P(Z= х^K+1)= P(K=k)= _kp_x q_x+k (3.3.1.1.2)

_kp_x - імовірність того, що індивід віку (х) проживе принаймні k років.

q_x+k - імовірність того, що індивід (х) вмре протягом 1 року після досягнення віку x+k.

для k=0, 1, 2, …. Разова нетто премія позначається символом А_х і задається формулою

A_x:=E(х^K+1)= _kp_x q_x+k (3.3.1.1.3)

Дисперсію величини Z можна знайти з тотожності

D(Z)= E()- (3.3.1.1.4)

Замінюючи х на e^-д, бачимо, що

E()= E(e^-2д(K+1)) (3.3.1.1.5)

що є разовою нетто-премією, обчисленою при подвоєній, в порівнянні з початковою, нормі відсоткового прибутку.

2. Означення. Страхування, що забезпечує страхову виплату тільки при настанні смерті протягом n років, відоме як тимчасове страхування на термін n. [4]

Наприклад, нехай сума 1 виплачується тільки у випадку смерті протягом перших n років, причому фактичним часом виплати надалі є кінець року смерті. Маємо

Z= (3.3.1.1.6)

Разова нетто-премія позначається у цьому випадку через . Вона дорівнює

:= _kp_x q_x+k (3.3.1.1.7)

Зокрема, у цих позначеннях=A_x. Знову другий момент Е(Z²) дорівнює разовій нетто-премії при подвоєній, по відношенню до початкової, нормі відсоткового прибутку, як видно з рівності



Z² = (3.3.1.1.8)

3.3.1.2 Чисті доживання

Означення. Чисте доживання тривалістю n років забезпечує виплату страхової суми, якщо тільки застрахований живий до кінця n років:

Тоді поточна вартість

Z = (3.3.1.2.1)

У цьому випадку разова нетто-премія позначається символом і задається формулою

:= _np_x (3.3.1.2.2)

Формула дисперсії для бернулівської випадкової величини дає

D(Z) = _np_{x n}q_x (3.3.1.2.3)

3.3.1.3 Доживання

Припустимо, що страхова сума виплачується в кінці року смерті при її настанні протягом перших n років, і в кінці n-ного року - в іншому випадку:

Z= (3.3.1.3.1)

Разова нетто-премія для такого страхування позначається через Позначаючи поточні вартості для (3.3.1.1.6) і (3.3.1.2.1), відповідно, через Z₁ i Z₂ маємо

Z=Z₁+Z₂ (3.3.1.3.2)

Отже

E(Z) = + (3.3.1.3.3)

D(Z) = D(Z₁)+2Cov(Z₁ Z₂)+D(Z₂) (3.3.1.3.4)

Добуток Z₁Z₂ завжди дорівнює 0, тому

Cov(Z₁ Z₂) = E(Z₁ Z₂)- E(Z₁)E(Z₂) = - (3.3.1.3.5)

Таким чином, дисперсія Z дорівнює

D(Z) = D(Z₁)+ D(Z₂)-2 (3.3.1.3.6)

За останньою тотожністю ризик для страхового поліса на доживання, що вимірюється дисперсією, менший, ніж для тимчасового страхування однієї людини та чистого доживання іншої.

Досі задля простоти припускалося, що страхова сума дорівнює 1. Якщо ж страхова сума дорівнює С, то разова нетто-премія отримується з уже знайденої множенням на С, а дисперсія - множенням на С².

Розглянемо на завершення довічне відкладене на m років страхування. Поточна вартість його страхової виплати є

Z = (3.3.1.3.7)

Відповідна разова нетто-премія позначається через _m|A_x і дорівнює

_m|A_x: = _mp_x A_x+m (3.3.1.3.8)

_m|A_x = A_x - (3.3.1.3.9)

Другий момент Е(Z²) знову дорівнює разовій нетто-премії при подвоєній, по відношенню до початкової, нормі процентного прибутку.

3.3.2 Страхування з виплатою в момент смерті

В попередніх розділах припускалося, що страхова сума виплачується наприкінці року смерті. Це припущення не відображає реальної практики страхування, але має ту перевагу, що обчислення можна проводити безпосередньо за таблицею тривалості життя.

Нехай тепер страхова сума виплачується в момент смерті, тобто в момент Т. Поточна вартість страхової суми 1, що виплачується безпосередньо в момент смерті, дорівнює

Z = (3.3.2.1)

Разова нетто-премія позначається в цьому випадку . Використовуючи (3.2.2.2), знаходимо

= _t p_xµ_x+tdt (3.3.2.2)

Виходячи з припущення, що _uq_x- лінійна функція від u і використовуючи незалежність К і S та рівномірний розподіл S, отримуємо

= E()E((1+i)^1-S) = A_x (3.3.2.3)

Подібна формула може бути одержана і для тимчасових страхувань. Для страхувань доживання множник і/д використовується лише в компоненті, що відповідає тимчасовому страхуванню

= += +() (3.3.2.4)

Нарешті, припустимо, що страхова сума виплачується в кінці m-тої частини року смерті, тобто в момент К+S^(m). Тоді поточна вартість страхової суми 1 є

Z = (3.3.2.5)

Використовуючи теж припущення і припущення про незалежність К і S^(m) .

В результаті отримаємо

= E()E( = A_x (3.3.2.6)

3.3.3 Загальні типи страхування життя

Спочатку розглянемо страхування життя зі змінною з року в рік страховою сумою і припустимо, що ця сума виплачується в кінці року смерті. Якщо с_j позначає страхову суму, гарантовану на j-тий рік після видачі поліса, то поточна вартість контракту

Z = c_K+1 (3.3.3.1)

Розподіл величини Z і, зокрема, разова нетто-премія та вищі моменти легко обчислюються:

E(Z^h)= _kp_x q_x+k (3.3.3.2)

Вказаний тип страхування можна описати як комбінацію відкладених страхувань життя, кожне з яких має сталу страхову суму. Тому разова нетто-премія може бути обчислена таким чином:



E(Z) = c₁A_x+(c₂- c₁)_1|A_x+(c₃- c₂) _2|A_x+… (3.3.3.3)

У випадку коли страховка покриває тільки n років, тобто коли с_n+1=c_n+2=…=0, страхування можна також зобразити у вигляді комбінації тимчасових страхувань, що починаються зараз же

E(Z) = c_n + (c_n-1-c_n) + (c_n-2-c_n-1) + (3.3.3.4)

Якщо страхова виплата здійснюється одразу після смерті, то страхова сума може бути, в загальному випадку, деякою функцією с(t) від часу (t?0), і тоді

Z = c(T) (3.3.3.5)

а разова нетто-премія буде

E(Z) = _tp_x µ_x+t dt (3.3.3.6)

Фактичне обчислення разової нетто-премії можна звести до обчислення в дискретній моделі ((3.3.3.2) з h=1). Із

E(Z) = = = (3.3.3.7)

Отримуємо

E(Z) = _kp_x q_x+k (3.3.3.8)

3.3.4 Стандартні типи змінних страхувань життя

Почнемо з розгляду стандартних типів страхування життя, коли страхова сума виплачується наприкінці року смерті.

