения практикуются выборочные контрольные обходы для проверки правильности записей сплошного наблюдения.

Особую актуальность приобрел выборочный метод в современных условиях перехода к рыночной экономике в связи с отказом от сплошной статистической отчетности. Изменения в характере экономических отношений повлияли на изменение функций учета и статистики, сокращение и упрощение отчетности. Возросли требования к управлению деятельностью предприятий (которые стали полностью самостоятельными хозяйствующими субъектами), а это в свою очередь усилило потребность в обеспечении надежной информацией, увеличило значение дальнейшего повышения ее оперативности. Все это обуславливает все более широкое применение выборочного метода в статистике.

По сравнению с другими методами сбора информации, основанными на несплошном наблюдении, выборочный метод имеет важную особенность. В основе отбора единиц для обследования положены принципы равных возможностей (вероятностей) попадания в выборку каждой единицы генеральной совокупности. Именно в результате соблюдения этих принципов исключается образование выборочной совокупности только за счет лучших или худших образцов. Это предупреждает появление систематических (тенденциозных) ошибок и делает возможным производить количественную оценку ошибки представительства (репрезентативности) отдельных единиц.

Поскольку изучаемая статистическая совокупность состоит из единиц с варьирующими (изменяющимися) признаками, то состав выборочной совокупности может в той или иной мере отличаться от состава генеральной совокупности. Это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности представляет собой ошибку выборки. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, метода отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.

Способы определения ошибки выборки при различных приемах формирования выборочных совокупностей и распространения характеристик выборки на генеральную совокупность составляют основное содержание статистической методологии выборочного метода.

Проведение исследования социально-экономических явлений выборочным методом складывается из ряда последовательных этапов:

1) обоснование (в соответствии с задачами исследования) целесообразности применения выборочного метода;

2) составление программы проведения статистического исследования выборочным методом;

3) решение организационных вопросов сбора и обработки исходной информации;

4) установление доли выборки, т.е. части подлежащих обследованию единиц генеральной совокупности;

5) обоснование способов формирования выборочной совокупности;

6) осуществление отбора единиц из генеральной совокупности для их обследования;

7) фиксация в отобранных единицах (пробах) изучаемых признаков;

8) статистическая обработка полученной выборочной информации с определением обобщающих характеристик изучаемых признаков;

9) определение количественной оценки ошибки выборки;

10) распространение обобщающих выборочных характеристик на генеральную совокупность.

Применяя выборочный метод в статистике, обычно используют два основных вида обобщающих показателей: относительную величину (или долю) альтернативного признака Альтернативный признак - признак, у которого только два значения (условно измеряемые нулем и единицей). Например, пол человека может быть женским (0) или мужским (1). Обычно с помощью понятия «альтернативный признак» измеряется наличие (1) или отсутствие (0) какого-либо качественного признака (например, наличие высшего образования у человека). Любой вопрос в анкете (статистическом формуляре), на который можно дать только два варианта ответа «да» или «нет», также относится к альтернативным признакам опрашиваемых (например, «Жилая площадь Вашей квартиры менее 30 м или нет?»). и среднюю величину количественного признака.

Относительная величина альтернативного признака характеризует долю (удельный вес) единиц в статистической совокупности, которые отличаются от всех других единиц этой совокупности только наличием изучаемого признака. Например, доля нестандартных изделий во всей партии товара, удельный вес продукции собственного производства в товарообороте предприятия общественного питания, удельный вес продавцов в общей численности работников магазина и т.д.

Средняя величина количественного признака - это обобщающая характеристика варьирующего признака, который имеет различные значения у отдельных единиц статистической совокупности. Например, средний образец в товароведении, средняя выработка одного продавца, средняя заработная плата одного работника магазина и т.д.

В генеральной совокупности доля единиц, обладающих изучаемым признаком, называется генеральной долей (обозначается р), а средняя величина изучаемого варьирующего признака - генеральной средней (обычно обозначается ч). В выборочной совокупности долю изучаемого признака называют выборочной долей, или частостью (обозначается w), а среднюю величину в выборке - выборочной средней ( обозначается

Основная задача выборочного обследования в статистике состоит в том, чтобы на основе характеристик выборочной совокупности (частоты или средней получить достоверные суждения о показателях доли р или средней х) в генеральной совокупности.

Способы отбора единиц из генеральной совокупности

Практика применения выборочного метода в экономико-статистических исследованиях использует следующие способы отбора единиц из генеральной совокупности:

индивидуальный отбор - в выборку выбираются отдельные единицы;

групповой отбор - в выборку попадают качественно однородные группы или серии изучаемых единиц;

комбинированный отбор как комбинация индивидуального и группового отбора.

