Отрасли страхования

^- _nE_x*S = S*_np_x*vⁿ

^- _nE_x= _np_x*vⁿ= (l_x+n/l_x)* vⁿ

^- _nE_x= (l_x+n*v^x+n/l_x*v^x+n_)* vⁿ=D_x+n/D_x

2. Нетто-премия уплачивается в рассрочку. Здесь нетто-премия представляет собой поток платежей от страхователя страховщику, при этом все платежи составляющие нетто-премию в данном виде страхования - суммы фактические, а не вероятные, так как если человек умрет раньше времени, то он не получит страховую сумму, а у страховщика останется часть нетто-премий, которые он никому не должен. Пусть, страховые премии уплачиваются в течении t лет, в начале каждого года. Тогда P1*S - премия уплаченная в первом году, Р2*S - премия уплаченная во втором году и т.д.

(P₁+P₂*v+.+P_t*v^t-1)*S = S*_np_x*vⁿ

Если платежи одинаковы, то

P(1+v+v²+.+v^t-1)=_np_x*vⁿ или

Страхование жизни

Этот вид страхования называют также страхованием на случай смерти. Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смерти застрахованного. Страховой договор заключается страхователем в x лет на срок n лет. Здесь также следует рассмотреть два случая:

1. Нетто-премия уплачивается единовременно. Тогда обязательства страхователя равны произведению страхового тарифа и страховой суммы (S*_n A_x). Нетто-премия - основное условие заключение договора, поэтому ее величина для страховщика реальная, а не вероятная. Если выплаты страховых сумм происходят в конце года, и страхователь умрет в 1-ый год, то страховая сумма будет равна S*q_x*v (q_x - вероятность умереть в возрасте х лет); если во второй год, то страховщик должен будет заплатить

S*₂q _x*v²=S*v²*d_x+1/l_x;

- если умрет в третий год - страховая выплата = S*v³*d_{x +2}/l_x и так далее.

- В силу финансовой эквивалентности:

S*_nA_x=S*d_x/l_x*v+ S*d_x+1/l_x*v²+S*d_x+2/l_x*v³+.+S*d_x+n-1/l_x*vⁿ

- Умножим и разделим данное выражение на v^x, тогда:

_nA_x=(d_x/D_x)*v^x+1+(d _x+1/D_x)*v^x+2+(d_x+2/D_x)*v ^x+3+.+(d_x+n-1/D_x)*v^x+n=1/D_x *(C_x+C_x+1+.+C_x+n-1)

M_x=C_x+C_x+1+.+C_x+n-1+C_x+n+C_x+n+1+.+C_w

M_x+n= C_x+n+C_x+n+1+.+C_w

M_x-M_x+n= C_x+C_x+1+.+C_x+n-1

_nA_x= 1/D_x *(M_x-M_x+n)

- Если страхование пожизненное, то _nA_x= M_x/D_x

2. Нетто-премия вносится в рассрочку. Пусть рассрочка осуществляется посредством равных платежей (P) пренумерандо (в начале года) в течении t лет.

В данном случае нетто-премия представляет собой поток платежей, ограниченный периодом t. При этом каждый член этого потока, является случайной величиной, так как при наступлении страхового случая платежи прекратятся, а страховщик должен будет уплатить всю страховую сумму страхователю. Наступление каждого последующего платежа не определено, так как неизвестно наступит ли страховой случай. Страховщик должен учитывать, что если он произойдет, то он потеряет не только страховую сумму, но и премии.

Исходя из принципа финансовой эквивалентности можно записать следующие выражение

S*(P+P*p_x*v+P*₂p_x *v²+P*₃p_x*v³+.+P*_t-1

p_xv^t-1) = S*d_x/l_x*v+ S*d _x+1/l_x*v²+S*d_x+2/l _x*v³+.+S*d_x+n-1/l _x*v_n

P*(1+l_x+1/l_x*v+l_x+2/l_x*v²+l_x+3/l_x*v³+.+l_x+t-1/l_x*v^t-1)=

(M_x-M_x+n)/D_x - P*( 1+l_x+1/l_x*v+l_x+2/l_x*v²+l_x+3/l_x*v³+.+l_x+t-1/l_x*v^t-1)* (v_x/v_x)= (M_x M_x+n)/D_x

Страховые выплаты, а иногда и страховые премии представляют собой поток платежей, что в финансовой математике называется аннуитетом (страховой рентой). Стоимость страхового аннуитета, по сути, является отправным моментом в актуарной математике. Как известно, платежи могут вносится в начале года - пренумерандо, и в конце года - постнумерандо. В зависимости от этого различаются и виды аннуитетов. Кроме этого в страховании ренты делятся в зависимости от интервала времени, в котором производятся платежи.