Розглянемо стандартне довічне зростаюче страхування, при якому с_j=j. Поточна вартість страхової суми є

Z = (K+1) (3.3.4.1)

Разова нетто-премія позначається у цьому випадку через (ІА)_х і дорівнює

(ІА)_х:= _kp_x q_x+k (3.3.4.2)

Для відповідного тимчасового страхування на термін n років маємо

Z = (3.3.4.3)

Його разова нетто-премія позначається через і може бути обчислена як сума перших n членів в (3.3.4.2). Подібно до формул (3.3.3.3) і (3.3.3.4), ми можемо записати

= A_x+_1|A_x +…+_n-1|A_x- n_n|A_x (3.3. 4.4)

= - - -…- (3.3.4.5)

Припустимо тепер, що страхова сума виплачується зразу ж після смерті, тобто Z має вигляд (3.3.3.5) з деякою функцією с(t). Для таких страхувань використаємо припущення. Якщо страхова сума зростає щорічно, то c(t)=[t+1] i

Z = (K+1) (3.3.4.6)



Разова нетто-премія

(І)_х = (ІА)_х (3.3.4.7)

Розглянемо тепер ситуацію, коли сума, що виплачується, зростає q разів на рік, кожен раз на величину 1/q:

Z = (K+S^(q)) (3.3.4.8)

Відповідна разова нетто-премія

()_х = (І)_х - + A_x (3.3.4.9)

Підставляючи сюди вирази із (3.3.4.3) і (3.3.4.6), знаходимо

()_х = (ІА)_х - А_х + A_x (3.3.4.10)

У випадку неперервно зростаючої страхової суми c(t)=t її поточна вартість

Z = T (3.3.4.11)

а разову нетто-премію

()_x= (ІА)_х - А_х + A (3.3.4.12)

Підсумовуючи все сказане маємо наступну узагальнюючу таблицю:



Основні типи страхування:

Тип страхування	Разова нетто-премія	Поточна вартість
Довiчне страхування	Ax:=E(хK+1)= kpx qx+k	Z =
Тимчасове страхування на термiн n.	:= kpx qx+k	Z=
Чисте доживання тривалiстю n рокiв	:= npx	Z =
Страхування з виплатою в момент смертi	= t pxµx+tdt	Z =
Стандартне довiчне зростаюче страхування	(ІА)х:= kpx qx+k	Z = (K+1)
Зростаюче тимчасове страхування на термiн n рокiв	= Ax+1|Ax +…+n-1|Ax- nn|Ax	Z =

Приклади

Приклад 1. Необхідно знайти разову нетто-премію та поточну вартість договору страхування, що забезпечує страхову виплату тільки при настанні смерті протягом 2 років чоловіка у віці 45років, якщо і=10%.

Розвязок:

Для знаходження даної премії нам необхідно використати формулу (3.3.1.1.7), а також таб. тривалості життя. Маємо

=0,9•0,98689•0,01311+(0,9)²•0,98633•0,01406?0,022.

Використавши формулу (3.3.1.1.1) знайдемо поточну вартість

Z=0,9•0,9=0,81

Приклад 2: Для людини (95) ймовірність вмерти в наступні 5 років визначається наступним чином:

_kq₉₅ = 0,14 + 0,03k; k = 0,1,2,3,4;

Необхідно знайти разову нетто-премію для страхування життя виплачує мого 10000грн. в кінці року смерті.

Розв'язок:

Використаємо формулу (3.3.1.1.7). Так як

=1, =0, при k5.

Тоді

=

Отже, разова нетто-премія складає 2660грн.

Приклад 3. Час життя описується моделлю де Муавра з граничним віком щ=120р, а ефективна річна відсоткова ставка і=15%. Необхідно знайти нетто-премії для людини у віці 40р,якщо укладається договір:

а) довічного страхування;

б) 5-ти річного страхування життя

Розвязок:

Залишковий час життя застрахованого має рівномірне розподілення на проміжку (0,(0,80)

(t) = , 0 < t < 80

Інтенсивність відсотків

Коефіцієнт дисконтування

Маємо:

а) = dt = =8,944%

б) = dt = = 4,497%

Приклад 4. Необхідно визначити разову нетто-премію контракту чистого доживання на 4 роки жінки у віці 60 років, якщо і=10%?

Розвязок:

Для знаходження даної премії використаємо формулу (3.3.1.2.2)

Коефіцієнт дисконтування в даному випадку становить х=90%. Використовуючи таб. тривалості життя маємо

:=(0,9)⁴•0,98142?0,64



3.4 Страхові ануїтети. Довічні ануїтети

Будемо використовувати такі основні терміни і позначення :

- Y-поточна вартість страхового ануїтету

- -разова нетто-премія довічного прямого ануїтету

- - разова нетто-премія прямого довічного ануїтету, обмеженого терміном n

_{- m|} - разова нетто-премія відкладеного на m років прямого довічногo ануїтету з щорічними виплатами

- - разова нетто-премія довічного ануїтету з виплатами m разів на рік

- - разова нетто-премія безпосереднього тимчасового ануїтету

- E(Y)- разова нетто-премія змінного довічного ануїтету ,,,…

- (I)_x- разова нетто-премія змінного довічного ануїтету з виплатами розміром r_k= k+1

Означення. Довічний ануїтет складається з щорічних виплат, які здійснюються доти, доки отримувач (початкового віку х) живий. [4]

Таким чином, довічний ануїтет можна розглядати як правильний ануїтет з терміном, що залежить від тривалості життя Т. Його поточна вартість є випадковою величиною, яку будемо позначати Y.

Разова нетто-премія для довічного ануїтету дорівнює математичному сподіванню Е(Y). Крім того, нас буде цікавити і розподіл величини Y, так само, як і її моменти.

Довічний ануїтет може, з одного боку, бути страховою сумою за полісом страхування (як комбінації чистих доживань); з іншого боку, періодичні виплати страхових внесків можна також розглядати як ануїтет, звичайно, з алгебраїчною зміною знака.