Способы отбора определяются правилами формирования выборочной совокупности. При этом выборка может быть:

P собственно случайная;

P механическая;

P типическая, серийная;

P комбинированная.

Собственно случайная выборка состоит в том, что выборочная случайность образуется в результате случайного (непреднамеренного) отбора отдельных единиц из генеральной совокупности. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки.

Доля выборки (или выборочная доля) есть отношение числа единиц в выборке n к числу единиц в генеральной совокупности N, т.е. n/N.

Механическая выборка состоит в том, что отбор единиц в выборочную совокупность производится из генеральной совокупности, разбитой на равные интервалы (группы). При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратной величине доли выборки. Так, при 2%-ной выборке отбирается каждая 50-я единица (1 : 0,02), при 5%-ной выборке - каждая 20-я единица (1 : 0,05) и т.д.

Таким образом, в соответствии с принятой долей отбора генеральной совокупности как бы механически разбивается на равновеликие группы. Из каждой такой группы в выборку отбирается лишь одна единица.

Для обеспечения репрезентативности (представительности) механической выборки все единицы генеральной совокупности должны располагаться в определенном порядке. При этом по отношению к изучаемому показателю единицы генеральной совокупности могут быть упорядочены по существенному, второстепенному или нейтральному признаку. Это важно для установления порядка отбора единиц в выборку.

Величина средней ошибки механической выборки теоретически должна определяться с учетом показателей внутригрупповых дисперсий. Но так как при механической выборке каждая группа представлена лишь одной единицей, то получить значения внутригрупповых дисперсий выборки практически невозможно. Поэтому для определения средней ошибки механической выборки используют формулы собственно случайной выборки.

В статистике довольно часто применяется так называемая типическая выборка.

При типической выборке генеральная совокупность вначале расчленяется на однородные типические группы, а затем с помощью собственно-случайной или механической выборки производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.

Важной особенностью типической выборки является то, что она дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность. Репрезентативность типической выборки обеспечивается расчленением генеральной совокупности на качественно однородные группы. Это обусловливает представительство в выборке каждой типической группы.

При определении ошибки типической выборки в качестве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий.

Довольно широко в статистике применяется так называемая серийная, или гнездовая выборка.

При серийной выборке из генеральной совокупности отбираются не отдельные единицы, а целые их серии (гнезда). Внутри же каждой из попавшей в выборку серии обследуются все без исключения единицы, т.е. применяется сплошное наблюдение.

Отбор отдельных серий в выборочную совокупность осуществляется либо посредством собственно случайной выборки, либо механическим отбором. Практически серийная выборка производится, как правило, по схеме бесповторного отбора.

По сравнению с типической выборкой серийная выборка дает более высокую ошибку репрезентативности. Это обусловлено тем, что при серийной выборке, как, правило, обследуется сравнительно небольшое число серий.

Рассмотренные способы выборки на практике обычно применяются не в «чистом» виде, а комбинируются в различных сочетаниях и с различной последовательностью.

При одноступенчатом способе отбора каждая отобранная единица подвергается изучению по заданному признаку. Так обстоит дело при собственно-случайной выборке.

При многоступенчатом способе отбора производят отбор из генеральной совокупности отдельных групп, а из групп выбираются отдельные единицы. Так производится типическая выборка с механическим способом отбора единиц выборочную совокупность.

Комбинированная выборка может быть двухступенчатой. При этом генеральная совокупность сначала разбивается на группы. Затем производят отбор групп, а внутри последних осуществляется отбор отдельных единиц.

2. Понятие «ошибка выборки» и способы ее расчета

Теоретической основой выборочного метода является теорема Чебышева (или «Закон больших чисел»), которая применительно к выборке может быть записана в следующем виде:

P { ч - < t м} > 1,(7.1)

где ч - средняя величина признака для генеральной совокупности;

- средняя величина признака для выборочной совокупности;

P - вероятность того, что разность между выборочной среднейи генеральной средней ч будет меньше, чем t м;

t м = Д - так называемая предельная вероятная ошибка выборки;

м - средняя стандартная ошибка выборки;

t - так называемый коэффициент доверия, связывающий размер ошибки и вероятность ее возникновения. Величина t находится по таблице значений функции Лапласа (такая таблица обычно приводится в качестве приложения к многим учебникам по математической статистике и теории вероятностей).

Наиболее часто используемые в экономике уровни вероятности Р и соответствующие им значения t для выборок достаточно большого объема (n > 30) приведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Табличные значения функции Лапласа

Средняя (стандартная) ошибка выборки (м) характеризует среднюю величину возможных расхождений выборочной и генеральной средней (или доли). Ее значение зависит от определяемой характеристики (средней или доли), способа отбора (повторный или бесповторный) и вида выборочного наблюдения (случайный, механический, типичный, серийный, комбинированный).

