Бухгалтерский учет межбанковских расчетов

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

РЕФЕРАТ

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЁТА МЕЖБАНКОВСКИХ РАСЧЕТОВ

1.1 Социально-экономическая сущность проблемы бухгалтерского учёта межбанковских расчетов

1.2 Различные подходы к решению проблемы бухгалтерского учёта межбанковских расчетов, их оценка

1.3 Нормативные документы, определяющие порядок проведения и учета

2. ПРОВЕДЕНИЕ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЁТА МЕЖБАНКОВСКИХ РАСЧЕТОВ

2.1 Организация работы со счетами при осуществлении межбанковских, межфилиальных расчетов

2.2 Бухгалтерский учет расчетов в системе BISS

2.3 Бухгалтерский учет межбанковских расчетов по результатам клиринга, осуществляемых в смежных системах расчетов

2.4 Бухгалтерский учет межфилиальных расчетов

2.5 Направления совершенствования бухгалтерского учета межбанковских и межфилиальных расчетов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА



РЕФЕРАТ

Курсовая работа на тему: Бухгалтерский учёт межбанковских расчетов

Целью данной работы является изучение процесса учета межбанковских расчетов, их общих правил, характерных для банковской системы РБ, а также основных проблем в данной сфере.

Актуальность темы исследования. Актуальность данной темы заключается в том, что организация межбанковских расчетов является одной из узловых проблем развития банковского дела. В денежных расчетах и платежах, проводимых банками, находят свое воплощение практически все виды экономических отношений в обществе. Это, в свою очередь, немыслимо без взаимных расчетов между банками, что обусловлено широкой разветвленностью хозяйственных связей, большой территориальной удаленностью предприятий и некоторыми другими факторами. По существу, лишь на основе расчетов между разными банками и их филиалами можно завершить расчеты в народном хозяйстве.

Совершенствование межбанковских расчетов идет по пути развития различных видов межбанковского клиринга на базе применения электронных систем денежных расчетов, но наблюдается значительная нехватка денежных средств для обеспечения техническими средствами и программным обеспечением для эффективного осуществления процесса межбанковских расчетов.

Решению основных вышеуказанных проблем межбанковских расчетов в настоящее время уделяется недостаточное внимание, что, соответственно, тормозит развитие и усовершенствование, а также устранение недостатков в проведении межбанковских расчетов и учете данных операций.



ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Актуальность данной темы заключается в том, что организация межбанковских расчетов является одной из узловых проблем развития банковского дела. В денежных расчетах и платежах, проводимых банками, находят свое воплощение практически все виды экономических отношений в обществе. Это, в свою очередь, немыслимо без взаимных расчетов между банками, что обусловлено широкой разветвленностью хозяйственных связей, большой территориальной удаленностью предприятий и некоторыми другими факторами. По существу, лишь на основе расчетов между разными банками и их филиалами можно завершить расчеты в народном хозяйстве.

Изучением данной темы являются такие исследователи, как Врагова Н.К., Зубенко В.А., Приходько О.С. и др.

Целью данной работы является изучение процесса учета межбанковских расчетов, их общих правил, характерных для банковской системы РБ, а также основных проблем в данной сфере.



1. ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЁТА МЕЖБАНКОВСКИХ РАСЧЕТОВ

1.1 Социально-экономическая сущность проблемы бухгалтерского учёта межбанковских расчетов

Межбанковские расчеты являются важной составляющей платежного механизма государства. Безналичные расчеты между субъектами хозяйственной деятельности, как правило, не могут быть завершены в пределах одного учреждения банка. Это главная причина возникновения межбанковских расчетов между учреждениями банков, находящихся в разных населенных пунктах. Межбанковские расчеты - это система выполнения и регулирования платежей по денежным требованиям и обязательствам, которые возникают между банковскими учреждениями в процессе их деятельности.

Межбанковские расчеты выступают составным элементом платежного механизма государства. Безналичные платежи между субъектами предпринимательской деятельности, как правило, не могут быть завершены в пределах одного банка. В цепочке платежей субъектов, счета которых открыты в разных банках, неминуемо возникают межбанковские расчеты. Они представляют собой систему осуществления и регулирования платежей по денежным требования и обязательствам, которые возникают между банковскими учреждениями.

В РБ реализуются сложившиеся в мировой практике общие принципы расчетов, которые основаны на следующих моделях:

· по счетам межфилиальных оборотов;

· путем организации корреспондентских счетов между коммерческими банками;

· через корреспондентские счета в учреждениях НБРБ;

· через клиринговые учреждения.

Современная модель межбанковских расчетов предусматривает переход белорусских банков на электронную систему платежей, которая работает в режиме реального времени и позволяет завершать расчеты между банками в течение операционного дня.

Организационно-техническая модель включает ряд новых элементов. В составе НБРБ создано новое подразделение - расчетная палата, на которую возложено техническое проведение межбанковских расчетов на основе электронных технологий.

Межбанковские расчеты опосредуют различные виды внешнеэкономических связей, возникающих в процессе экспорта-импорта товаров (услуг), капиталов и миграции рабочей силы. Определенная часть межбанковских расчетов служит для экономических связей самих кредитных и финансовых институтов, например, при размещении денежных средств в форме депозитов и кредитов, при переучете векселей друг у друга и в центральном банке, получении от него кредитов в порядке рефинансирования, покупке и продаже ценных бумаг, в том числе государственных, при предоставлении дотаций, субвенций и бюджетных ссуд.

От правильной организации межбанковских расчетов во многом зависит непрерывность обращения капитала субъектов предпринимательской деятельности. По своей сути, денежные средства, перечисленные междугородными плательщиками по товарным и нетоварным операциям, с момента их списания со счетов плательщиков и к зачислению на счет получателей находятся в составе банковских ресурсов и могут использоваться банком для финансирования его активных операций. Срок пребывания денег в составе банковских ресурсов зависит от способа платежа и формы расчетов, способа передачи информации между банками, способа обработки учетной информации в банке.

Банки РБ - как участники межбанковских расчетов - несут общую ответственность за состояние межбанковских расчетов и действуют согласно нормативных актов НБРБ и соглашений, которые заключаются между участниками расчетов. Банки РБ свободно выбирают системы расчетов.

Нормативный срок прохождения платежей при осуществлении межбанковских расчетов определяется действующим законодательством и нормативно-правовыми актами НБРБ. В случае нарушения коммерческим банком (филиалом) нормативного срока прохождения платежей банк несет ответственность согласно действующему законодательству РБ.

В настоящее время существуют три проблемы межбанковских расчетов:

1) размежевание функций между центральными и коммерческими банками, что связано с определением роли центральных банков в платежной системе и в области их услуг в межбанковских расчетах;

2) выбор модели межбанковских расчетов: либо валовые платежи в реальном времени, либо чистые платежи, как элементы взаимозачетов;

3) выбор оптимального состава технических средств для осуществления межбанковских расчетов.

Рассмотрим подробнее проблему выбора модели межбанковских расчетов. Исторически сложились самостоятельные платежные системы по операциям с ценными бумагами, по валютным операциям, системы международных расчетов, системы с использованием пластиковых карт и др.

Брутто-расчет или расчет (платеж) на валовой основе, предполагает, что в соответствии с каждым поручением или требованием проводится отдельная операция посредством соответствующего перечисления средств. Платежи исполняются последовательно по мере их поступления.

Нетто-расчет - зачет взаимных требований и обязательств, его также называют клиринговым или неттингом. Неттинг представляет собой расчет нетто позиций по встречным платежам согласно суммам, отраженным в расчетных документах двух и более участников расчетов на нетто-основе, в соответствии с порядком проведения расчетов.

Клиринг это процесс передачи, сверки и, в некоторых случаях, подтверждения платежей перед расчетом, возможно, включающий взаимный зачет платежей и определение конечного расчетного сальдо (нетто-позиции).

Нетто-позиция - вычисленная на определенный момент времени разница между суммой, отраженной в расчетных документах участников расчетов на зачисление денежных средств со счетов участников расчетов и суммой, отраженной в расчетных документах на списание денежных средств со счета данного участника для зачисления на счета участников расчетов. Положительная разница является кредитовой нетто-позицией, отрицательная - дебетовой нетто-позицией.

Нововведения в функционировании некоторых систем расчетов завершились созданием смешанных систем, сочетающих быструю завершенность платежа систем валовых расчетов и более эффективное использование ликвидности, характерное для неттинговых систем. Основной чертой этих систем является частый зачет платежей в течение операционного дня с немедленным завершением расчета.

Проведение взаимозачета требует сбора воедино информации о входящих и исходящих платежах за определенный период времени. Поэтому возникает разрыв во времени между поступлением платежного инструмента и окончательным расчетом по счетам.

Выбор той или иной модели осуществления расчетов (валовой, клиринговой) определяется балансом между экономией средств необходимых для расчетов и риском потери активов вызванных участием в определенной расчетной модели.

Теперь рассмотрим проблему выбора оптимального состава технических средств для осуществления межбанковских расчетов. В своей повседневной работе любой банк постоянно имеет дело с другими банками. Возникает необходимость в надежных системах для обмена финансовой информацией и осуществления взаиморасчетов.

Существуют два подхода к построению таких систем:

· построение системы передачи межбанковских сообщений и финансовой информации на основе общедоступных компьютерных сетей;

· организация специализированной системы на основе специальных корпоративных компьютерных сетей.

Очевидным преимуществом второго подхода является повышение надежности и безопасности передачи данных. Однако если вопросы безопасности уделено достаточно внимания, то возможно и использование общедоступных сетей.

В большинстве стран есть свои собственные системы межбанковских коммуникаций. Наряду с этим существует глобальная международная система SWIFT.

Применение стандартных форматов сообщений в рамках системы SWIFT дает следующие преимущества:

· исключается возможность различной интерпретации сообщений отправителем и получателем;

· возможен полный контроль за передачей информации на основе постоянной фиксации транзакций в системе;

· банк-пользователь системы может автоматически генерировать ежедневный отчет по проведенным операциям.

В системе SWIFT применяется многоуровневая система защиты информации, которая обеспечивает гарантии сохранности и конфиденциальности передаваемых данных. Широко используются криптографические методы, соответствующие стандартам ISO.