3.4.1 Елементарні довічні ануїтети

Розглянемо прямий довічний ануїтет, який передбачає щорічні виплати розміром 1, доки застрахований живий. Виплати здійснюються в моменти 0, 1, ...., К. Поточна вартість такого потоку платежів є

Y= 1+ + +…+= (3.4.1.1)

розподіл цієї дискретної випадкової величини задається формулою

P(Y = ) = P(K=k) = _kp_x q_x+k (3.4.1.2)

При цьому разова нетто-премія, що позначається символом , є математичним сподіванням величини (3.4.1.1):

:= E() = _kp_x q_x+k (3.4.1.3)

Поточну вартість (3.4.1.1) можна також зобразити у вигляді

Y = (3.4.1.4)

де І_А - індикаторна функція події А. Математичне сподівання величини (3.4.1.4) є

= _kp_x (3.4.1.5)

Таким чином, ми знайшли два вирази для разової нетто-премії прямого довічного ануїтету.

У виразі (3.4.1.3) ми розглядаємо весь ануїтет як одне ціле, а в (3.4.1.5) ми його уявляємо як суму чистих доживань.

Разова нетто-премія може бути також зображена через разову нетто-премію довічного страхування, визначену в (3.3.1.1.1) і (3.3.1.1.3). За рівністю (3.1.2.2) разова нетто-премія (3.4.1.1) дорівнює

Y = = (3.4.1.6)

Переходячи до математичних сподівань, отримуємо

= (3.4.1.7)

Після перетворення цієї рівності до вигляду

1= d+A_x (3.4.1.8)

можемо тлумачити її в термінах боргу величиною 1 з виплатою відсотків авансом і останнім платежем 1 у кінці року смерті. Звичайно, моменти вищого порядку для Y можна також знайти з (3.4.1.6), наприклад

D(Y) = (3.4.1.9)

Поточною вартістю прямого довічного ануїтету, обмеженого терміном n років, є

Y = (3.4.1.10)

Подібно до (3.4.1.3) і (3.4.1.5), разова нетто-премія може бути зображена або як



= _kp_x q_x+k + _np_x (3.4.1.11)

або як

= _kp_x (3.4.1.12)

Ми знову маємо

Y =

Але тут Z визначається за допомогою (3.3.1.3.1). Як наслідок отримуємо

= (3.4.1.13)

Відповідні безпосередні довічні ануїтети передбачають виплати в моменти 1, 2, …, К

Y=++…+= (3.4.1.14)

Випадкові величини (3.4.1.1) і (3.4.1.14) відрізняються лише однією складовою, що дорівнює 1. Таким чином, разова нетто-премія а_х задається рівністю

= -1 (3.4..1.15)

Поточна вартість відкладеного на m років прямого довічногo ануїтету з щорічними виплатами розміром 1 є

Y = (3.4.1.16)

Його разова нетто-премія _m|може бути обчислена за допомогою будь якого із наступних очевидних співвідношень:



_m| = _mp_x (3.4.1.17)

_m| = - (3.4.1.18)

3.4.2 Виплати, що здійснюються частіше, ніж раз на рік

Розглянемо випадок, коли страхові виплати величиною 1/m здійснюються m разів на рік, тобто в моменти часу 0, 1/m, 2/m, …, доки застрахований початкового віку x живий. Разова нетто-премія такого ануїтету позначається символом . За аналогією до (3.4.1.8) маємо

1=+ (3.4.2.1)

Отже, отримуємо

= - (3.4.2.2)

Це рівняння можна тлумачити таким чином: довічний ануїтет з виплатами m разів на рік може розглядатися як різниця двох нескінчених потоків платежів, один з яких починається в момент 0, а інший - в момент K+S^(m) .

Щоб виразити через , знову використаємо припущення. Тоді (3.3.2.6) дозволить нам виразити з (3.4.2.2) через A_x; якщо потім замінити A_x на1-d, то (3.4.2.2) набуде вигляду

= - (3.4.2.3)

Увівши позначення

б(m) = та в(m) =

можна записати (3.4.2.2) у більш стислому вигляді:

= б(m) - в(m) (3.4.2.4)

Разова нетто-премія тимчасового страхування життя з m авансовими виплатами на рік може бути також обчислена за допомогою б(m) і в(m):

= - _np_x = б(m) - в(m) - _np_x (б(m) - в(m)) = б(m) - в(m)(1- _np_x ) (3.4.2.5)

Разова нетто-премія безпосереднього тимчасового ануїтету (заборговані платежі) може бути обчислена в термінах відповідного прямого тимчасового ануїтету

= - (1- _np_x ) (3.4.2.6)

Повернемося тепер до обчислення . Рівняння (3.4.1.8) і (3.4.2.1) дають точний вираз

= - () (3.4.2.7)

який можна тлумачити таким чином: довічний ануїтет у лівій частині рівності забезпечує виплати величиною 1/m в моменти 0, 1/m, …,K+S^(m) -1/m; його можна подати як різницю двох тимчасових ануїтетів: одного - з виплатами в моменти 0, 1/m, …,K+1-1/m і другого - з виплатами в моменти K+S^(m), K+S^(m)+1/m, …,K+1-1/m. Цей другий ануїтет може, в свою чергу, розглядатися як різниця двох нескінченних потоків платежів (одного - з початком в момент K+S^(m)і другого - з початком в момент K+1). Перший тимчасовий ануїтет має ту саму поточну вартість, що і прямий ануїтет з K+1 щорічними виплатами розміром d/d^(m).

Використовуючи припущення маємо



= - в(m) (3.4.2.8)

3.4.3 Змінні довічні ануїтети

Почнемо з розгляду довічного ануїтету з виплатами розміром ,,,… в моменти часу 0, 1, …, К. Його поточна вартість

Y = (3.4.3.1)

і разова нетто-премія

E(Y) = _kp_x (3.4.3.2)

Розглянемо тепер загальний вигляд страхування життя з виплатами z₀,z_1/m,z_2/m,… в моменти часу 0, 1/m, 2/m, …, K+S^(m). Почнемо з заміни m виплат кожного року однією авансовою виплатою з тією ж поточною вартістю

= , k = 0,1,2… (3.4.3.3)

Коректуючий член у рік смерті віднімає страхову суму в момeнт k+u,

0<u<1, яка є поточною вартістю виплат, які вже не будуть здійснені до кінця рок

c(k+1) = , k = 0,1,2… (3.4.3.4)

де J=J(u) - множина тих j?{1, 2, …, m-1}, для яких j/m>u.

c_k+1= du = (3.4.3.5)

Таким чином, разова нетто-премія для ануїтету загального виду з m виплатами на рік дорівнює

_kp_x - _kp_xq_x+k (3.4.3.6)

Нехай миттєва норма виплат в момент t дорівнює r(t). Тоді поточна вартість є

Y = r(t)dt (3.4.3.7)

Разова нетто-премія

E(Y) = _kp_x dt (3.4.3.8)

може бути обчислена за (3.4.3.6) з коефіцієнтами

=

c_k+1=

3.4.4 Стандартні типи довічних ануїтетів

Розглянемо довічний ануїтет вигляду (3.4.3.1) r_k= k+1. Його разова нетто-премія, що позначається символом (I)_x, може бути обчислена безпосередньо за допомогою (3.4.3.2).