Для организации выборочного наблюдения экономических явлений наиболее часто используют формулы, представленные в табл. 7.2.

В табл. 7.2 приняты следующие обозначения:

у² - дисперсия средней в выборочной совокупности;

щ - доля признака в выборочной совокупности (частость);

n - число единиц в выборочной совокупности;

N - число единиц в генеральной совокупности;

средняя из выборочных дисперсий типических групп;

- средняя из произведений частостей на их дополнение до единицы;

R - число серий в генеральной совокупности;

r - число серий в выборочной совокупности;

- межгрупповая (или межсерийная) дисперсия средних;

- межгрупповая (или межсерийная) дисперсия долей.

Таблица 7.2

Формулы для расчета средней стандартной ошибки выборки

Исходя из формулы (7.1), можно вывести формулу для определения границ изменения генеральной средней ч (если известна выборочная средняя при заданной вероятности P:

- t м ? ч ? + t м,(7.2)

а также формулу для определения границ изменения доли признака d в генеральной совокупности, если (известна выборочная доля щ) при заданной вероятности P:

щ - t м ? d ? щ + t м.(7.3)

В формулах (7.2) и (7.3) вначале для заданного значения вероятности P по таблице определяется значение коэффициента доверия t, затем рассчитываются значения ошибки м и рассчитывается предельная ошибка Д = tм.

3. Расчет оптимальной численности выборки

Определение необходимой численности выборки при заданной величине допустимой (предельной) ошибки выборки основывается на формуле Д = tм и формулах для определения ошибки м, приведенных в табл. 7.2. Так как генеральная дисперсия неизвестна, то используют какие-либо ее оценки. Формулы для определения достаточной (оптимальной) численности выборки представлены в табл. 7.3.

Значение вероятности P достижения заданного предела ошибки выборки Д определяется по таблице значений функции Лапласа, исходя из соотношения:

,

т.е. вначале рассчитывается t, а затем по таблице определяется P.

Таблица 7.3

Формулы расчета численности выборки при случайном (или механическом) отборе

Пример. Рассмотрим пример решения двух задач на определение ошибки и оптимальной численности выборки.

Задача 1. Определить предельную ошибку выборки по следующим данным.

Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке была произведена 5%-ная механическая выборка, в которую попали 200 счетов. По результатам выборки установлено, что средний срок пользования кредитом составляет 60 дней при среднеквадратическом отклонении 20 дней. В 8 счетах срок пользования кредитом превышал 6 месяцев. Необходимо с вероятностью 0,99 определить пределы, в которых находятся срок пользования краткосрочными кредитами банка и доля краткосрочных кредитов со сроком пользования более полугода.

Решение. Определим среднюю ошибку выборки по формуле для бесповторного отбора.

Доверительной вероятности P=0,99 соответствует t=2,58.

Таким образом, предельная ошибка выборочной средней составит Д=1,4*2,58=3,612?4. Соответственно средний срок пользования краткосрочным кредитом в банке находится в пределах:

? ч ?60+4

То есть с вероятностью 0,99 можно утверждать, что средний срок пользования краткосрочным кредитом составляет от 56 до 64 дней.

Теперь определим по итогам выборки долю кредитов со сроком пользования более полугода:

щ = 8/200 = 0,04 = 4%

Средняя ошибка доли:

Предельная ошибка доли:

Д=0,014*2,58? 0,036=36%

Таким образом, доля кредитов со сроком пользования более полугода в генеральной совокупности находится в пределах:

4%-3,6%? d ?4%+3,6%

То есть с вероятностью 0,99 можно гарантировать, что доля кредитов банка со сроком пользования более полугода в генеральной совокупности находится в пределах от 0,4% до 7,6% от общего числа кредитов.

Задача 2. Определить оптимальную численность выборки по имеющимся данным.

Необходимо произвести выборочную регистрацию цен для определения средней цены за 1 кг овощей. Известно, что цены на овощи колеблются от 40 до 70 руб. за 1 кг. Сколько торговых точек необходимо обследовать, чтобы с вероятностью 0,954 можно было утверждать, что ошибка выборки при определении средней цены не превысит 2 руб. за 1 кг.

Примечание. Обычно на практике расчет объема выборки производят по формуле для повторного отбора:

Если полученный объем выборки превышает 5% численности генеральной совокупности, то расчеты корректируют на «бесповторность»:

Если доля выборки не превышает 5%, к формуле бесповторного отбора можно не переходить, так как это существенно не скажется на величине n.

Величину дисперсии у² обычно примерно оценивают по формуле у = 1/6 (x_max - x_min), которая справедлива для нормального закона распределения.