Использование самых современных компьютерных технологий приносит банкам крупные прибыли и помогает им победить в конкурентной борьбе. Но именно потому, что приобретение технических средств для обеспечения нормального функционирования банковской системы в целом и осуществления межбанковских расчетов в частности приводит к большим затратам банков, и возникает данная проблема. Любая автоматизированная банковская система представляет собой сложный аппаратно-программный комплекс, состоящий из множества взаимосвязанных модулей. Совершенно очевидна роль сетевых технологий в таких системах. По сути, банковская система это комплекс, состоящий из множества локальных и глобальных вычислительных сетей. В банковской системе в редких случаях сегодня применяется самое современное, но дорогостоящее сетевое и телекоммуникационное оборудование. От правильного построения сетевой структуры банковской системы зависит эффективность и надежность ее функционирования.

Перед отделом автоматизации банка встает трудный вопрос выбора оптимального решения. Банковская сфера определяет два основных требования к банковской системе - обеспечение надежности и безопасности передачи коммерческой информации. В последнее время для взаимодействия с клиентами и осуществления расчетов все чаще используются открытые глобальные сети (например, Internet). Последнее обстоятельство еще более усиливает значимость защиты передаваемых данных от несанкционированного доступа, но, к сожалению, не улучшает процесс межбанковских расчетов.

1.2 Различные подходы к решению проблемы бухгалтерского учёта межбанковских расчетов, их оценка

Межбанковские расчеты независимо от типа платежной системы проводятся по корреспондентским счетам. Корреспондентские счета в других банках и расчетных небанковских кредитных организациях банки открывают добровольно, а корреспондентские счета в подразделении расчетной сети НБРБ -- в обязательном порядке.

Расчеты через платежную систему НБРБ проводятся кредитными организациями (филиалами) через корреспондентский счет (субсчет филиала), открытый в РКЦ НБРБ по месту регистрации. Порядок открытия корреспондентского счета кредитной организации (субсчета филиала) в расчетной сети НБРБ установлен Положением о безналичных расчетах. Учет свободных средств кредитной организации, отражение расчетов по поручению клиентов и хозяйственным операциям через подразделения расчетной сети НБРБ в бухгалтерском учете банка осуществляется на активном счете 30102 «Корреспондентские счета кредитных организаций в НБРБ». На этом счете открываются корреспондентские субсчета филиалам кредитных организаций. В аналитическом учете ведется один лицевой счет.

Операции по корреспондентскому счету осуществляются в пределах имеющихся средств. Расчетные документы принимаются НБРБ независимо от остатка средств на корреспондентском счете (субсчете) кредитной организации (филиала) на момент их принятия.

При недостаточности денежных средств на корреспондентском счете (субсчете) кредитной организации (филиала) для удовлетворения всех предъявленных к нему требований операции по списанию денежных средств осуществляются в соответствии с очередностью, установленной законодательством. Не исполненные по окончании операционного дня из-за недостаточности средств на корреспондентском счете (субсчете) расчетные документы, относящиеся к 1--5-й группам очередности, помещаются в картотеку неоплаченных расчетных документов в подразделении расчетной сети НБРБ. Для учета картотеки неоплаченных расчетных документов к корреспондентскому счету кредитной организации используются внебалансовые счета: 90903 «Расчетные документы клиентов, не оплаченные в срок из-за отсутствия средств на корреспондентских счетах кредитной организации» (по клиентским операциям); 90904 «Не оплаченные в срок расчетные документы из-за отсутствия средств на корреспондентских счетах кредитной организации» (по хозяйственным операциям).

Расчетные документы по другим платежам не подлежат учету в подразделении расчетной сети НБРБ и передаются для помещения их в картотеку неоплаченных расчетных документов, ведущуюся в кредитной организации (филиале).

При недостаточности средств на корреспондентском счете (субсчете) кредитной организации (филиала) допускается частичная оплата сводного платежного поручения в виде оплаты приложенных к нему отдельных расчетных документов. Частичная оплата расчетных документов клиентов кредитных организаций (филиалов) и расчетных документов по собственным платежам кредитной организации (филиала) в составе сводного платежного поручения не допускается.

Расчетные документы, поступающие в НБРБ, могут оформляться как на бумажных носителях, так и в электронном виде. Большинство расчетных подразделений НБРБ к настоящему времени перешли на электронные расчеты с кредитными организациями и их филиалами.

Расчеты через частные платежные системы допускают два варианта межбанковских расчетов: расчеты через корреспондентские счета, открываемые кредитными организациями в других банках и небанковских кредитных организациях, а также расчеты через филиальные сети крупных кредитных организаций.

Порядок расчетов между кредитными организациями, а также между подразделениями одной кредитной организации определяют сами кредитные организации в банковских правилах. При проведении внутрибанковских расчетов кредитные организации несут ответственность за риск и правильную организацию этих расчетов.

При расчетах через корреспондентские счета, открытые в других банках и небанковских кредитных организациях, в кредитных организациях -- корреспондентах операции отражаются на пассивном балансовом счете 30109 «Корреспондентские счета кредитных организаций корреспондентов» (ЛОРО счет) в корреспонденции со счетами клиентов, со счетами по учету хозяйственно-финансовой деятельности и расчетов с филиалами кредитной организации, с корреспондентским счетом (субсчетом) кредитной организации (филиала) в НБРБ, со счетами по учету незавершенных расчетов кредитных организаций, со счетами по учету средств клиентов по незавершенным расчетным операциям, со счетом по учету кассы кредитных организаций.

В аналитическом учете ведутся лицевые счета по каждому банку -- респонденту.

В банке -- респонденте (владельце счета) межбанковские операции отражаются на активном балансовом счете 30110 «Корреспондентские счета в кредитных организациях -- корреспондентах» (НОСТРО счет) в корреспонденции с банковскими счетами клиентов, со счетами по учету хозяйственно-финансовой деятельности кредитной организации, со счетами по учету незавершенных расчетов кредитной организации со счетом по учету кассы кредитных организаций. В аналитическом учете ведутся лицевые счета в разрезе каждого банка -- корреспондента.

Платежные поручения банка -- респондента, которые не могут быть исполнены из-за недостаточности денежных средств на его счете, возвращаются банком -- корреспондентом в день их получения, если иное не предусмотрено договором счета.

Расчетные документы на бесспорное (безакцептное) списание денежных средств с корреспондентского счета (ЛОРО счета) при отсутствии или недостаточности на нем денежных средств помещаются банком -- корреспондентом в картотеку неоплаченных расчетных документов к указанному счету банка -- респондента и оплачиваются в очередности, установленной законодательством. При недостаточности средств на корреспондентском счете банка -- респондента осуществляется частичная оплата расчетных документов на бесспорное (безакцептное) списание средств аналогично ранее изложенному порядку для платежных требований и инкассовых поручений.

Расчетные операции осуществляются при условии обеспечения ежедневного равенства остатков денежных средств по корреспондентскому счету на балансе банка -- респондента и на балансе банка -- корреспондента. Отражение расчетных операций на балансах участвующих банков осуществляется одной календарной датой (число, месяц, год)-- датой перечисления платежа (ДПП).

Расчетные операции между головной кредитной организацией и филиалами, а также между филиалами одной кредитной организации осуществляются через счета межфилиальных расчетов. Учет операций осуществляется на счете 303 «Расчеты с филиалами». Для осуществления операции в балансах головной организации и филиалах открываются парные счета, аналогичные ЛОРО и НОСТРО.

Для проведения операций по счетам межфилиальных расчетов в балансе кредитных организаций используются следующие счета: для расчетов между филиалами -- 30301 (П), 30302 (А) «Расчеты с филиалами, расположенными в РБ». На балансе каждого подразделения кредитной организации (филиала, головной организации) открывается два счета: для учета отправляемых платежей -- 30301; для учета поступивших платежей -- 30302. Данные счета открываются в разрезе каждого филиала, с которым осуществляются расчеты по видам валют, видам групп операций. Аналитический учет определяется кредитной организацией в разрезе; подразделений кредитной организации, видов валют, видов групп операций. В балансе подразделения кредитной организации показываются остатки как по счету 30301, так и по счету 30302. В сводном ежедневном балансе кредитной организации остатки по этим счетам должны быть равны; для учета расчетов по перераспределению ресурсов -- 30305 (П) «Расчеты между подразделениями одной кредитной организации по полученным ресурсам», 30306 (А) «Расчеты между подразделениями одной кредитной организации по переданным ресурсам». Аналитический учет ведется в разрезе каждого выданного и полученного вида ресурсов отдельно по каждому подразделению кредитной организации, получившему и предоставившему ресурсы. В целом по ежедневному балансу кредитной организации остатки по пассивному счету 30305 и активному счету 30306 должны быть равны.

При недостаточности денежных средств на счетах подразделения кредитной организации, через которое осуществляются платежи филиала, имеющего только счета межфилиальных расчетов, расчетные документы филиала помещаются в соответствующую картотеку неоплаченных расчетных документов к корреспондентскому счету (субсчету) кредитной организации (филиала), открытому в подразделении расчетной сети НБРБ. Ведение картотеки неоплаченных расчетных документов к счету межфилиальных расчетов не осуществляется.

Расчетные операции осуществляются при условии обеспечения ежедневного равенства остатков денежных средств по счетам межфилиальных расчетов подразделений одной кредитной организации (головной кредитной организации, филиалов кредитной организации). Отражение расчетных операций в головной кредитной организации, филиалов кредитной организации по счетам межфилиальных расчетов осуществляется одной календарной датой (число, месяц, год) -- датой перечисления платежа

1.3 Нормативные документы, определяющие порядок проведения и учета

Порядок проведения межбанковских расчетов в Республике Беларусь регламентирует Инструкция по осуществлению межбанковских расчетов через автоматизированную систему межбанковских расчетов Национального банка Республики Беларусь, утвержденная постановлением Правления Нацбанка РБ от 10.03.2005 № 37 (далее - Инструкция).

Межбанковские расчеты через автоматизированную систему межбанковских расчетов Нацбанка РБ (далее - АС МБР) осуществляются в официальной денежной единице Республики Беларусь.

Участниками АС МБР являются Нацбанк, банки Республики Беларусь и банки-нерезиденты. Филиалы банков осуществляют межбанковские расчеты в пределах полномочий, предоставленных банком. Нацбанк РБ непосредственно осуществляет электронные переводы денежных средств в АС МБР между участниками системы.

Для участия в АС МБР банк направляет в Нацбанк РБ письменное заявление произвольной формы.

Согласно п.19 Инструкции участие банка в АС МБР допускается при соблюдении следующих условий:

наличии лицензии на осуществление банковской деятельности, выданной Нацбанку РБ в соответствии с законодательством Республики Беларусь; бухгалтерский межбанковский расчет клиринг

открытии в установленном законодательством Республики Беларусь порядке корреспондентского счета в Нацбанке РБ;

включении в справочник банковских идентификационных кодов;

положительных результатах тестирования.