Величини (I)_x та (IA)_x зв'язує просте співвідношення. Замінюючи n на К+1 у рівності

= d(I + n (3.4.4.1)

і обчислюючи математичні сподівання, отримаємо



= d(I + (IA)_x (3.4.4.2)

Розглянемо випадок m платежів на рік із щорічними надбавками

= , j = 0,1,…,m-1 (3.4.4.3)

Разову нетто-премію цього ануїтету позначають символом (I. Подаючи цей ануїтет у вигляді суми відкладених ануїтетів, отримаємо з (3.4.2.4)

(I = _kp_x = _kp_x(б(m) - в(m)) = б(m)_kp_x - в(m)_kp_x= б(m)(I)_x- в(m) (3.4.4.4)

Поклавши m >?, отримаємо відповідний неперервний ануїтет з інтенсивністю виплат r(t)=[t+1]. Його разова нетто-премія задається рівністю

(I)_x = _tp_x dt = б()(I)_x- в() (3.4.4.5)

Поточною вартістю неперервного ануїтету з інтенсивністю виплат r(t)=t є

Y = dt = ( = (3.4.4.6)

Перехід до математичних сподівань дає формулу

(= (3.4.4.7)

Підсумовуючи все сказане маємо наступну узагальнюючу таблицю:

Довічні ануїтети:

Тип	Нетто-премія	Поточна вартість
Прямий довiчний ануїтет	= kpx	Y= 1+ + +…+=
Прямий довiчний ануїтет, обмежений термiном n рокiв	= kpx	Y =
Безпосереднi довiчнi ануїтети	= -1	Y=++…+
Biдкладений на m рокiв прямий довiчний ануїтет	m| = mpx m| = -	Y =
Страховi виплати величиною 1/m здiйснюються m разiв на рiк	= -
Aнуїтет загального виду з m виплатами на рік, якщо миттєва норма виплат у момент t дорівнює r(t)	E(Y) = kpx dt	Y = r(t)dt

Приклади

Приклад 1. Відомо, що

l₃₀=94070, l₃₁=93619, l₃₂=93199

Необхідно знайти сучасну вартість 3-х річного тимчасового довічного ануїтету, виплачує мого раз в рік на початку року у розмірі 10000грн. Вік людини на момент укладання договору - 30 р. Річна відсоткова ставка і=25%

Розвязок:

Шукана велечина дорівнює

10000

де, в свою чергу,

= · (+) = 2,4302

Так що, вартість даного ануїтету рівна 24302грн.

Приклад 2. Потрібно визначити поточну вартість та разову нетто-премію довічного прямого ануїтету, який передбачає щорічні виплати розміром 1, якщо застрахований у віці 55років чоловік живий протягом 3років, а і=10%.

Розвязок:

Для визначення поточної вартості використаємо формулу (3.4.1.1), а нетто-премії-формулу (3.4.1.3) та таблиці тривалості життя.

Поточна вартість

= 1+0,9+(0,9)²+(0,9)³=3,43

Разова нетто-премія

? 0,077+0,083+0,085+0,096?0,341

Приклад 3. Необхідно знайти разову нетто-премію прямого довічного ануїтету, обмеженого терміном 2 роки для чоловіка застрахованого у 43 роки,якщо і=10%.

Розвязок:

Для знаходження премії використаємо формулу (3.4.1.12)та таблиці тривалості життя. Маємо

= 1•0,98921 + 0,9•0,98844 ? 1,87869

Приклад 4. Використовуючи данні приклада №3 необхідно знайти поточну вартість та відповідну разову нетто-премію безпосереднього довічного ануїтету.

Розвязок:

Для знаходження поточної вартості використаємо формулу (3.4.1.14). Маємо

Y= х = 0,9

Для обчислення разової нетто-премії використаємо формулу (3.4.1.15). Тоді

а_х=1,87869-1=0,87869

3.5 Нетто-премії

Будемо використовувати такі основні терміни і позначення :

- L - загальний збиток страхувальника

- Р_х- щорічна нетто-премія довічного страхування

- - щорічна нетто-премія тимчасового страхування на термін n років

- - щорічна нетто-премія контракту чистого доживання

- - щорічна нетто-премія контракту доживання

- ,- щорічні нетто-премії, що сплачуются m разів на рік

Страховий поліс визначає, з одного боку, страхову суму, яка виплачується страховою компанією (вона може складатися з одного платежу або серії платежів), а, з іншого боку, премії (чи внески), що сплачуються страхувальником.

Розрізняють три види премій: [4]

1. Одноразова премія.

2. Періодичні премії сталої величини (однакові премії).

3. Періодичні премії різної величини.

Для періодичних премій, крім їх величини, повинні додатково зазначатись їхня частота та тривалість виплат. Звичайно премії виплачуються авансом.

Визначимо для страхового поліса загальний збиток L страхувальника як різницю між поточною вартістю страхових виплат та поточною вартістю премій.

Цей збиток повинен розглядатися в алгебраїчному сенсі: допустимий вибір премій повинен впливати на зміну випадкової величини L, котра може набувати як додатніх, так і від'ємних значень.

Означення. Премія називається нетто-премією (чистою премією) тоді, коли вона відповідає принципу еквівалентності

E(L)=0 (3.5.1)

тобто, коли математичне сподівання загального збитку рівне нулю. [2]

Якщо страховий поліс оплачується разовою премією, то разова нетто-премія, визначена у питаннях 3.3 і 4.4, відповідає умові (3.5.1).

Якщо премії постійної величини вносяться періодично, то співвідношення (3.5.1) однозначно визначає нетто-премію. Звичайно, у платіжному режимі 3 (премії різної величини) рівняння (3.5.1) недостатнє для визначення нетто-премій. Далі розглянемо с пособи розрахунку премій однакової величини, що сплачуються щорічно або декілька разів на рік.