Решая задачу, предполагаем, что распределение цен соответствует нормальному закону распределения. Тогда у = 1/6 (x_max - x_min) = 1/6 (70-40) = 5 (руб.)

Вероятности P=0,954 соответствует t=2. Рассчитаем численность выборки по формуле для повторного отбора:

Поскольку доля выборки не превышает 5% (25/5000=0,005 = 0,5%), то к формуле бесповторного отбора можно не переходить.

ЛЕКЦИЯ № 8

ТЕМА «Методы и показатели оценки тесноты статистических взаимосвязей»

Введение

Изучение статистических взаимосвязей занимает наиболее важное место в любом статистическом исследовании, так как статистика - это, прежде всего, наука о количественных закономерностях и взаимосвязях экономических явлений и процессов. Изучение статистических взаимосвязей позволяет выявить факторы (т.е. причины), влияющие на неблагоприятные события в жизни общества и экономике страны, и своевременно принять те или иные меры по регулированию этих процессов. Прежде, чем изучать разнообразные методы оценки статистических взаимосвязей, необходимо разобраться в том, что такое «статистическая взаимосвязь», и чем статистические связи отличаются от других видов взаимосвязей между явлениями.

1. Понятие «статистическая взаимосвязь»

В статистике принято выделять два вида связи между явлениями:

1) функциональные (или детерминированные);

2) статистические (или стохастические).

Для первого вида связи характерна однозначная строго определенная зависимость между взаимосвязанными показателями или признаками.

Для второго вида связи характерно то, что одному значению независимого признака или показателя может соответствовать несколько значений другого (зависимого) признака или показателя. Простейший пример: люди, имеющие одинаковый рост, не обязательно будут иметь одинаковый вес. Предприятия одинакового размера (то есть с одинаковой численностью работающих или одинаковой стоимостью имущества) совсем не обязательно будут иметь одинаковую прибыль или объем выпускаемой продукции. Но в то же время от размера предприятия зависит и объем продукции, и его прибыль. Статистические связи обычно проявляются в массовом масштабе в виде некоторой усредненной зависимости. Например, средний вес более высоких людей больше, чем средний вес более низких, но отдельный, более высокий человек, может иметь более низкий вес, чем другой человек, рост которого меньше.

Обычно, если между какими-то признаками или показателями имеется статистическая зависимость, то одни из них являются независимыми, то есть изменяются независимо от других, а другие, наоборот, зависимыми, то есть их изменения тесно зависят с изменением других. Условно можно считать, что независимые признаки являются причинами (т.е. факторами), а зависимые - следствиями или результатами.

В статистике независимые признаки принято называть факторными, а зависимые - результативными. Однако не всякая статистическая связь отражает какую-то причинно-следственную зависимость. Иногда статистическая зависимость может носить случайный характер и не отражать реальную причинно-следственную взаимосвязь. Обычно, обнаружив статистическую зависимость между какими-то процессами или явлениями, ученые выдвигают гипотезу о наличии причинно-следственной зависимости, а потом проверяют эту гипотезу на практике или доказывают ее истинность с помощью других методов.

Статистические связи в статистике часто называют корреляционными (от английского слова «correlation» - отношение или соотношение), а показатели, используемые для оценки степени тесноты статистических связей - показателями корреляции.

2. Классификация методов оценки тесноты статистических связей

Для выявления статистических связей и измерения степени их тесноты в статистике используются различные методы, основными из которых являются:

1. Метод параллельных рядов.

2. Метод таблиц сопряженности.

3. Расчет специальных аналитических показателей (или показателей корреляции Слово «корреляция» происходит от английского слова «correlation» (т.е. отношение или соотношение). ), оценивающих степень тесноты связи;

4. Построение уравнений регрессии, количественно выражающих статистическую взаимосвязь между двумя и более признаками, в виде уравнения некоторой математической функции Различные виды и способы построения уравнений регрессии рассматриваются на следующей лекции..

Метод параллельных рядов заключается в том, что параллельно выстраивается два ряда значений количественно измеримых признаков (показателей), причем первый (ряд значений признака x) из них выстраивается в порядке возрастания. Затем проверяется, будет ли соблюдаться тенденция к возрастанию соответствующих значений признака y во втором ряду. Если такая тенденция соблюдается, значит, между двумя признаками имеется статистическая взаимосвязь.

Таблица сопряженности - эта таблица, в которой по вертикали и по горизонтали выстроены различные значения двух признаков (x и y) в порядке возрастания. На пересечении строк и столбцов таблицы стоят числа, выражающие количество статистических единиц, одновременно обладающих соответствующими значениями признаков (x и y). Если ненулевые (т.е. не равные нулю) элементы таблицы сосредоточены вокруг ее главной диагонали, значит, между признаками имеется связь.