2. ПРОВЕДЕНИЕ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЁТА МЕЖБАНКОВСКИХ РАСЧЕТОВ

2.1 Организация работы со счетами при осуществлении межбанковских, межфилиальных расчетов

Расчетные операции по перечислению денежных средств через кредитные организации (филиалы) могут осуществляться с использованием: 1) корреспондентских счетов (субсчетов), открытых в НБРБ; 2) корреспондентских счетов, открытых в других кредитных организациях; 3) счетов участников расчетов, открытых в небанковских кредитных организациях, осуществляющих расчетные операции; 4) счетов межфилиальных расчетов, открытых внутри одной кредитной организации.

Основной объем расчетных операций кредитных организаций осуществляется по их корреспондентским счетам, открытым в НБРБ. Для их проведения НБРБ в 1992 г. была создана широкая сеть расчетно-кассовых центров (РКЦ). Для осуществления расчетов каждая кредитная организация открывает в РКЦ по месту своего нахождения один корреспондентский счет. Расчетные отношения между кредитными организациями и НБРБ регулируются договором корреспондентского счета. Договор счета определяет порядок расчетного обслуживания, права и обязанности кредитной организации и НБРБ; способ обмена расчетными документами; порядок оплаты за оказываемые НБРБ расчетные услуги; ответственность сторон за исполнение обязательств по договору.

Для открытия корреспондентского счета кредитная организация представляет в РКЦ: заявление на открытие счета; копию лицензии на осуществление банковских операций; копии учредительных документов; копию выписки о перечислении средств с временного накопительного счета на основной корреспондентский счет; кандидатуры руководителя и главного бухгалтера; свидетельство о постановке на учет в налоговом органе; справку о постановке на учет в Фонде обязательного медицинского страхования; извещение страхователя Фонда социального страхования; карточку с образцами подписей руководителя, главного бухгалтера и уполномоченных должностных лиц; письмо о постановке на учет в Едином государственном регистраторе предприятий и организаций.

Операции по корреспондентским счетам осуществляются на основании расчетных документов на бумажных носителях или в электронном виде.

Кредитная организация представляет в РКЦ сводное платежное поручение, которое является письменным распоряжением кредитной организации-плательщика о списании с корсчета суммы денежных средств. Сводное платежное поручение представляется отдельно по каждому виду платежа и по каждой гpyппe очередности.

Прием расчетных документов НБРБ осуществляется независимо от остатка средств на счете кредитной организации. При достаточности денежных средств на корреспондентском счете для удовлетворения всех предъявленных требований, списание средств осуществляется в порядке поступления распоряжений владельца счета. При недостаточности денежных средств операции по списанию средств осуществляется в соответствии с очередностью, установленной законодательством. Расчетные документы помещаются в картотеку неоплаченных расчетных документов к корреспондентскому счету.

Подтверждение совершения операции (списание или зачисление средств на корсчет) осуществляется выпиской из корреспондентского счета, выданной РКЦ. При получении выписки из корреспондентского счета кредитная организация зачисляет денежные средства клиенту.

Платеж, осуществляемый кредитной организацией через РКЦ, считается: а) безотзывным - после списания средств с корсчета; б) окончательным - после зачисления средств насчет получателя.

Основанием для закрытия корсчета в РКЦ является расторжение договора счета.

Сущность порядка организации межбанковских расчетов проявляется в принципах его организации:

- платежи по корреспондентским счетам кредитных организаций осуществляются при наличии и в пределах денежных средств по ним;

- операции по корреспондентским счетам совершаются только на основании предоставляемых банками сводных платежных поручений и прилагаемой к ним описи расчетных документов;

- в процессе осуществления расчетных операций должны обеспечиваться синхронность и тесная взаимоувязка в проведении соответствующих сумм по балансам банков и обслуживающих их расчетных центров;

- средства зачисляются банками на счета клиентов при условии проведения соответствующих операций по их корреспондентским счетам в расчетных центрах;

- расчеты между банками считаются завершенными только при условии отражения их сумм по корреспондентским счетам;

- контроль за правильностью совершения расчетов между хозорганами осуществляют банки;

- контроль за правильностью и полнотой завершения расчетов между банками осуществляют расчетные центры Центрального банка.

Для осуществления платежей и расчетно-кассового обслуживания клиентов банки по поручению друг друга устанавливают между собой отношения, получившие название корреспондентских, а их участники банков-корреспондентов.

Корреспондентские межбанковские операции - это всевозможные формы сотрудничества между двумя банками, которое основывается на корректном, честном выполнении взаимных поручений. Иными словами, предметом корреспондентского дела является отношение между двумя банками, связанными между собой деловыми отношениями.

Необходимость установления корреспондентских отношений, прежде всего, связана с предоставлением услуг клиентам банков. В мировой практике операция, основывающаяся на обслуживании клиентов, получила название «базисной» операции. Базисная операция представляет собой осуществление платежей по корреспондентскому счету банка-респондента, ведущегося в банке-корреспонденте. Другой причиной установления между банками корреспондентских отношений является проведение собственных операций банков (межбанковские операции). Формами межбанковских операций являются: 1) операции по купле-продаже иностранной валюты; 2) краткосрочные кредитные операции; 3) образование вкладов; 4) хранение ценных бумаг; 5) клиринговые расчеты.

Взаимоотношения между кредитными организациями при осуществлении расчетных операций по корреспондентским счетам оформляются соответствующим соглашением - договором корреспондентского счета, заключенным между сторонами.

В нем предусматриваются: 1) порядок установления одной календарной даты перечисления платежа при проведении расчетных операций; 2) правила обмена документами (на бумажных носителях, в виде электронного документа); 3) обязательства банка-исполнителя направлять банку-отправителю подтверждение о совершении расчетной операции для ее отражения по корреспондентскому счету в банке-респонденте одной датой; 4) обязательства банка-респондента по пополнению корреспондентского счета для оплаты расчетных документов; 5) кредитование счета банком-корреспондентом; 6) условия расторжения договора.

Для осуществления межбанковских корреспондентских отношений используются счета «ЛОРО» и «НОСТРО». Счет «ЛОРО» - это счет банка-респондента в банке-корреспонденте. Счет «НОСТРО» - это счет банка - корреспондента в банке-респонденте.

Операции по списанию денежных средств с корреспондентского счета «ЛОРО» осуществляются банком-корреспондентом по платежному поручению банка-респондента.

Основанием для осуществления расчетных операций по корсчету в банке-отправителе являются расчетные документы клиента и по собственным операциям банка-респондента и составленное на их основе платежное поручение, а в банке-исполнителе - экземпляр платежного поручения банка - отправителя и приложенные к нему расчетные документы клиентов и по собственным операциям банка-отправителя.

Закрытие корреспондентского счета производится при расторжении договора.

Другим способом осуществление межбанковских расчетов является осуществление платежей путем взаимозачета платежных обязательств и требований банка через клиринговое учреждение.

Клиринговое учреждение - небанковская кредитная организация, осуществляющая на основании специальной лицензии НБРБ: а) обмен платежными документами между банками-участниками; б) расчет чистых позиций банков-участников. Главной отличительной особенностью клиринговых центров (расчетных палат) перед обычными банками является наличие специальной лицензии НБРБ, которая не дает им права производить кредитные операции, что позволяет обеспечивать надежность проведения платежей через небанковские кредитные организации. Клиринговое учреждение свободно от основных банковских рисков и несет ответственность за:

- правильность расчетов чистых позиций банков-участников;

- своевременное отражение чистых позиций по их счетам в клиринговом учреждении;

- дебетовое сальдо по своему корреспондентскому счету, если оно образовалось в результате операций, связанных с собственной хозяйственной деятельностью.

Основным направлением деятельности расчетных палат является проведение региональных и внутрирегиональных расчетов. Для ускорения проведения платежей банки вступают в корреспондентские отношения с расчетными палатами. Возникает схема, при которой взаимозачет производится между банками-корреспондентами в расчетных центрах.

Существует несколько концепций клиринговых схем:

- двусторонний взаимозачет без централизованного контроля за величиной чистых позиций с самостоятельным подкреплением корреспондентских счетов;

- двусторонний взаимозачет с централизованным контролем за величиной чистых позиций;

- двусторонний взаимозачет с депонированием обеспечения в клиринговом центре;

- многосторонний взаимозачет с предварительным депонированием денежных средств на счетах участников в клиринговом учреждении;

- многосторонний взаимозачет без предварительного депонирования денежных средств на счетах участников в клиринговом учреждении;

- внутрибанковский взаимозачет. Одногородние межфилиальные расчеты. Расчеты между учреждениями банка.

Общими чертами данных схем являются наличие единого вычислительно-коммуникационного блока в клиринговой палате, контроль клиринговой палаты за электронно-цифровым платежным документооборотом, поддержка и обслуживание всех технических решений. Клиринговые схемы существенно уменьшают (за счет процедуры взаимозачета) потребность в величине остатков на ностро-счетах участников без снижения объемов проводимых платежей.

Расчетные операции кредитной организации между головной организацией и филиалами, между филиалами внутри кредитной организации осуществляется через счета межфилиальных расчетов. По счетам межфилиальных расчетов подразделения кредитной организации проводят платежи по всем банковским операциям.

При отсутствии корреспондентского субсчета в НБРБ и корреспондентских счетов в других кредитных организациях филиал проводит все расчетные операции через счета межфилиальных расчетов, открытые в подразделениях кредитной организации.

Расчеты внутри кредитной организации регулируются Положением о филиале и Правилами построения расчетной системы кредитной организации. Внутрибанковские правила оформляются отдельным документом, который должен содержать следующее: 1) порядок открытия, закрытия и пополнения счетов межфилиальных расчетов; 2) процедуру идентификации каждого участника расчетов; 3) порядок документооборота; 4) порядок перераспределения денежных средств между подразделениями кредитной организации; 5) порядок урегулирования взаимной задолженности; 6) другие вопросы.

2.2 Бухгалтерский учет расчетов в системе BISS

Межбанковские расчеты в системе BISS осуществляются с учетом следующих принципов, представленных на рис. 2.1.