Елементарні види страхування

3.5.1. Довічне та тимчасове страхування

1. Розглянемо довічне страхування зі страховою сумою 1, і щорічними преміями величиною Р_x . Загальний збиток страхувальника є

L = - P_x (3.5.1.1)

Із (3.5.1) випливає, що

P_x = (3.5.1.2)

Зобразивши платежі премій як різницю двох безтермінових рент (однієї з початком в момент 0, другої - в момент К+1), отримаємо

L = (1+) - (3.5.1.3)

Таким чином

DL = (1+)² D (3.5.1.4)

Це рівняння показує, що страхувальник входить до зони підвищеного ризику (вираженого дисперсією величини L), якщо дане страхування оплачується щорічними нетто-преміями замість разової нетто-премії. Рівняння (3.5.1.2) можна використати, щоб отримати дві формули для Р_x, яким можна дати повчальні інтерпретації. Поділивши рівняння (3.4.1.8) на , отримаємо рівність

= d+ (3.5.1.5)

Вона має таку інтерпретацію: борг величиною 1 може бути амортизований щорічними авансовими платежами по .Альтернативним способом можна щорічно сплачувати авансом відсотки d, а суму 1 - в момент К+1; щорічна нетто-премія для відповідного страхування життя є Р_x . Рівність (3.5.1.5) означає, що сума щорічних платежів однакова при кожному з цих способів.

Рівність (3.5.1.5) нагадує нам іншу рівність із теорії складних відсотків

= d + (3.5.1.6)

Замінюючи в (3.5.1.2) на (1- , знаходимо

= (3.5.1.7)

Еквівалентну рівність

= + (3.5.1.8)

можна тлумачити таким чином: покриття видатків на суму 1 може бути забезпечене щорічними платежами величиною Р_x; з іншого боку, можна уявити собі, що позичається сума A_х для виплати разової нетто-премії. Відсотки на борг A_х виплачуються щорічно авансом, а сам борг повертається в кінці року смерті; щорічна премія для відповідного страхування життя є Р_xА_x. Рівність (3.5.1.8) показує, що сума щорічних платежів в обох випадках одна і та ж.

Розглянемо тимчасове страхування на термін n років (страхова сума рівна 1 виплачується в кінці року смерті). Щорічна нетто-премія визначається в такому випадку через

Збиток страхувальника є

L = (3.5.1.9)

або

L = + (1+ (3.5.1.10)

Тоді щорічна нетто-премія дорівнює

= (3.5.1.11)

3.5.2 Чисті доживання

Нехай страхова виплата дорівнює 1 і термін страхування n. Тоді щорічна нетто-премія позначається через . Збиток страхувальника є

L= (3.5.2.1)

Щорічна нетто-премія, очевидно, рівна



= (3.5.2.2)

3.5.3 Доживання

Щорічна нетто-премія позначається символом. Рівняння

= (3.5.3.1)

= + (3.5.3.2)

очевидні. Збиток страхувальника дорівнює сумі (3.5.1.9) і (3.5.2.1). За аналогією із (3.5.1.5) і (3.5.1.8), маємо

1/ = d + (3.5.3.3)

= d + (3.5.3.4)

із відповідним тлумаченням. Рівняння (3.5.3.4) можна також отримати, додаючи співвідношення

= d+ (3.5.3.5)

= d (3.5.3.6)

3.5.4 Відкладені довічні ануїтети

Щорічна нетто-премія, яка сплачується в період до початку виплат за прямим пожиттєвим ануїтетом зі щорічними виплатами величиною 1, що починається в момент n, є .



3.5.5 Премії, що сплачуються m разів на рік

Якщо щорічна нетто-премія сплачується m разів на рік рівними частинами, то до відповідних позначень премій додається верхній індекс (m). Щорічні премії

,

отримують заміною на (відповідно на ) у знаменниках формул (3.5.1.2), (3.5.1.11), (3.5.2.2), (3.5.3.1)

Наприклад, щорічна нетто-премія для доживання зі страховою сумою 1 є

= (3.5.5.1)

3.5.6 Загальний тип страхування життя

Повернемося до загального типу страхування життя, введеного в 3.3.3 Нехай c _j- страхова сума на j-й рік після видачі поліса. Припустимо, що це страхування оплачується щорічними преміями П₀, П₁, П₂,… ,П_k, які вносяться в моменти 0,1,2,… k. Збиток страхувальника

L = - (3.5.6.1)

Ці премії є нетто-преміями, якщо вони відповідають рівнянню

_kp_xq_x+k= _kp_x\ (3.5.6.2)

Така модель є більш загальною, ніж може здатися з першого погляду. Якщо допустимі від'ємні значення для П_k, то вона включає чисті доживання та довічні ануїтети. Наприклад, доживання із (3.5.3) виходить при



c₁=c₂=…=c_n=1, c_n+1=c_n+2=…=0, П₀= П₁=…= П_n-1= П_n= -1, П_n+1= П_n+2=…=0. (3.5.6.3)

3.5.7 Поліси з поверненням премій

В практичному страхуванні зустрічається велика різноманітність видів страхування та платіжних схем. Це робить недоцільним перелік разових нетто-премій для кожного виду.

Фундаментальним правилом, якому треба слідувати в конкретній ситуації, є визначення збитку страхувальника L і потім застосування принципу еквівалентності (3.5.1). Покажемо це на прикладі.

Поліс чистого доживання на суму 1, що виплачується через п років, виданий з умовою, що у випадку смерті до закінчення терміну n років виплачені премії будуть повернені без відсотків. Якою має бути щорічна нетто-премія, щоб узята премія перевищувала її на 40% (40% навантаження використовується для покриття витрат).

Нехай Р позначає щорічну нетто-премію. Втрати страхувальника є

L= (3.5.7.1)

Очікувана втрата дорівнює

1.4P(IA (3.5.7.2)

і застосування (3.5.1) приводить до премії

P = (3.5.7.3)



Приклади

Приклад 1. Розглянемо тимчасове страхування для жінки у віці 95 років на термін 2 років (страхова сума рівна 1 виплачується в кінці року смерті). Необхідно знайти щорічну нетто-премію, якщо і=10%?

Розвязок:

Для знаходження премії використаємо формулу (3.5.1.11). З неї бачимо, що нам потрібно знайти разову нетто-премію за формулою (3.3.1.1.7) та разову нетто-премію за формулою (3.4.1.12) .

= 0,9•0,64616•0,35384+(0,9)²•0,61618•0,38382=0,39734

= 0,9•0,64616+(0,9)²•0,61618=1,08065

= 0,39734/1,08065?0,37

Приклад 2. Людина у віці х=35 р купує по життєву пенсію, починаючи з віку 65р. Пенсія у розмірі 1000грн повинна виплачуватися раз в рік. Плата за пенсію R вноситься у вигляді разової премії в момент укладання договору. При цьому у випадку смерті до настання пенсійного віку плата за пенсію R повертається нащадкам у кінці року смерті з накопиченими відсотками. Потрібно визначити R(плату за пенсію)?

Розвязок:

Якщо людина помре у віці 35+kроків, k=0,1,…,29(ймовірність цієї події Р(К(35)=k)), то пенсійний фонд виплачує суму R(1+i)^k+1 в момент 35+k+1.