Пенсионное страхование.

С экономической точки зрения обеспечение пенсиями по старости на базе негосударственных пенсионных фондов - это долгосрочный инвестиционный процесс, на первом этапе которого осуществляются вложения (пенсионные взносы) и последовательное наращение вложенных сумм за счет инвестиций свободных денежных средств, на втором - получение отдачи от накоплений в виде периодических пенсий.

Пенсионное страхование делится на два вида:

1. Нефондируемые - выплата пенсий осуществляется из текущих

поступлений. В этом случае страховые тарифы не рассчитываются.

2. Накопительные - для выплаты пенсий создаются

специализированные фонды. Они в свою очередь делятся также на три вида схем страховых выплат:

- Сберегательные - данная схема не учитывает вероятность дожития каждого участника фонда, предусматривается наследование накоплений, отсутствует солидарность участников в обеспечении выплат (при смерти одного из участников его вклад не идет на выплату пенсий), оговаривается конкретный срок выплат.

- Страховые - участники солидарны между собой, учитывается вероятность дожития застрахованных, нет наследования накоплений.

- Смешанные сберегательно-страховые - здесь предусматривается последовательное использование описанных выше схем, то есть, например, в период накопления применяется сберегательная схема, а в период выплат - страховая.

Расчет тарифных ставок в пенсионном страховании основывается на принципе финансовой эквивалентности (равенстве обязательств). С практической точки зрения основа всех расчетов - страховые аннуитеты. При применении любой из пенсионных схем с использованием специализированного фонда необходимо решить две задачи:

1. Определение размера пенсии по величине установленных взносов (расчет величины взносов по заданным размерам пенсии)

2. Расчет страховых резервов.

Условные обозначения, используемые в расчетах

Переменная	Описание.
-R-	Годовая сумма пенсии
-E-	Размер единовременного взноса
-A-	Сумма, накопленная на индивидуальном счете, на начало выплат пенсий.
-x-	Возраст застрахованного в момент заключения договора.
-L-	Возраст выхода на пенсию.
-w-	Возраст в момент окончания действия контракта.
-n-	Срок накопления, n=L-x
-t-	Срок выплат пенсий, t=w-L

Сберегательные схемы.

В данном случае пенсия представляет собой финансовый аннуитет, в котором не учитываются вероятности дожития до определенного возраста, то есть, что человек вкладывает, то он и получает, с учетом доходности на вложенные средства. Рассчитывать пенсии можно двумя методами

тарифный ставка риск страхование



Взносы уплачиваются единовременно. Данная схема отображена на графике. Видно, что после уплаты в фонд первоначальной суммы, она накапливается с годами (срок n лет), пропорционально норме доходности до момента начала выплат пенсий. После чего накопленные в фонде средства постепенно расходуются, до тех пор, пока не кончатся совсем (срок t лет). В силу финансовой эквивалентности, некоторые из приведенных на графике обозначений можно объединить следующим выражением

Премия уплачивается в рассрочку. Здесь схема похожа на предыдущую, это подтверждает график, нарисованный справа. Разделенные на равные части премии представляют собой поток платежей, поэтому накопление происходит медленнее, чем в первом случае, при прочих равных условиях. Период выплат такой же, как и в первом случае.

Математически данную схему можно отобразить следующим выражением

Преобразовывая приведенные выше равенства, не составит труда определить как размер требуемой пенсии, так и размер необходимой величины премии, которую нужно внести в пенсионный фонд для обеспечения себя нужной пенсией. Кроме этого, можно определить срок , в который необходимо внести платеж, для обеспечения заданной величины пенсии, или срок в течение которого будет уплачиваться накопленная в фонде пенсия.

Страховые схемы. По сути дела пенсионное страхование является одним из видов страхования на дожитие. Если бы пенсия выплачивалась разовой выплатой, то эти два вида страхования были бы полностью одинаковыми. Существенным отличием здесь является то, что пенсия представляет собой страховой аннуитет. То есть каждая последующая выплата зависит от вероятности дожития лица до следующей выплаты. Кроме этого, все платежи приводятся здесь к начальному моменту времени (момент вклада первого взноса). Нетто-премия в данном виде страхования может быть определена при двух условиях, когда она вносится единовременно и когда платежи вносятся в рассрочку. Система определения нетто-тарифов основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств страховщика и страхователя, поэтому, приведенные ниже тождества отличаются от предыдущих лишь некоторыми нюансами.