ПРИНЦИПЫ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ МЕЖБАНКОВСКИХ РАСЧЕТОВ В СИСТЕМЕ BISS

Иммунизация - метод управления портфелем облигаций, который обеспечивает заданный поток выплат по обязательствам инвестора. Если на рынке имеются облигации A (бескупонная со сроком погашения 1 год) и C (купонная со сроком погашения 3 года), а срок погашения портфеля 2 года, то доли облигаций xA и xC в портфеле удовлетворяют системе уравнений [1] где TC - дюрация облигации C. Первое уравнение означает, что портфель содержит облигации A и C. Однако, природа второго уравнения неясна. Если портфель из облигаций A и C имеет ценность облигации B, то запись А+C=B выражает равенство денежных потоков по срокам и риску, когда внутренние стоимости портфеля (A+C) и облигации B одинаковы. Если портфель ценнее облигации B, то прибыль равна (А+C)-B. Занять длинную позицию (cделать длинный ход, + ) - купить и владеть облигацией. Занять короткую позицию (сделать короткий ход, - ) - выпустить и продать ее. Портфель по длинной позиции +А+C=+B, по короткой позиции -А-C=-B. Длинная позиция по C равна портфелю из длинной позиции по B и короткой позиции по А: +C=+B-А. Запись -А=-B+C означает, что A продается по цене, равной доходу от продажи B и покупки C. Внутренняя стоимость портфеля облигаций A и C зависит от рыночной ставки процента r. Продифференцируем ее по r:, где учтено xC=1-xA. Внутренняя стоимость купонной облигации со сроком погашения n где Ct - выплаты по облигации в периоды t, N - ее номинальная стоимость. Производная внутренней стоимости облигации по рыночной ставке процента, где дюрация облигации. Подстановка дает. Для бескупонных облигаций TA=1 и TB=2. С учетом этого получаем. Если принять VA=VB=VC, то это уравнение примет требуемый вид. Портфель одногодичных и трехгодичных облигаций A и C будем называть эталонным, если его внутренняя стоимость V равна внутренним стоимостям этих облигаций VA=VC. Будущая стоимость эталонного портфеля. Номинальная стоимость облигаций A и C в эталонном портфеле и, где kC=C/NC - купонная ставка. При kC=r номинальная стоимость облигации C в эталонном портфеле равна внутренней стоимости портфеля. Дюрация облигации C в эталонном портфеле. По исходной и конечной внутренней стоимости портфеля V0 и V1 вычисляют его доходность. Составим эталонный портфель с будущей стоимостью N=100 при рыночной ставке процента r=0,1. Внутренняя стоимость портфеля V=82,645. Номинальная стоимость облигаций A и C в эталонном портфеле NA0=90,909 и NC0=82,645. Дюрация TC0=2,7355. Доли облигаций xA0=0,4238 и xC0=0,5762. Облигации A и C можно купить за xA0NA0=38,528 и xC0NC0=47,619. Портфель можно купить за 86,147. Доходность эталонного портфеля k=0,1608. На рынке ценных бумаг может не оказаться нужных одногодичных и трехгодичных облигаций, а портфель инвестора может сильно отличаться от эталонного портфеля. Предположим, что на рынке со ставкой процента r=0,1 есть одногодичные облигации A с номиналом NA=100 и с текущей ценой PA=NA/(1+r)=90,909 и трехгодичные облигации C с номиналом NC=100 и купонами C=10. Поскольку купонная ставка kC=r, то текущая цена PC=NC=100 и дюрация TC=TC0=2,7355. Доли облигаций в портфеле инвестора xA=0,4238 и xC=0,5762. Нужно купить MA=xAV/PA=0,3853 и MC=xCV/PC=0,4762 облигаций на сумму MANA+MCNC=86,147. Доходность портфеля инвестора k=0,1608. [1] Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. - М.: Инфра, 1997. Дарбин-Уотсон. Для выявления сериальной корреляции широко применяют критерий Дарбина-Уотсона. Первоначально он был предложен фон Нейманом. Нужно подобрать линейную модель по наблюдениям (yi,x1i,...,xki). Обычно ошибки ui предполагаются независимыми величинами с рапределением N(0,?u2), а все сериальные корреляции ?=0. С помощью критерия ДУ можно проверить гипотезу H0: ?=0 против H1: ??0 (или |?s|<1). Такая альтернатива появляется из предположения, что ошибки подчиняются условию, где ?i?N(0;?2), а независимы ui-1, ui-2,… и ?i-1, ?i-2,… Еще предполагается, что среднее и дисперсия ошибок ui постоянны и не зависят от i, откуда следует ui?N(0;?2/(1-?2)). Если нулевая гипотеза верна и ?s=0, это условие сводится к ui?N(0;?2), т.е. к обычным предположением для всех i=1,2,...,n. Для проверки H0 против H1 мы строим модель регрессии и находим остатки e1,e2,....,en. DW применяют только ждя проверки нижнего хвоста, т.е. против альтернативы ?>0. А для проверки альтернативы ?=0 используется статистика 4-DW. Критическое значение DW при уровне значимости б зависит от n. Нижнюю и верхнюю границы критического значения DW обозначают dL и dU. Бокс-Дженикс. Регулярность данных при сезонном сглаживании учитывается с позиции "взгляда назад". Применяя метод сглаживания, нужно использовать две сглаживающие постоянного ряда: одна - тенденция, прослеживающаяся в данном ряду, другая - для компонента сезонности. Сильный прогноз дает метод Бокса-Дженикса, который относится к модели авторегрессивного интегрированного скользящего среднего (АСС). При его использовании избегают многих ошибок, но он достаточно сложный и не поддерживается функциями, встроенными в Excel. Любой процесс прогнозирования опасен и полон ловушек. Чтобы прогноз был максимально приближен к будущей реальности, необходимы, прежде всего, правильно составленная базовая линия, правильно выбранный метод (в соответствии со значениями этой линии) и большое число переменных, с которыми вы работаете в процессе создания прогноза. Любой прогноз нужно рассматривать с определенной долей скептицизма и здравого смысла. Кривые спроса. Как известно, спрос q зависит от цены блага p и его полезности u:. Для трех сделок купли-продажи вектор спроса q=Xb - это произведение 3?3-матрицы факторов спроса X на вектор параметров спроса b. Обыкновенный товар. В первой сделке покупатель по цене p1=1 приобрел q1=2 единицы товара, полезность этой сделки u1=p1q1=2. Во второй сделке покупатель по цене p2=1 приобрел q1=1 единицу товара, а полезность u2=p2q2=2. В третьей сделке покупателю удалось по цене p3=1,5 приобрести q3=1 единицу товара, а полезность u3=p3q3+?u больше уплаченной денежной суммы на величину ?u>0. Факторы спроса даны в таблице 1. Таблица 1. Cпрос на обыкновенный товар. Параметры спроса b=X-1q зависят от величины ?u:,,. Чтобы получить кривую спроса примем для любой сделки u=pq:. Кривая спроса q(p) описывается выражением, где a0=-b0/b2=6?u-1; a1=-b1/b2=1-2?u; a2=-1/b2=2?u-1. На рис.1 приводятся зависимости a0, a1, a2 и v=a0-a1a2 от полезности товара ?u. Рис.1. Зависимость a0, a1, a2 и v от полезности ?u. Гиффиновский товар. В первой сделке покупатель по цене p1=1 приобрел q1=2 единицы товара, полезность этой сделки u1=p1q1=2. Во второй сделке покупатель по цене p2=1 приобрел q1=3 единицу того же товара, а полезность u2=p2q2=6. В третьей сделке покупатель согласился по цене p3=1,5 приобрести q3=3 единицу товара, полезность u3=p3q3-?u меньше уплаченной денежной суммы на величину ?u>0. Факторы спроса даны в таблице 2. Таблица 2. Cпрос на гиффиновский товар. Параметры спроса b=X-1q зависят от величины ?u:,,. Чтобы получить кривую спроса примем для любой сделки u=pq:. Кривая спроса, где a0=-b0/b2=2?u-3; a1=-b1/b2=2?u+3; a2=-1/b2=2?u-1. На рис.2 приводятся зависимости a0, a1, a2 и v=a0-a1a2 от полезности товара ?u. Рис.2. Зависимость a0, a1, a2 и v от полезности ?u. Конъюнктура потребительского рынка v>0 для обыкновенного товара и v<0 для гиффиновского товара. Кривую спроса p(q) описывает выражение. Для p>0 нужно иметь a1<q<a0/a2 или a0/a2<q<a1. Величина a1 - объем товара, покупаемого по любой цене (p?? при v>0), a2 - ценовая скидка. Кривые спроса q(p) на обыкновенный товар представлены на рис.3 для ?u=0, ?u=0,5 и ?u=1. Спрос на обыкновенный товар при ?u=0 не зависит от его цены, а при ?u>0 уменьшается с ценой p. Рис.3. Кривые спроса q(p) на обыкновенный товар. Кривые спроса q(p) на гиффиновский товар представлены на рис.4 для ?u=0, ?u=0,5 и ?u=1. Спрос на гиффиновский товар при ?u=0 не зависит от его цены, а при ?u>0 увеличивается с ценой p. Рис.4. Кривые спроса q(p) на гиффиновский товар. Эластичность спроса по цене. Для обыкновенного товара Ep<0, поскольку v>0, а для гиффиновского товара Ep>0, так как v<0. Эластичность спроса по объему. Cпрос эластичный при |Ep|>1 и неэластичный при |Ep|<1. Кривые предложения. Рынок обыкновенного товара имеет положительную конъюнктуру, а гиффиновского товара - отрицательную конъюнктуру. Закон предложения обыкновенного товара получим из закона спроса на гиффиновский товар, в котором знак конъюнктуры изменим на обратный. В итоге кривые спроса и предложения обыкновенного товара принимают вид и, где b1 - объем товара, предлагаемого по любой цене (p?? при vS>0), b2 - ценовая скидка, а vD>0 и vS>0. Если они пересекаются при цене p, то,. Если a=0 (a2=b2), то q1*=(vDb1+vSa1)/(vD+vS) и q2*=0. Кривые рис.4 получены при v=6 и v=9 для a1=-1, a2=1, b1=5, b2=1. Состояния рынка (q;p) являются равновесными в точках (2;1) и (2;2) пересечения D1с S1 (v=6) и D2 с S2 (v=9). Но точки (1,4;1,5) и (2,6;1,5) не являются равновесными, так как кривым D1,S2 и D1,S2 отвечают разные значения конъюнктур. Рис.4. Кривые спроса и предложения для v=6 и v=9. Условия равновесия выражаются в виде и. Уравнение для равновесного объема. Если a=0 (a2=b2), то q1*=(a1+b1)/2 и q2*=0. Кривые рис.5 получены при v=6 для a1=-1, a2=1 или 0, b1=5, b2=1 или 0. Из начального состояния 1 в точке (2;1) рынок переходит в точку (2,7;1,6) в процессе предложения 1-2 с ценовой скидкой (b1=5, b2=1). Процесс спроса 2-3 без ценовой скидки (a1=-1, a2=0) переводит рынок из состояния 2 в состояние 3 с точкой (2;2). Процесс предложения 3-4 без скидки (b1=5, b2=0) переводит рынок из состояния 3 в состояние 4 с (1,3;1,6). Наконец, процесс спроса со скидкой (a1=-1, a2=1) переводит рынок из состояния 4 в начальное состояние 3. Все точки цикла отвечают равновесным состояниям рынка обыкновенного товара. Рис.5. Экономический цикл спроса и предложения. Выручка R=pq и себестоимость C зависят от объема продаж q:. Они изображены на рис.6 (v=6, a1=-1, b1=5). При q<qmax=(a1+b1)/2 продажа прибыльна. Кривая прибыли P=R-C имеет вид холма с вершиной q*=0,85. Изменения прибыли с объемом продаж характеризуют предельные величины. Рис.6. Зависимость выручки себестоимости и прибыли от q. 8. Кредитный портфель. С ростом сроков предоставления кредита уменьшается вероятность своевременного и полного выполнения заемщиком кредитного соглашения. Но серьезные инвестиционные проекты требуют долгосрочное кредитование. Кредитный запрос характеризует размер займа Q, который хочет получить заемщик в момент времени T0. График возвращения ссудного капитала и процентов за кредит содержит платежи Vt, которые осуществит заемщик в моменты времени Тi, i=1,...,т. Обозначим r суточную ставку использования банком кредитных ресурсов. Тогда, при условии полного и своевременного выполнения заемщиком кредитного соглашения, приведенная к моменту времени Т0 прибыль банка, где ri - ставка процента для момента времени Тi: (i=1,...,m). Пусть кредитный запрос имеет характеристики таблицы 1. Таблица 1. Описание кредитного запроса (тыс.грн). Если суточная ставка составляет 0,1%, то приведенная прибыль банка: (тыс. грн). Заем Q и прибыль D - основные показатели кредитного запроса в момент времени T0. Пусть в момент времени Т0 есть множество кредитных запросов. Любой из п запросов множества уже прошел предшествующую экспертизу и может быть взят банком для выполнения. Из-за ограниченности кредитных ресурсов перед банком стоит вопрос, какие запросы включить в портфель? Кредитный портфель обеспечит банку наибольшую прибыль D от размещения имеющихся в момент времени Т0 ресурсов R (целочисленная задача МП с булевскими переменными): , j=1,...,n, где Dj и Qj - чистая прибыль и заем по j-му запросу. Логические переменные хj (j=1,...,п) отражают включение j-го запроса в портфель. На 1 сентября 2002 года есть 5 кредитных запросов из таблицы 2. Таблица 2. Основные показатели запросов (тыс. грн.). Если лимит ресурсов банка на 1 сентября 2002 года равен 1 млн. грн., то оптимальный портфель x1=(0,1,1,0,1) включает второй, третий и пятый запрос, а первый и четвертый за неимением ресурсов необходимо отклонить. Портфель обеспечит банку прибыль, приведенную к 1 сентября 2002 года, в 160,8 тыс. грн. Рассмотрим запрос Q с приведенным чистым доходом D. Существует вероятность р?[0;1] неплатежеспособности заемщика. Нужно рассмотреть ожидаемую прибыль mD и дисперсию прибыли ?D2: Вместо дисперсии можно использовать стандартное отклонение. Результаты расчета показателей риска пяти запросов даны в таблице 3. Таблица 3. Вычисление показателей риска кредитных запросов. Рассмотрим множество кредитных запросов и кредитный портфель x=(х1,...,хn). В условиях риска приведенная прибыль (прибыль портфеля) D является случайной величиной. Ее ожидаемое значение mD определяется ожидаемыми прибылями mDj кредитных запросов:. Для вычисления дисперсии нужны дисперсии и коэффициенты корреляции неплатежеспособности заемщиков:, где ?j - стандартное отклонение чистого дохода j-го кредитного запроса, ?ij -коэффициент корреляции i-го и j-го кредитного запроса (i,j=1,...п). Пусть коэффициенты корреляции указаны в таблице 4. Таблица 4. Оценки коэффициентов корреляции. Вычислим показатели риска кредитного портфеля х1=(0,1,1,0,1) по данным таблиц 3 и 4. Ожидаемый чистый доход и стандартное отклонение: (тыс. грн.). В условиях риска неплатежеспособности оптимальный кредитный портфель определяется ожидаемой прибылью и стандартным отклонением, исходя из особенностей отношения кредитора к риску. При несклонности к риску оптимальный портфель отвечает решению задачи квадратичного программирования с булевскими переменными:,, j=1,...,n. Целевая функция отражает требование максимизации приведенного чистого дохода портфеля, так и требование минимизации дисперсии дохода (уменьшить риск получения чистого дохода в размере меньше ожидаемого). Параметр k обеспечивает достижение компромисса указанных критериев. Он определяется уровнем несклонности к риску, который приемлем в кредитном учреждении. Можно воспользоваться рекомендациями таблицы 5. Таблица 5. Ориентировочные значения параметра k. Для расчетов используем данные таблиц 3 и 4, лимит кредитных ресурсов банка на 1 сентября 2002 года оставим без изменений - 1 млн. грн. Уровень несклонности к риску средний (k=0,05). Оптимальный портфель х2=(1,1,1,1,0). Статистические характеристики: m=133,44 тыс. грн., ?D=12,081 тыс. грн. В сравнении с портфелем х1 ожидаемая прибыль выросла (с 119,07 до 133,44 тыс. грн.) и риск не получить прибыль уменьшился (стандартное отклонение меньше с 18,430 до 12,081 тыс. грн.). Неуправляемые параметры: Т - длительность проекта (жизненный цикл), Іt - ресурсы для выполнения проекта в t-ом временном промежутке, Vt - стоимость текущих затрат по реализации проекта в t-ом промежутке. Если Rt - оценка текущих результатов проекта в t-ом промежутке, то прибыль от проекта, приведенная к началу жизненного цикла:, где r - ставка процента. Управляемые переменные: xt=1, если проект начат в t-ом промежутке, 0 в противоположном случае; N0 - чистый доход от проекта:, где Т0 - длительность горизонта планирование (Т0>Т). Таблица 1. Показатели инвестиционного проекта, млн. грн. Если ставка r=0,2, то приведенная прибыль от проекта (млн. грн.):. Если проект начат сразу (х1=1) или в третьем году (х1=0, x2=0, x3=1), то или. Инвестиционный j-проект характеризуют показатели: Тj -жизненный цикл, Ijt - инвестиционные затраты в t-ом временном промежутке, Vjt и Rjt -затраты и результаты в t-ом промежутке, Nj - чистый доход:. Неизвестными являются переменные xjt=1, если j-ый проект будет начат в t-ом промежутке, xjt=0 в противоположном случае. Значение t для переменной xjt изменяется от 1 до T0-Tj+1. План нужно сформировать с учетом лимитов Kt в t-промежутке (t=1,...,T0, Т0>maxTj). Задача в детерминированном случае:, ?=1,...,T0, , , t=1,...,T0-Tj+1, j=1,...,n. Это целочисленная задача ЛП с логическими переменными. Ценные бумаги. Курсы ценных бумаг играют важную роль на рынке капитала. В ранних исследованиях принималось, что основной стохастический процесс - случайное блуждание и броуновское движение. Блуждание имеет свойство мартингала с последовательностью случайных величин, независимых и имеющих одинаковые распределения. Стандартное броуновское движение B(t) имеет нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией t. Стохастическое поведение курса ценных бумаг не должно всегда иметь нормальное распределение: имеются распределения с бесконечной дисперсией, которые удовлетворяют свойству мартингала. Сильная гипотеза мартингала была проверена наблюдениями за поведением инсайдеров. Они действительно имели особую информацию и получали на этом прибыль. Свойство мартингала для броуновского движения - основой эффективного рынка. Курс ценных бумаг движется в обе стороны на Дx с равной вероятностью. Эти движения происходят за Дt единиц времени, во времена Дt, 2Дt, ... Пусть Y1, Y2, ... - последовательность независимых случайных величин с вероятностями P(Yi=Дx)=P(Yi=-Дx)=1/2 для i=1,2,… В момент времени t число движений равно [t/Дt] ( [w] - наибольшее целое число, меньше или равное w), а положение частицы (полное богатство) X(t)=Y1+Y2+…+Y[t/Дt]. Для получения броуновского движения как предельно случайного процесса устремим Дx и Дt к нулю, чтобы X(t)?B(t). Поскольку M[X2(t)]~(Дx)2t/Дt должно быть положительным и конечным, то Дx имеет порядок (Дt)1/2. Пусть Дx=(Дt)1/2 и Дt=1/n. Тогда Yi=(n)-1/2 c вероятностью 1/2, а X(t) имеет распределение, где Z равны 1 с вероятностью 1/2. По центральной предельной теореме X(n)(t) сходится к нормальному распределению с нулевым средним и дисперсией t при n??. Все распределения X(n)(t) асимптотически идентичны распределению броуновского движения В(t). Аксиомы броуновского движения: (1) случайная величина B(t+Дt)-B(t) не зависит от сигма алгебры, генерированной случайными величинами до времени t; изменение положения в течение (t,t+Дt) не зависит от того, что случилось до времени t, (2) распределение случайной величины B(t+Дt)-B(t) стационарно и не зависит от t, (3) limP(|B(t+Дt)-B(t)|>д)/Дt=0 для д>0 при Дt?0 (непрерывность). Путь B(t) должен быть непрерывной функцией t. Если B(0)=0, то есть такие числа м и у, что B(t) нормально распределено со средним значением мt и дисперсией у2t для каждого t. При м=0 и у=1 B называется стандартным броуновским движением. Вычислим вероятность p того, что частица достигнет точки S прежде, чем достигает нуля, если в начальный момент времени она находится в точке X(0)=w. Процесс достигнет S-w прежде, чем он достигает -w, если X(0)=0. Первое время прохождения Ф при а=-w и b=S-w есть первое время достижения а или b. Рассмотрим случай м=0. Поскольку X(0)=0, то M[X(T)]=aP(X(T)=a)+bP(X(T)=b)=a(1-p)+bp=0. Решение