Тому, вартість цієї виплати

Використовуючи принцип еквівалентності

R=1000·_30|35 +R·P(T(35)<30),

Звідки

R=1000 = 1000 = 1000

Приклад 3. Розглянемо договір страхування життя на 2 роки з виплатою страхової суми 1 в кінці року смерті. Нехай х -вік застрахованого в момент укладання договору. Відомо, що р_х=0,75, р_х+1=0,8, а найменша премія, гарантуюча відсутність втрат по договору на протязі першого року його дії, дорівнює 0,95. Необхідно знайти дисперсію сучасної вартості обов'язків страхувальника.

Розвязок:

Оскільки ймовірність смерті застрахованого на протязі першого року додатня, гарантувати відсутність втрат можна, тільки якщо премія Р разом з % не менше, чим страхова сума:

P·(1+i)

Звідси

=

Обовязки страхувальника полягає у виплаті:

1. Страхової суми 1 в момент 1, якщо застрахований помре на протязі першого року дії договору(ймовірність цієї події q_x=0,25);

2. Страхової суми 1 в момент 2, якщо помре на протязі другого року(р_хq_x+1=0,75•0,2=0,15)

Таким чином, якщо Z - сучасна вартість обов'язків страхувальника, то випадкова величина Z приймає значення х i х² з ймовірністю q_x та р_хq_x+1. Тому

EZ = q_x + х²·p_x· q_x+1 = 0,95·0,25 + 0,95²·0,15 = 0,3729

EZ² = q_x + х⁴·p_x· q_x+1 = 0,95²·0,25 + 0,95⁴·0,150,3478

VarZ = EZ²- (EZ)²0,21

Для даної задачі візьмемо реальні дані з «Таблиці тривалості життя (1999-2000)» для чоловіка у віці 50р і отримаємо:

EZ= 0,95•0,01831+0,95²•0,98169•0,01823 =0,03355

EZ²= 0,95²•0,01831+0,95⁴•0,98169•0,01823 =0,03111

VarZ = 0,03355 - 0,03111 = 0,00244



Розділ 4. Резерви

4.1 Резерви нетто-премій

Основні терміни і позначення:

- V- резерв нетто-премії

_{- k}V- резерв нетто-премій в кінці k-того року

_{- k}V_x- резерв нетто-премій довічного страхування

_{- k+u}V - резерви нетто-премiй при дробових термінах

- - премія

- - премія збережень, що використовується для збільшення резерву нетто-премій

- - премія тимчасового страхування на один рік для покриття нетто-суми на ризик, або премія ризику

- - премія збережень

- - премія ризику

- Л- втрати, які несе страхувальник

Розглянемо страховий поліс, що фінансується нетто-преміями. В момент видачі поліса математичне сподівання поточної вартості майбутніх премій дорівнює математичному сподіванню поточної вартості майбутніх страхових виплат, що робить математичне сподівання збитку страхувальника L рівним нулю.

Ця еквівалентність між майбутніми внесками та майбутніми виплатами не виконується, взагалі кажучи, у більш пізній час. Таким чином, можна визначити випадкову величину _tL як різницю в момент t між поточною вартістю майбутніх страхових виплат і поточною вартістю майбутніх внесків.

Передбачається, що _tL не рівне тотожньо нулю і також, що T>t.

Резерв нетто-премій в момент t позначається символом _tV і визначається як умовне математичне сподівання величини _tL при T>t.

Поліси страхування життя зазвичай розробляються таким чином, щоб резерв нетто-премій був додатнім, або, у крайньому випадку, невід'ємним, бо у застрахованого у будь-який момент повинен зберігатися інтерес до продовження страхування. Таким чином, очікувана вартість майбутніх страхових допомог має завжди перевищувати очікувану вартість майбутніх премій. Для компенсації цих витрат страхувальник повинен резервувати достатній фонд, щоб покрити різницю між цими величинами, тобто резерв нетто-премій _tV . [4]

4.1.1 Рекурентні співвідношення

Повернемось до загального страхування життя, введеного в 3.5.6. Резерв нетто-премій в кінці k-того року є, згідно визначенню,

_kV = _jp_x+kq_x+k+j - _jp_x+k (4.1.1.1)

Щоб отримати співвідношення між _k V і _k+hV , підставимо

_jp_x+k = _hp_{x+k j-h} p_x+k+h (4.1.1.2)

в усі, за виключенням перших h членів в (4.1.1.1), і використаєм в якості індексу сумування. В результаті отримаємо співвідношення

_kV + _jp_x+k = _jp_x+kq_x+k+j + _hp_{x+k k+h}V

Це співвідношення має таке тлумачення: якщо застрахований живий на кінець k-того року, то резерву нетто-премій разом з математичним сподіванням поточної вартості премій, які повинні надійти протягом наступних h років, якраз достатньо для виплати допомог у ці роки і чистого доживання величиною _{k+ h}V в кінці року k+h. [4]

При h=1 отримується рекурентне співвідношення для резерву нетто премій:

_kV + = (q_x+k+ _{k+ 1}Vp_x+k ) (4.1.1.4)

Таким чином, резерв нетто-премій може бути обчислений рекурентно двома способами: [4]

1) можна обчислити ₁V ₂V послідовно, починаючи з ₀V=0;

2) якщо страхування має кінцевий термін n, то можна підрахувати _n-1V, _n-2V,… в такому порядку, починаючи з відомої величини _nV .

Рівняння (4.1.1.4) показує, що в момент k сума резерву нетто-премій і k-ої премії дорівнює математичному сподіванню поточної вартості фондів, необхідних у кінці цього року (які повинні складати c_{1 + k} у випадку смерті і _k+1V - у протилежному випадку). Інша інтерпретація стає очевидною, якщо записати

_kV + = (_{k+ 1}V + ( - _{k+ 1}V)q_x+k) (4.1.1.5)

Сума _k+1V необхідна у будь-якому випадку. Якщо застрахований помирає, потрібна додаткова сума - _{k+ 1}V, яка називається нетто-сумою на ризик. Рівняння (4.1.1.5) показує, що дана премія розкладається на дві компоненти:

=

Де

= _{k+ 1}V - _kV (4.1.1.6)

- премія збережень, що використовується для збільшення резерву нетто-премій



= ( - _{k+ 1}V) q_x+k (4.1.1.7)

- премія тимчасового страхування на один рік для покриття нетто-суми на ризик, або премія ризику.

Таким чином, операція в (k+1)-му році може інтерпретуватися як комбінація чистих збережень і тимчасового страхування на один рік. Передбачається, звичайно, що застрахований живий на момент k. Домножаючи (4.1.1.6) на (1+i)^j-k сумуючи за k від 0 до j-1, отримаємо рівність

_kV = + i)^j-k (4.1.1.8)

яка показує, що резерв нетто-премій є накопиченою вартістю премій збережень, отриманих компанією з моменту видачі поліса.