1. Нетто-премия вносится единовременно. Здесь нетто тариф равен стоимости аннуитета , соответствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия - произведению нетто-тарифа на размер пенсии. Условия выплат, в данном случае, влияют на применяемый в расчетах вид аннуитета. Рассмотрим некоторые из них:

- Пенсия будет выплачиваться с возраста x лет пожизненно, в начале года:

- Пенсия будет выплачиваться с возраста x+n лет пожизненно, в начале года:

Зная формулы для определения аннуитетов, можно определить размер пенсии и размер нетто-премий для любого варианта пенсионного обеспечения.

2. Нетто-премия вносится в рассрочку. Для обеспечения себя достаточной пенсией нужно вносить в пенсионный фонд большую сумму средств, которой мы не всегда располагаем, или достаточно большим интервалом времени до момента выплат пенсий, что чревато риском развала страховой компании и прочими рисками, связанными с нестабильностью политических и экономических систем. Удобным вариантом вложения средств является данная схема, которая позволяет не в ущерб себе и близким вносить часть доходов в пенсионный фонд, обеспечив себя в будущем должной пенсией. Платежи можно вносить как ежемесячно, так и раз в год. Здесь будет рассмотрен 2-ой вариант. В данном случае, как размер пенсии, так и вкладываемые средства зависят от вероятности дожития, поэтому, в приведенных ниже уравнениях финансовой эквивалентности, как слева, так и справа используются страховые аннуитеты. Например, взносы делаются раз в год начиная с возраста x лет до возраста x+t лет, а пенсия выплачивается с возраста x+n лет, пожизненно. Как взносы, так и пенсии уплачиваются в конце каждого года

Если взносы производятся в начале года, то в данном случае применяется аннуитет пренумерандно

Так применяя различные виды аннуитетов, можно построить различные варианты пенсионных схем. Здесь, как и везде выше, все равенства строятся по принципу финансовой эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. Исходя из составленных равенств, можно определить помимо ежегодных взносов, размер ежегодной пенсии и наоборот.

Расчет тарифных ставок в рисковых видах страхования.

Пусть страховые события первой группы наступают с вероятностью q1, страховые события второй группы - с вероятностью q2, а страховые события группы N - с вероятностью qn. Тогда средняя вероятность по данному виду страхования

где ki - число застрахованных по каждой группе. Чем неоднороднее страховые события в группах, чем больше число групп страховых событий, тем сильнее qср отличается от qi.

Пусть страховой фонд B1, созданный на основании нетто-премий, которые, в свою очередь, рассчитываются с применением qср, а B2 - с применением qi. Тогда В1 будет тем сильнее отличаться от истинного В2, чем больше разница между qср и qi. Хорошо если после применения нетто-ставок В1>B2, тогда страховщик сможет ответить по обязательствам страхователей, а, если наоборот, то страховая компания понесет убытки.

Если рассматривать тарификационную систему с коммерческой точки зрения, то необходимо проанализировать поведение страхователя при выборе страховой услуги, предлагаемой определенным количеством компаний. Пусть эти компании разработали одинаковые страховые продукты. При этом первая половина компаний использует тарифы рассчитанные на основе qi, другая - на основе qср. Существует N групп страховых событий, страхование каждого из них пользуется определенным спросом, который зависит от цен на данный вид страхования (от нетто-премии). Чем больше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Если нетто-премия первой группы страховщиков больше чем у второй группы по i-тому виду страхования, то в конкурентной борьбе выигрывает компания, со страховыми тарифами рассчитанными на основании qср, и наоборот. Все равно, лучше индивидуально рассматривать каждое страховое событие и применять вероятности qi - отдельные для каждого события. Это хотя и затрудняет расчеты, однако позволяет быть уверенным страховщику в своей платежеспособности.

Факторы риска - это различные составляющие, влияющие на наступление страхового события. Например, если страховой случай - авария, то факторы риска - водительский стаж, стоимость автомобиля, физическое состояние водителя, время года и т.д.

Теоретические основы расчета тарифных ставок.