дает p=-a/(b-a)=w/S. Теперь нужно проверить, что M[X(T)]=0. Агент имеет портфель ликвидных активов и остатки в кассе. Доход портфеля составляет r в день, постоянные издержки г сопровождают перевод денег с одного счета на другой. Если решено сделать перевод, то он производится без задержки. Флуктуация наличного баланса определяется симметричным случайным блужданием; в течение известного интервала времени кассовые остатки растут или уменьшаются на m долларов с вероятностью p или 1-p. Агент минимизирует долговременные средние издержки управления кассовыми остатками. Кассовые остатки могут колебаться между 0 и h. Если достигнута верхняя граница h, то сумма h-z наличных денег передается в портфель ликвидных активов. Если достигнута нижняя граница 0, то z долларов передается из портфеля в кассу. Установившееся распределение денежных запасов треугольное со средним значением (h+z)/3, отождествляемым с долговременным спросом на наличные остатки. Оптимальные значения, а спрос на деньги, где у2=4m2p(l-p) - дисперсия ежедневных потоков наличности. Агент имеет резерв остатков, который увеличивается доходом от сбыта и уменьшается эксплуатационными расходами. Уровень остатков X(t) при этих стохастических сложениях и вычитаниях определяется броуновским движением: X={X(t),t>0} с начальным состоянием x>0, дрейфом м и дисперсией у2, так что M[X(t)]=x+мt и D[X(t)]=у2t. Уровень кассовых остатков управляется перемещением ликвидных активов в портфель или из портфеля. Перемещения происходят мгновенно с издержками k за доллар, переданный в кассовые остатки, и с за доллар, переданный в портфель. Деньги в форме кассовых остатков не зарабатывают ничего, в то время как доход от доллара в портфеле ликвидных активов равен h в единицу времени. Таким образом, h - это издержки доллара кассовых остатков. Пусть Y(t) - сумма, переданная из портфеля в кассовые остатки, а Z(t) - сумма, переданная из кассы в портфель ликвидных активов за время t. Цель - минимизация дисконтированных затрат при ограничении на остатки W(t)=X(t)+Y(t)-Z(t)>0 для всех t>0. Если б - учетная ставка, нужно найти пару (Y,Z), которая минимизирует. Интегрирование показывает, что нужно минимизировать выражение, где использовано обозначение с неубывающими интегрируемыми функциями g(t). Оптимальная политика определяется парой средств управления (Y,Z), для которой 0<W(t)<S при t>0, где S положительное решение уравнения. Менеджер должен переводить кассовые остатки в ценные бумаги так, чтобы W(t)<S, и он должен продавать минимальное число ценных бумаг, чтобы W(t)>0. Регулируемый процесс W следует броуновскому движению с двумя отражающими барьерами в 0 и S. Портфель содержит реальное обязательство, акции и номинальное обязательство в пропорциях w1, w2 и w3. Эти величины могут мгновенно и без потерь изменяться. Доходы описываются диффузионными процессами. Два источника неопределенности связаны с инфляцией и с фондовым рынком. Инвесторы выбирают w1, w2 и w3, чтобы максимизировать полезность. Инфляцию описывает случайное дифференциально-разностное уравнение, где P - уровень цен, р - ожидаемый темп инфляции (коэффициент дрейфа), а у - дисперсия процесса в единицу времени (коэффициент диффузии). Случайная компонента dB является стандартным броуновским движением. Анализ этого уравнения выглядит безнадежным, поскольку (B(t+Дt)-B(t))/Дt имеет нулевое среднее и дисперсию 1/Дt, и не имеет вероятностного предела. Пока у B(t) нет производной, дифференциал dB(t) не имеет смысла. Задача в интегральной форме. Теперь пути B имеют неограниченные вариации, и нужно выяснять, что означает понятие стохастического интеграла по броуновскому движению. Если в течение короткого периода времени изменение цены имеет нормальное распределение со средним значением рdt и дисперсией у2dt, то и. Логарифмирование дает. Следовательно, распределение P(t) логнормально со средним и дисперсией M[l]=(р-у2/2)t и D[l]=у2t. Гены эволюционной теории передаются генерацией, мутацией и естественным отбором. Природа отбирает организмы, которые больше всего подходят окружающей среде. Она безжалостно применяет закон больших чисел: после многих испытаний достигаются оптимальные комбинации организмов. Экономические понятия, которые соответствуют биологическим организмам, генам, мутациям и естественному отбору, - фирмы, имитации, новшества и прибыль. Новшества могут последовать как из неумелых имитаций, так и мысленных усилий. Тонкая комбинация случая и интеллекта определяет, процветает ли фирма. Время играет по существу одинаковую роль в эволюции Дарвина и эволюции фирм, но первая происходит в биологических системах в течение миллионов лет, а вторая - в течение жизни человека. Недопустимые организмы устранены природой. Рациональный человек менее пассивен к угрозе существования. Фирмы преднамеренно решают, какие процедуры более подходят для получения прибыли. Эти процедуры применяются и, если они ошибочные, быстро устраняют. Фирмы, продолжающие ошибаться, прекращают существование. Как приложение эволюционной логики в экономике рассмотрим игрока. Вначале игрок имеет один доллар. Если его первая игра успешна, он получает два доллара; если неудачна - он исчезает. Вероятность успеха равна p и агент вкладывает доллар в независимые предприятия. Предприятие имеет вероятность p успеха. Используя процессы ветвления, можно показать, что вероятность неудачи - наименьший неотрицательный корень уравнения g(s)=s с производящей функцией g(s)=1-p+ps2. Решение уравнения (s-1)[s-(1-p)/p]=0 дает вероятность неудачи (1-p)/p для p>1/2 и единицу для p<1/2. Если есть n агентов с вероятностью pi>1/2, вероятность прекращения группы [(1-pi)/pi]ni. Как следствие, группы с pi<1/2 станут уменьшаться, но большая группа с pi=1/2+е может выжить относительно индивида с pi вблизи единицы. Разработана эволюционную модель, в которой вывод о воздействии цены на отношение факторов был получен без понятия максимизации прибыли. Следствие максимизации - конкурентоспособная промышленность достигает равновесия. В равновесии выживают эффективные предприятия. В эволюционной парадигме соревнование и максимизация рассматриваются как тенденции. Эволюционное приближение позволяет моделировать явления несбалансированности. Модель включает два механизма: поиск и отбор. Мотив прибыли стимулирует предприятия привлекать новые технологии производства. Отбор функционирует через мотив прибыли, более выгодные предприятия производят больше продукции. 4.2. Линейные уравнения. Системы линейных алгебраических уравнений имеют вид, где A - m?n-матрица коэффициентов aij, x и c - n?1-векторы, y и b - m?1-векторы. Решением системы Ax=b называется набор чисел k1, k2,…,kn, подстановка которых в вектор x превращает каждое уравнение системы в тождество. Противоречивое уравнение 0x=b с b?0 не имеет решений (при b=0 уравнение тривиальное: оно имеет бесконечное число решений). Если хотя бы одно уравнение противоречиво, то систему называют несовместной. Однородная система уравнений Ax=0 всегда совместна: существует вектор x, который ортогонален всем столбцам матрицы A, столбцы матрицы A линейно зависимы. Если yTA=0, то при y?0 строки матрицы A линейно зависимые. Решение x(y) однородного уравнения Ax=0 (yTA=0) называют тривиальным при x=0 (y=0) и нетривиальным при x?0 (y?0). Соотношение Ax=b с m?n-матрицей A?Rm+n, заданным вектором b?Rm и неизвестным вектором x выражает систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами и задачу обратного отображения - нахождение вектора x?Rn, который переводится матрицей A в вектор b?Rm. Если рассматривать вектор Ax как взвешенную с весами x сумму столбцов матрицы A, то можно записать а xj удобнее считать скалярами, чем компонентами вектора. В этой форме можно искать xj как коэффициенты линейной комбинации векторов A*j. Аналогично, yTA можно рассматривать как взвешенную сумму строк матрицы A. Если A?Rm?n и 0 - нулевой вектор из Rm, то множество решений уравнения Ax=0 является подпространством в Rn, называемым аннулируемым пространством N(A). Область значений R(A) матрицы A образована векторами y=Ax, если x?Rn. Cумма размерностей N(A) и R(A) равна n. Область R(A) называют также образом пространства Rn при действии A и «пространством столбцов» для A, поскольку совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов матрицы A. Матрица A имеет ранг r, когда аннулируемое пространство N(A) имеет размерность n-r. Если A?Rm?n, то уравнение Ax=b имеет решение в том случае, когда m?