4.1.2 Ризик виживання

Висновки попереднього параграфу справедливі також і при < _k+1V , тобто якщо нетто-сума на ризик від'ємна. Але в цьому випадку можна також модифікувати й аналіз. Почнемо з зображення (4.1.1.4) у вигляді

_kV + = + (_{k+ 1}V - )p_x+k (4.1.2.1)

Сума c_k+1 необхідна у будь-якому випадку; у випадку виживання підлягає оплаті додаткова сума _{k+ 1}V - . Таким чином, фінансові прибутки протягом (k+1)-го року можна спрямувати частково на чисті збереження і частково на доживання зі страховою сумою . Премія Р _k може розглядатися як сума модифікованої премії збережень

- _kV (4.1.2.2)

і премії ризику виживання

= (_{k+ 1}V - )p_x+k (4.1.2.3)

Звернемо увагу, що компонента збережень часто буває від'ємною. Рівнянню (4.1.2.1) можна надати наступного вигляду

+ d= ( - _kV)+ (4.1.2.4)

4.1.3 Резерв нетто-премій довічного страхування

Розглянемо довічне страхування, введене у (3.5.1.1). Його резерв нетто-премій в кінці k-того року позначається символом _kV_x і є за визначенням

_kV_x := - P_x (4.1.3.1)

Виведемо деякі еквівалентні формули. Замінивши на знаходимо

_kV_x = 1 - (P_x+d) (4.1.3.2)

Тепер, замінюючи P_x + d на 1/ , отримуємо

_kV_x = 1 - (4.1.3.3)

Формулу

_kV_x = (4.1.3.4)

можна отримати, якщо замінити на )/d і на )/d . Рівність P_x+k = разом з (4.1.3.1) дає

_kV_x = (1 - ) (4.1.3.5)

_kV_x := () (4.1.3.6)

Нарешті, замінимо на 1/(P_x+k + d), щоб знайти

_kV_x = (4.1.3.7)

Крім (4.1.3.1) важливими є формули (4.1.3.2), (4.1.3.5) і (4.1.3.6), оскільки вони легко інтерпретуються і їх можна узагальнити на інші типи страхувань.

Формула (4.1.3.2) відображає той факт, що резерв нетто-премій дорівнює страховій сумі за виключенням очікуваної поточної вартості майбутніх премій і невикористаного відсоткового прибутку. Це нагадує тотожність A_x= 1 - d , яка має аналогічну інтерпретацію.

Рівняння (4.1.3.5) можна інтерпретувати так, що майбутні премії величиною P _x можуть використовуватись для довічного страхування з номіналом 1 - ().

Якби довічне страхування було куплене у віці x+k, то щорічна нетто-премія була б рівною . Формула різниці премій (4.1.3.6) показує, що резерв нетто-премій - це очікувана поточна вартість дефіциту премій.

4.1.4 Резерви нетто-премiй при дробових термінах

Повернемося до загального страхування, що обговорювалося у 4.1.1. Припустимо, що застрахований живий в момент k+u (k - ціле, 0<u<1), і позначимо резерв нетто-премій через _k+uV . Подібно (4.1.1.5), цей резерв нетто-премій можна виразити у вигляді

_k+uV = _k+1V + ( - _k+1V) _1-uq_x+k+u (4.1.4.1)

Із припущення випливає

_1-uq_x+k+u = (4.1.4.2)

що дозволяє безпосередньо обчислити _k+uV . Можна також виразити _k+uV через _kV.

Для цього підставимо (4.1.4.2) в (4.1.4.1) і скористаємось (4.1.1.7) і (4.1.1.6). В результаті отримаємо

_k+uV = (_kV+)(1+i+(1+i (4.1.4.3)

В 4.1.1 ми знайшли розклад для операції в (k+1)-му році; рівняння (4.1.4.3) дає відповідний розклад при дробовому терміні: перший член є баланс уявного накопичувального рахунку в момент k+u, а другий член є частина премії ризику, яка ще не “зароблена” в момент k+u.

Третьою можливою формулою є

_k+uV = (_kV+П _k)(1+i+(1- ) _k+1V (4.1.4.4)

Вона показує, що _k+uV є зважене середнє накопиченої вартості (_kV+П _k) дисконтованої вартості _k+1V ; Для доведення (4.1.4.4) замінимо П _k на ; тоді визначення (4.1.1.6)показує, що (4.1.4.4) еквівалентне (4.1.4.3).

В практичних застосуваннях часто використовується апроксимація, що основана на лінійній інтерполяції

_k+uV (1-u)(_kV+П _k) + u· _k+1V (4.1.4.5)

4.2 Розподіл загальних втрат за роками поліса

Для k=0, 1, … визначимо Л _k як втрату, яку поніс страхувальник протягом (k+1)-го року; таким чином, початок цього року береться за точку відліку на шкалі часу.

Можна виділити три випадки: [4]

1) застрахований помер до моменту k,

2) застрахований помирає протягом (k+1)-го року,

3) застрахований доживає до моменту (k+1).

Таким чином, випадкова величина Л _k визначається за допомогою

Л _k = (4.2.1)

Замінюючи П_k сумою і використовуючи (4.1.1.6), знаходимо, що

Л _k = (4.2.2)

Таким чином, якщо застрахований живий на момент k, то Л _k є втратою, яку принесло страхування на один рік, коли покривало нетто-суму на ризик. Загальні втрати страхувальника задаються рівнянням (3.5.6.1). Очевидний результат

L = (4.2.3)

Дана сума скінчена з сумуванням від 1 до К.

Використовуючи (4.2.2) і (4.1.1.7), знаходимо

E() = 0 (4.2.4)

що знову дає

E( = E()P() = 0 (4.2.5)

Для виконання (4.2.5) потрібно, щоб виплати кожного року компенсувались резервом нетто-премій даного року.

4.3 Конверсія страхування

З технічної точки зору резерв нетто-премій належить страхувальнику і може бути використаний для фінансової підтримки зміни страхового поліса в будь-який час.

Класичним прикладом є конверсія страхового поліса в оплачене страхування, тобто таке страхування, при якому надалі не потрібно платити ніяких премій. Розглянемо довічне страхування, розпочате у віці х зі страховою сумою, рівною 1, що фінансується щорічними преміями P_k. Припустимо що застрахований живий в момент k, але, через певні причини, не в змозі платити подальші премії. У такому випадку резерв нетто-премій _kV_x можна було б розглядати як разову нетто-премію для пожиттєвого страхування зі страховою сумою

_kV_x /A_x+k = 1-P_x / P_x+k (4.3.1)

див. (4.1.3.5). Такі конверсії в оплачене страхування зі зменшеною страховою сумою є досить поширеними для страхувань на доживання, для яких резерв нетто-премій значний.