Расчет тарифных ставок необходим для расчета страхового фонда, такого, чтобы ответить по всем договорам страхования, то есть выплатить все причитающиеся страховые суммы. Размер страхового фонда определяется размером страхового тарифа, который нужно определить. Для нахождения нетто-премии необходимо сначала определить размер страхового фонда. Основное и очевидное условие платежеспособности страховщика - размер фонда должен превышать размер страховых выплат. Зная это, страховая компания заранее задает для себя вероятность того, что величина страхового фонда (В) превысит размер страховых выплат(S), то есть

P(S<B)>=y

Где y - заданная гарантия безопасности. Если число договоров N, а Vi выплата по каждому договору страхования, то

- сумма убытков страховщика.

Страховой компании заранее неизвестно наступит ли событие Vi, так же ему не известен размер наступившего ущерба Vi, который может колебаться в интервале от Vmin до Vmax.

Отсюда следует, что Vi - величина случайная, определяемая двумя вероятностями. Как известно из теории вероятностей, сумма случайных величин есть величина случайная. Поэтому S - случайная величина, которая может быть задана законом распределения с помощью функции распределения F(x). Если x - действительное число, Х - случайная величина, а F(x) - вероятность того, что X<x, тогда F(x)=P(X<x). Пусть S=x, а В - страховой фонд (сумма нетто премий), тогда F(B)=P(S<B)>=y, или F(B)>=y.

То есть, функция распределения случайной величины должна принимать значения большие или равные y. В свою очередь плотность распределения определяется следующим образом

f(x)=F'(x) => f(B)=F'(B)

Для того, чтобы определить размер фонда, который бы с вероятностью y обеспечивал финансовую устойчивость страховщика, необходимо найти такую величину В, при которой функция распределения F(B) случайной величины S будет больше или равна y. Для этого необходимо:

1) Найти закон распределения случайной величины S.

2) Решить приведенное выше неравенство, относительно В.

3) Вычислить отдельную нетто-премию (страховой тариф.

Допустим:

1. Что наступление одного события не зависит от наступления другого, тогда все события ведущие к страховым выплатам (убыткам) - события независимые.

2. Что в массовых рисковых видах страхования ущербы по рискам не сильно отличаются друг от друга, поэтому можно предположить, что рассеяние выплат по ущербам не будет велико, а, следовательно, наиболее вероятные размеры выплат не будут сильно отличаться друг от друга. Тогда, числовые характеристики ущербов (Vi) будут одинаковы:

- Математическое ожидание выплат

mv = mv1=mv2=.=mvN

- Среднее квадратическое отклонение выплат

Случайная величина S представляет собой сумму очень большого числа других случайных величин (Vi), влияние каждой из которой не оказывает сильного влияния на S. Тогда согласно центральной предельной теореме (Ляпунова) величина S распределена по нормальному закону:

1. Математическое ожидание случайной величины S



2. Cреднее квадратическое отклонение случайной величины S

3. По определению, нормальное распределение описывается плотностью

4. Так как дифференцирование - действие обратное интегрированию, то функция распределения задается формулой

5. Для того, чтобы можно было решить приведенное выше неравенство,

необходимо привести функцию распределения S к другому виду, что позволит пользоваться табличными значениями. Для этого введем новую переменную z.

6.

7. Тогда



8. Табличная функция Лапласа

9. В итоге получим

10. Можно предположить, что

11. По определению функция распределения является неубывающей, поэтому

значение g определяется из таблицы значений Ф(g). Однако, предварительно необходимо найти Ф(-M/s), задать y, и определить M b s.

12. Убыток страховщика по i-тому договору представляет собой случайную величину Vi, которая распределена следующим образом:

- Если страховой случай не наступил (вероятность такого события равна

1-q), тогда выплата по договору i равна 0.

- Если страховой случай наступил (вероятность такого события равна q), то выплата по данному договору может принять любое значение из интервала (0,Vi), в зависимости от тяжести ущерба. Для массовых рисковых видов страхования наступление мелких ущербов чаще, чем наступление крупных, то есть величина ущерба Vi описывается плотностью вероятности f(Vi)=k*e^-kVi (показательное распределение), где k- постоянная положительная величина, задающая определенный уровень ущербов. Если величина ущербов распределена по данному закону, математические характеристики ущербов определяются так

- - математическое ожидание величины ущерба.

- - дисперсия и среднее квдратическое отклонение, соответственно.