(n+1)-матрица B={A,b} имеет ранг, равный r(A). Если x(1) - частное решение уравнения Ax=b и x(2)?N(A), то общее решение x=x(1)+x(2). Существование нетривиального решения при m?n зависит от того, являются ли столбцы матрицы A линейно независимыми. Множество X решений системы Ax=0 с m?n-матрицей А ранга r образует линейное подпространство размерности n-r. Если r=n-1, решения лежат на прямой, проходящей через начало координат. Решение из подпространства размерностью 1 единственно. Если A состоит из одной строки, она имеет ранг r(A)=1, а пространство решений имеет размерность n-1. Линейное пространство размерности n-1 в пространстве размерности n - это гиперплоскость, а уравнение aTx=0 описывает гиперплоскость, проходящую через начало координат. Однородное уравнение Ax=0 при A?Rn?n имеет нетривиальное решение x, если матрица A вырождена. Неоднородное уравнение Ax=b имеет единственное решение, если матрица A?Rn?n невырождена. В этом случае, где j=1,2,…,n. Сумма совпадает с разложением определителя |A| по j-му столбцу, если элементы заменены на b1,b2,…,bn (правило Крамера). Для решения можно использовать разбиение n?n-матрицы A на блоки. Выразим вектор x2 из второго уравнения и подставим в первое уравнение. В результате приходим к системе n1 уравнений B11x1=с1,. Если ранг r(A)<n, то система имеет решение при условии совместности r(A|b)=r(A) (теорема Кронекера-Капелли). Система совместна, если компоненты b имеют ту же самую линейную зависимость, что и строки матрицы A. Условие совместности при n1=r и n2=n-r дает. Значит, если уравнения совместны, то можно найти решение в том смысле, что любое значение x2 однозначно определяет значение x1. Поскольку x2 может быть произвольным, существует бесконечное множество решений, каждое из которых отвечает одной точке в (n-r)-мерном пространстве решений. Решение системы n уравнений Ax=b с невырожденной n?n-матрицей А записывается в виде x=A-1b. Обратная матрица A-1 устойчива, если при малых изменениях элементов матрицы A малы изменения элементов обратной матрицы. Матрица A называется плохо обусловленной, если обратная матрица неустойчива. Решения уравнений с плохо обусловленной матрицей A сильно изменяются даже при малых изменениях ее элементов. Для характеристики обусловленности n?n-матрицы A используют число K(A)=||A||?||A-1|| (произведение норм матриц). Число K(A)=(лmax/лmin)1/2 определяется наибольшим лmax и наименьшим лmin собственным значением матрицы ATA (правило Уилкоксона). В разложимой матрице A21=0 и переменные x1 зависят от x2, но переменные x2 не зависят от x1. Если A11 и A22 неразложимы, а A12=0 и A21=0, то A называют вполне разложимой. Вполне разложимой матрице отвечают независимые совокупности переменных. Понятие приводимости появляется в связи с неотрицательными матрицами, так как положительные матрицы неприводимы. Неприводимость означает обоюдную зависимость переменных x1?x2. В методе Гаусса учитываются свойства определителя матрицы. Сложение одного уравнения системы с другим уравнением, может быть умноженным на число, не меняет ее решения. Если через ai,n+1 обозначить компоненты bi вектора b и ввести обозначение aij(0)=aij, то формулы прямой подстановки метода Гаусса akj(k)=akj(k-1)/akk(k-1) и aij(k)=aij(k-1)-aik(k-1)akj(k) для k=1,2,…,n, где i=k+1,…,n и j=k+1,…,n+1. После прямой подстановки уравнения примут виду x1+a12(1)x2+a13(1)x3+…+a1n(1)xn= a1,n+1(1), x2+a23(2)x3+…+a2n(2)xn= a2,n+1(2), x3+…+a3n(3)xn=a3,n+1(3), xn= an,n+1(n). Для определения неизвестных нужно выполнить обратную подстановку, i=n-1,n-2,…,1, где верхние индексы опущены. В методе Жордана используется деление p-строки на опорный элемент apq, сложение p-строки с i-строкой, умноженной на -apq. Неоднородную систему уравнений Ax=b часто записывают в виде таблицы:. Преобразования Гаусса включают умножение строки таблицы на любое число, замену i-строки p-строкой, возможно умноженной на число, и вычеркивание строк тривиальных уравнений. Целью является получение разрешенной системы уравнений. Неизвестная называется разрешенной, если одно уравнение системы содержит ее с 1, а в остальные уравнения она не входит. Если каждое уравнение содержит свою разрешенную неизвестную, то система называется разрешенной. Неизвестные, которые не входят в разрешенный набор, называются свободными. Разрешенная система уравнений совместна. Ранг r системы не больше числа неизвестных n. Совместная система m уравнений ранга r содержит m-r зависимых уравнений. При r=n система определенная, а при r<n она неопределенная. Линейно независимые столбцы Aj матрицы А с j=1,2,…,r при r?m называют базисом системы. Если из матрицы A выбросить все строки, кроме строк i1,i2,…,ik, и все столбцы, кроме столбцов j1,j2,…,jk, то определитель полученной матрицы называют минором порядка k. Миноры, для которых i1=j1,i2=j2,..,ik=jk, называются главными. Ранг матрицы - порядок старшего ненулевого главного минора. Выбор главного минора определяет базис системы. Выделение m базисных столбцов в А приводит к квадратной матрице B. Система уравнений BхB=b имеет единственное решение, а вектор хВ размера m есть усечение базисного решения х, в котором отсутствуют нулевые компоненты для небазисных столбцов матрицы А. Матрица требований. В закрытой экономике выделяют секторы: предприятия (Enterprises) E, финансовые институты (Financial Institutes) F, правительство (Gowernment) G и домохозяйства (Households) H. Финансовые особенности секторов видны на рис.1 (указаны суммы статей, отнесенные к валюте баланса сектора), CA - текущие активы (Current Assets), FA - реальные активы (Fixed Assets), CL - текущие долги (Current Liabilities), NW - собственный капитал (Net Worth). В E-балансе. В F-балансе. В G-балансе. В H-балансе. Агенты E и G являются заемщиками: они не могут финансироваться из собственных сбережений. Первичными кредиторами являются домохозяйства H. Деньги первичных кредиторов, передаемые финансовыми посредниками F, образуют промежуточную задолженность. Рис.1. Балансы предприятий E, финансовых институтов F, правительства G и домохозяйств H. Финансовые потоки между секторами вызывают изменения сумм на счетах баланса. Если объединить отчеты о ресурсах и использовании средств, то получается матрица требований, характеризующая изменения балансов в секторах за отчетный период. Для закрытой экономики она дана в таблице 1. Указаны активы (Assets) A и инвестиции (Investments) I, ресурсами являются долги (Liabilities) L и сбережения (Savings) S. Таблица 1. Матрица требований в закрытой экономике. Распределение потоков показано на рис.2. Инвестиции IE в активы предприятий превысили сбережения SE, разность покрывается финансовыми обязательствами LE=IE-SE+AE. Долги LF превысили сбережения финансовых институтов SF , а активы AF=LF+SF-IF. Правительство не делало инвестиций (IG=0) и было расточительным (SG<0), что увеличило задолженность LG=AG-SG>AG. Сбережения SH=AH+IH-LH имели домохозяйства H. Финансовые институты F являются кредиторами, но сбережения невелики. Рис.1. Доли изменений активов A, инвестиций I, обязательств L сбережений S в четырех секторах закрытой экономики. Правительство не имеет сбережений («антисбережения»), и дефицит бюджета покрывается долгами. Изменения обязательств равны изменениям финансовых активов A=L, сбережений - изменению инвестиций I=S. Имеется 6 балансовых уравнений и 16 финансовых потоков. В левых частях указаны использования (Uses) U из активов и инвестиций, а в правых - ресурсы (Resources) R из обязательств и сбережений. Для описания изменений за отчетный период удобно использовать графы. Каждому уравнению баланса сектора или операции отвечает вершина графа, а потоку - дуга. Дуги использования направлены из вершины сектора в вершину операции, а дуги источников - из вершины операции в вершину сектора. Есть 6 вершин E, F, G, H, AL, IS и 16 дуг, а направленный граф показан на рис.3. За опорную вершину графа взяты сбережения IS. Выбор независимых потоков определяет опорное дерево графа, ветви SE, SF, SG, SH, LF изображены сплошными линиями. Пунктирные линии называют хордами, они представляют зависимые потоки системы. Рис.3. Граф финансовых потоков в закрытой системе. Баланс предприятий отображает вершина графа E, финансовых институтов - F, правительства - G, домохозяйств - H, активов и обязательств - L, инвестиций и сбережений - S. Для примера используем оценки финансовых потоков I. Они даны в таблице 2 вместе c запасами V и адмиттансами G. Таблица 2. Финансовые потоки I в закрытой экономике, запасы V и адмиттансы G ветвей и хорд направленного графа. Сама финансовая матрица имеет вид: Легко убедиться, что она симметрична и вырождена, а ранг матрицы на 1 меньше ее порядка. Финансовые потоки выражаются через поток одной ветви, который может принимать любые значения, если только не наложены дополнительные (институциональные) ограничения. Матрицу F и потоки Ib можно всегда представить в блочном виде, а потоки IbA - выразить через IbD, или наоборот, в зависимости от того, какая из матриц A или D не вырождена. Если A не вырождена, то. Линейно зависимые потоки находятся в блоке IbD. Для нашего примера выделим IbA=[SH,SE,SF]T и IbD=[LF,SG]T. Поток A-ветвей и хорд выражается линейной комбинацией задолженности LF и сбережения SG. Коэффициенты б и в даны в таблице 4 (индекс U относится к использованию, а R - к источникам). Таблица 4. Чувствительности л и у финансовых потоков к задолженности финансового сектора LF и сбережению правительства SG. Строго говоря, задолженность и сбережения взаимосвязаны: LF=-гSG при г?19. Пренебрежение связью выражает институциональное ограничение, действующее вне экономических рамок и, следовательно, линейной теории финансовых потоков. При независимом изменении LF и SG, чувствительности б и в из таблицы 4 могут указывать возможные причины нарушений баланса секторов и операций по использованию и ресурсам. В частности, отметим различную роль секторов E, H в достижении финансового равновесия, с одной стороны, и F, G - с другой. Можно сказать, что эти две пары секторов «играют» в антагонистическую игру: правительственные сбережения SG в отчетном периоде увеличивают использование инвестиции I. Матрицы 2?2. Длина вектора b?R2 с компонентами b1, b2 равна. Угол ? между векторами b?R2 и c?R2 определяется выражением. При bTc=0 вектор b ортогонален вектору c (?=?/2 радиан=90?). 