Типи страхування, відомі під назвою універсального страхування життя, що стали можливим при сучасній обчислювальній техніці, пропонують страхувальнику максимальний ступінь гнучкості. Тут страхувальник може вибирати параметри страхування періодично (наприклад щорічно). Страхувальник, що має резерв премій _kVу момент k, може змінити будь-які два з наступних параметрів: [4]

1) П_k - наступну премію до сплати ,

2) с_k+1 - страхову суму у випадку смерті в наступному році,

3) _k+1V - передбачувану величину своїх заощаджень через рік.

Третій параметр після цього визначається за рекурентною формулою (4.1.1.4). Іншими словами, страхувальник визначає як премію наступного року, так і її розклад на премію заощаджень і премію ризику. Певні обмеження, звичайно, накладаються, наприклад, нова страхова сума c_k+1 не повинна перевищувати попередньої страхової суми c_k більш ніж на визначений заздалегідь відсоток, що залежить,можливо, від норми інфляції.

Підсумовуючи все сказане маємо наступну узагальнюючу таблицю:

Резерви нетто-премії:

Тип	Резерв
Резерв нетто-премiй у кiнцi к-го року	kV = jpx+kqx+k+j - jpx+k
Для довiчного страхування резерв нетто-премiй у кiнцi к-го року	kVx = (1 - ) kVx = 1 -
Для дробових частин року k+u(k-цiле,0<u<1)	k+uV = (kV+П k)(1+i+(1- ) k+1V

Приклади

Приклад 1. Необхідно визначити резерв нетто-премії довічного страхування у кінці 1-го року для чоловіка віком 54 роки, якщо і=10%?

Розвязок:

Для знаходження резерву ми використаємо формулу (4.1.3.1). Тоді шукаємо

A_x+k= 0,02204+0,01971=0,04175

= 0,8773+0,7887=1,67

Використаємо формулу (3.5.1.2)

P_x= = 0,023

Підставивши, маємо:

_kV_x= 0,04175-0,023•1,67= 0,00334

Приклад 2. У відповідності із договором страхування життя 60-ти річного чоловіка на три роки:

1. Премія,розмір якої не змінюється, вносить на початку кожного року дії договору

2. У випадку смерті застрахованого на протязі к-го року дії договору, страхове відшкодування виплачується в кінці поточного року дії договору і складає b_k = 4-k .

При розрахунках страхувальник використовує і=5% і таблицю смертності

x	lx
60	70000
61	66500
62	59850
63	52668

Необхідно визначити нетто-резерв відразу після надходження другої премії.

Розвязок:

Знайдемо нетто-премію за даним договором.

Актуарна вартість обов'язків страхувальника на момент укладання договору:

a_B = 3 + 2· p₆₀ + 1 p₆₀ p₆₁

Оскільки

p₆₀= = 0,95, q₆₀ = 1 - p₆₀ = 0,05

p₆₁= = 0,9, q₆₁ = 1 - p₆₁ = 0,1

p₆₂= = 0,88, q₆₂ = 1 - p₆₂ = 0,12

Звідси маємо a_B 0,403822481.

Актуарна вартість обов'язків застрахованого на момент укладання договору:

a_C = P·

Оскільки

= 2,680272109

Із принципу еквівалентності обов'язків маємо:

P0,150664733

Після виплати другої премії обов'язків страхувальника

a_B = 2 + 1· p₆₁ 0,288435374,

а обов'язки застрахованого

a_C = P·p₆₁ 0,1291412.

Шуканий резерв

a_B - a_C 0,159294174.

Приклад 3. Відносно дискретного довічного страхування на випадок смерті з 20 - річним періодом виплати премії відомо, що

1. Вік застрахованого в момент укладання договору х;

2. Страхова сума 1000;

3. і=0,06

4. q_x+19=0,01254;

5. премія у розмірі 13,72 платиться раз в рік;

6. резерв нетто-премії в кінці 19 року дії договору рівен 342,03;

7. надбавки до премії відсутні.

Припустимо, що застрахований вирішив би укласти договір безтермінового страхування життя на суму 1000 з щорічними постійними преміями і виплатою страхової суми в кінці року смерті тільки у віці х+20. Необхідно знайти величину цієї премії.

Розвязок:

Приймемо страхову суму в якості одиниці і підрахуємо резерв по договору в кінці 20-го року його дії:

₂₀V= = 0,36918

Оскільки премії с цього моменту застрахований вже не платить, ₂₀V дорівнює актуарій сучасній вартості обов'язків компанії. Ці обов'язки полягають у виплаті страхової суми в кінці останнього року життя і тому їх актуарна вартість в кінці 20-го року рівна А_х+20(х+20 - вік застрахованого в розглядуваний момент).

А_х+20=0,36918

Звідси в свою чергу можна знайти _x+20:

_x+20=

Шукана премія Р_х+20 тепер може бути знайдена з принципу еквівалентності обов'язків:

P_x+20=

Розглянемо цей приклад взявши вік застрахованого х=35 р. Решту даних беремо з додатку В.

Суть розвязку не змінюється. Маємо

₂₀V=0,363528

A₃₉=0,363528

Використаємо формулу (1.4.4)

d = 0,06/1,06 = 0,056; а₃₉=0,63647/0,056?11.

Тоді Р₃₉=0,363528/11?0,033=3,3%



Розділ 5. Актуарна освіта в Україні та закордоном

5.1 Актуарна освіта закордоном

Навіть побіжний огляд математичних моделей і принципів актуарних розрахунків, наведених в попередніх розділах, та аналіз досвіду країн з розвинутим ринком страхових послуг свідчить про те, що для успішного функціонування страхової компанії необхідно залучати до роботи спеціалістів актуаріїв, які володіють сучасним математичним апаратом.

В ряді країн ЕС для отримання посади актуарія досить відповідної університетської освіти (Бельгія). Проте в більшості країн крім базової університетської освіти вимагається ще й додаткова пост дипломна освіта та складання спеціальних кваліфікаційних іспитів. Ці іспити приймають відповідні кваліфікаційні комісії під егідою професійних організацій актуаріїв(США, Великобританія) або спільно освітніх і державних установ та професійних організацій (Греція, Швеція, Фінляндія). Найбільш розвиненими є американська та британська системи.

Так, в США функціонують 5 професійних організацій актуаріїв. Наприклад, товариство актуаріїв (SAO), що охоплює актуаріїв, які працюють у сфері страхування життя, здоров?я, пенсійній сфері, об?єднує понад 16000 членів, більшість яких працюють в США і Канаді.