13. Ущерб Vi характеризуется двумя вероятностями, следовательно, он задается двумя законами распределения. Каждая величина ущерба имеет свое математическое ожидание (наиболее вероятное значение) и среднее квадратическое отклонение, которые у всех ущербов одинаковые, так как застрахованные объекты достаточно однородны. Кроме этого наступление страхового случая - величина также случайная. Поэтому математическое ожидание того, что случай ущерба Vi не наступит определяется так: mv=q*hi, где hi-математическое ожидание величины ущерба Vi. А среднее квадратическое отклонение

14. Для общей суммы ущерба математические характеристики вычисляются по формулам

15. Размер страхового фонда определяется неравенством -

Подставим сюда известные значения

16. Зная минимальный размер страхового фонда можно определить минимальную нетто-премию или страховой тариф. Логика данного заявления следующая;

- Страховой фонд состоит из страховых премий по всем N договорам

=>

- Страховая премия определяется как произведение страхового тарифа на страховую сумму по данному договору

- Страховой тариф одинаков по всем договорам, поэтому

- Вместо отдельных страховых сумм по каждому договору удобнее

использовать среднее ее значение, что позволяет однородность рисковых событий, тогда



- Откуда:

где , а

- Условно можно предположить, что U1 -основная часть нетто-ставки, а U2 - рисковая надбавка.

Практический подход к расчету тарифных ставок.

Расчет тарифных ставок производится по группам страхуемых объектов в соответствии с разработанной тарифной системой. В результате данного расчета страховщик должен получить для каждой группы базовую тарифную ставку (брутто). Выше была выведена формула расчета брутто-ставки

где Т - нетто-ставка, f - доля нагрузки в брутто ставке. Доля нагрузки принимается одинаковой для всех тарификационных групп в рамках одного страхового продукта.

Для определения нетто-ставки страховщик должен определить гарантию безопасности (y), вероятность наступления страхового случая (q), математическое ожидание величины страховой суммы (М), математическое ожидание величины выплаты по одному страховому случаю hi. Указанные величины являются параметрами теоретического распределения убытков. Они определяются из статистических данных. Пусть необходимо определить размер тарифной ставки по данным страховой компании, накопленным за год, по массовому виду страхования. Для этого выбирается некоторая совокупность договоров страхования. При этом все застрахованные объекты должны быть однородны, число договоров как можно больше, все договоры заключены на один и тот же срок и к моменту расчета полностью истек срок их действия.

1. Итак, имеется N договоров, а S1,.,Si,.,SN - причитающиеся страховые выплаты по ним.

2. V1,.,Vi,.,VW - W наступивших страховых событий, а, следовательно реально уплаченные страхователям суммы из числа SN.

3. Тогда вероятность наступления страхового случая определяется частотой его наступления

Этотребование выполняется тогда, когда по договору страхования предусмотрена выплата не больше 1 страховой суммы, то есть частота должна быть меньше единицы.

4. Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание приближенно равно средней величине, поэтому:

- Математическое ожидание одной выплаты

- Математическое ожидание суммы выплат

5. Страховщик определяет для себя гарантию безопасности y.

6. Определяется переменная g

где , а

7. Итоговая формула для определения страхового тарифа будет выглядеть следующим образом

Данный метод расчета требует соблюдения от страховщика множества условий, что подчас ему не под силу. Этот расчет можно считать как типовой, однако, его применение в других видах страхования, даже с небольшими отклонениями от рассмотренного, требует его корректировки.

Задача №15

nAx = (Mx - Mx+n)/Dx)*100=(M41-M41+5)/D41*100=(10992-10502)/27341 *100=1,79

Ответ: нетто-ставка будет равна 1,79 на 100руб. страховой суммы.

Список использованной литературы

А. М. Годин, С. Р. Демидов, С. В. Фрумина «Страхование» Издательство: Дашков и Ко, 2010 г.

А. И. Худяков «Теория страхования» Издательство: Статут, 2010 г.

Под редакцией Т. А. Федоровой «Страхование» Издательство: Магистр, 2008

В. И. Рябикин, С. Н. Тихомиров, В. Н. Баскаков «Страхование и актуарные расчеты» Серия: Homo faber Издательство: Экономистъ, 2006 г.

В. Д. Роик «Основы социального страхования» Издательство: РАГС, 2007 г.

Е. В. Егоров «Социальное страхование» Серия: Homo faber Издательство: Экономистъ, 2008 г.

А. Ю. Иваницкий «Теория риска в страховании» Издательство: Факториал Пресс, 2007 г.

Н. - Н. Никулина, С. В. Березина «Страхование. Теория и практик»а Издательство: Юнити-Дана, 2008 г.

Размещено на Allbest.ru