2?2-матрица A состоит из двух строк {a11,a12}, {a21,a22} или двух столбцов {a11,a21}, {a12,a22}. Направленный граф 2?2-матрицы A (a=a11, b=a12, c=a21, d=a22) содержит n=2 вершины и m=4 дуги: Граф имеет две петли с передачами a и d, петлю обратной связи с передачей bc. Сумма передач петель равна следу матрицы tr(A)=a+d. Фактор графа включает все вершины и непересекающиеся петли, полностью покрывающие эти вершины (изолированных вершин нет). Декремент фактора ? меньше числа вершин n на число петель фактора. Произведение передач дуг каждого фактора дает вклад в определитель графа ?=ad-bc, а знак вклада определяется декрементом фактора (плюс при четном ? и минус при нечетном ?). След и определитель 2?2-матрицы A r(A)=a11+a22 и |A|=a11a22-a12a21. При транспонировании матрицы ее след и определитель не изменяются. Миноры элементов aij 2?2-матрицы A. Матрицы миноров, алгебраических дополнений и присоединенная матрица. Матрицы A и A+ коммутируют. При |A|?0 существует обратная матрица A-1=A+/|A|. Матрицы A и A-1 коммутируют AA-1=A-1A=1. При s11?0 элементы 2?2-матрицы L из разложения S=LLT даются в виде. Элементы 2?2-матриц Q,R и Z,U из разложений A=QR и A=ZU имеют вид. Ортогональная матрица Q (|Q|=1) описывает вращение на угол ?, инволютивная матрица Z (|Z|=-1) - вращение на угол ?. с отражением. Элементы 2?2-матриц L,U из разложения A=LU имеют вид. Характеристический многочлен и матрица G(?) для 2?2-матрицы Собственные значения 2?2-матрицы. действительные при (c1/2)2?c2 и комплексные при (c1/2)2<c2. Матрица правых собственных векторов и матрица собственных значений удовлетворяют матричному уравнению AX=X?. Матрица правых собственных векторов YT=X-1 удовлетворяет уравнению YTA=?Y или ATY=Y?. Сопутствующие матрицы Pk - это внешние произведения столбца x(k) матрицы X на строку y(k) матрицы YT. Унитарная матрица. 1. Сложение ?-матриц. 2. Умножение ?-матриц. 3. Обращение регулярной ?-матрицы B(?)=??1-A. 4. Обращение элементарной ?-матрицы P(?). Определитель не будет зависеть от ?, если a=b=d=f=0, и будет равен eh. Обратная матрица P-1(?)=R(?). Решение R1=P1-1, R0=-R1P0R1, проверка P0Q0=0. 5. Деление матрицы С(?) многочленов степени l=3 на регулярную матрицу B(?) степени m=1: 6. Деление матрицы С(?) многочленов степени l=4 на регулярную матрицу B(?) степени m=2: P0=C0B0-1, P1=(C1-P0B1)B0-1, P2=(C2-P0B2-P1B1)B0-1, R0=C3-P1B2-P2B1, R1=C4-P2B2, Q0=B0-1C0, Q1=B0-1(C1-B1Q0), Q2=B0-1(C2-B1Q1-B2Q0), S0=C3-B1Q2-B2Q1, S1=C4-B2Q2. Пример 7. Элементарные преобреобразования ?-матрицы С(?) Матрица C(?) степени l=2, а матрицы P(?) и Q(?) степени m=1: Матрица степени l+2m=4: Пример: Показать, что матрицы C(?) и B эквивалентны. Для матрицы ранг r(A)=1, а n=2 и ?=n-r=1. Поскольку |??1-A|=?2, матрица A имеет собственное значение ?=0 кратностью 2 (m>?). Матрицы имеют одинаковые собственные значения, но они не являются подобными. Присоединенные матрицы G(?k) для матрицы. Матрицы 3?3. Длина вектора b?R3 с компонентами b1, b2, b3 равна. Угол ? между векторами b?R2 и c?R2 определяется выражением. При bTc=0 вектор b ортогонален вектору c. 3?3-матрица A состоит из трех строк и трех столбцов: Направленный граф 3?3-матрицы A содержит n=3 вершины, m=9 дуг и 6 факторов {a11,a22,a33} (декремент ?=0), {a12,a21,a33}, {a13,a31,a22}, {a23,a32,a11} (?=1) и {a12,a23,a31}, {a13,a32,a21} (?=2): Определитель графа ?=a11a22a33-a12a21a33-a13a31a22-a23a32a11+a12a23a31+a21a13a32. След и определитель 3?-матрицы A tr(A)=a11+a22+a33 и |A|=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a21a12a33-a32a23a11. При транспонировании матрицы ее след и определитель не изменяются. Миноры элементов aij 3?3-матрицы A: Матрицы миноров, алгебраических дополнений и присоединенная матрица. При |A|?0 существует обратная матрица. Алгоритм LLT-разложения Чолески для симметричной 3?3-матрицы S: Ортогональная 3?3-матрица Q с |Q|=-1 описывает поворот на угол ? вокруг оси 3, поворот на угол ? вокруг оси 2 и еще поворот на угол ? вокруг новой оси 3: Для QR-разложения 3?3-матрицы A необходимо вычислить углы Эйлера: Элементы 3?3-матрицы R вычисляются по формулам: Ортогональная 3?3-матрица Z с |Z|=-1 содержит элементы: Для ZU-разложения 3?3-матрицы A необходимо вычислить углы Эйлера: Элементы 3?3-матрицы U вычисляются по формулам: Алгоритмы LU-разложения для 3?3-матрицы A: или. Характеристический многочлен и матрица G(?) для 3?3-матрицы A. Корни ?1,?2,?3 уравнения c(?)=0 являются собственными значениями матрицы A. Кубическое уравнение c(?)=0 подстановкой ?=x-c1/3 приводится к виду. Решения уравнения зависят от знака Q=(p/3)3+(q/2)2. При Q<0 имеем p<0 и, а корни характеристического многочлена являются действительными числами. При Q?0 имеем p>0 и, а два корня комплексно сопряженных и один корень действительный: и. Избыточной к 2?2-матрице A={a11, a12, a21, a22} является 3?3-матрица A0:, где u1=a11+a12, u2=a21+a22, v1=a11+a21, v2=a12+a22, w=u1+u1=v1+v2. Избыточную 3?3-матрицу A0 можно представить в блочном виде, с 2?2-матрицей A, 2?1-векторами избытков u, v, и действительным числом w: и. Для избыточной 3?3-матрица A0: c1=-tr(A0), c2=3|A|, c3=|A0|=0, и. Число собственных значений n(A)=2, n(A0)=3. Рангом матрицы называется число ненулевых собственных значений: r(A)=r(A0)=2. Матрица невырожденная при r=n (|A|?0) и вырожденная при r<n (|A0|=0), а дефект матрицы d(A0)=n(A0)-r(A0) равен числу нулевых собственных значений. Столбцы матрицы A0 линейно зависимые (определитель Грамма |A0TA0|=0). Если матрица C=A+B является суммой квадратных матриц A и B, то. где ?(0)=|A| и ?(n)=|B|, а определитель ?(k) получается замещением k столбцов определителя |A| столбцами определителя |B|. Пример: C=A+iB,., Re|C|=-61-16-18+20=-75,, Im|C|=-22+15+63+22=78. Если C=AB - произведение двух прямоугольных матриц A?Rm?n и B?Rn?m, то при m?n. При m?n определитель матрицы C равен сумме произведений всех возможных миноров порядка m в A на соответствующие миноры матрицы B того же самого порядка (Бине-Коши). Пример:, и |C|=2. Пример:. Две матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены (являются подобными?). Введем в рассмотрение. Присоединенная матрица GA(?)=(??1-A)+=?(??1,A). Вычислим GA(?) и GB(?):. Подстановка A2 и A или B2 и B дает или. Наибольшие общие делители элементов этих матриц равны (?-4) и 1. Поэтому и. Найдем собственные векторы. Имеем и, откуда получаем два линейно независимых правых собственных вектора для ?=4 и один правый собственный вектор для ?=2:. Отметим, что A - простая матрица. Имеем, Поскольку CB(4) дает лишь один собственный вектор, то матрица B дефектная. Наибольшие общие делители и инвариантные многочлены с1=-?2+?-2, c2=-?2(?-1), с3=0. Миноры m11=1-?2, cкрытые корни ?1=?2=1 m12=?2(1-?), cкрытые корни ?1=?2=0, ?3=1 m13=-(1-?2)(1+?), cкрытые корни ?1=?2=1, ?3=-1. Матрица миноров. Матрица алгебраических дополнений. Присоединенная матрица. Наибольшие общие делители d1(?)=1, d2(?)=1, d3(?)=0. Инвариантные многочлены i1(?)=d1(?)=1, i2(?)=d2(?)/d1(?)=1, i3(?)=d3(?)/d2(?)=0, с1=-2?7, c2=3?6-?4+2?2, с3=-2?7+2?3. Матрица миноров. Наибольшие общие делители d1(?)=?, d2(?)=?2, d3(?)=?6(?-1). Инвариантные многочлены i1(?)=d1(?)=?, i2(?)=d2(?)/d1(?)=?, i3(?)=d3(?)/d2(?)=?4(?-1). Матрица миноров. Наибольшие общие делители d1(?)=1, d2(?)=(?-4), d3(?)=(?-2)(?-4)2, Инвариантные многочлены i1(?)=d1(?)=1, i2(?)=(?-4), i3(?)=(?-2)(?-4) Поскольку i1(?)=(?-2)0(?-4)0, i2(?)=(?-2)0(?-4)1, i3(?)=(?-2)1(?-4)1, то элементарные делители e1(?)=(?-2), e2(?)=(?-4), e3(?)= (?-4)1, Жорданова матрица, Матрица миноров. Наибольшие общие делители d1(?)=1, d2(?)=1, d3(?)=(?-2)(?-4)2, Инвариантные многочлены i1(?)=d1(?)=1, i2(?)=1, i3(?)=(?-2)(?-4)2. Поскольку i1(?)=(?-2)0(?-4)0, i2(?)=(?-2)0(?-4)0, i3(?)=(?-2)1(?-4)2, то элементарные делители e1(?)=(?-2), e2(?)=(?-4)2, Жорданова матрица. Известны инвариантные многочлены характеристической 10?10-матрицы F(?)=??1-A i1(?)=…=i7(?)=1, i8(?)=?+1, i9(?)=?3+1, i10(?)=(?3+1)2. Найти первую, вторую нормальную и жорданову формы матрицы A. Первой нормальной формой является L=diag{L8,L6,L10}. Если обозначить ?1=-1 и, то i1(?)=…=i7(?)=1, i8(?)=(?-?1), i9(?)=(?-?1)(?-?2)(?-?3), i10(?)=(?-?1)2(?-?2)2(?-?3)2, а поэтому имеется семь элементарных делителей, четыре из которых линейные. Получаем вторую нормальную форму L=diag{L1,L2,L3,L4,L5,L6,L7}, где L1=L2=-1, L4=?2, L6=?3,. Жорданова форма J=diag{J1,J2,J3,J4,J5,J6,J7}, где J1=J2=-1, J4=?2, J6=?3,. Для 3?3-матрицы ?1=-1 (m1=2) и ?2=-2 (m2=1),. Эти результаты можно проверить подстановкой ?1 и ?2 в выражение для G(?). Примеры 4x4. Матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены c(?)=(?-a)4 и собственное значение ?1=a кратности m1=4, но их минимальные многочлены ?(?) различны. Матрица FA(?)=??1-A при ?1=a просто вырождена, а поэтому ее минимальный многочлен совпадает с характеристическим: ?(?)=(?-a)4. Дефекты матриц FB(a) и FC(a) равны двум, значит присоединенные к ним матрицы GB(a) и GC(a) должны иметь общий делитель (?-a), но он не обязательно наибольший. Для матрицы GB(?) наибольший общий делитель d(?)=(?-a) и поэтому ?(?)=(?-a)3. Для GB(?) наибольший общий делитель d(?)=(?-a)2 и поэтому ?(?)=(?-a)2. Матрица FD(a) полностью вырождена, а поэтому наибольший общий делитель d(?)=(?-a)3 и ?(?)=(?-a). Матрица бухгалтерских проводок P, векторы дебетов и кредитов счетов d и c, активы и пассивы баланса a и b: Счета C, AR и FA активные, счета B, O и P пассивные, а счета AP и Y временные. С помощью алгоритма Фаддеева вычислим коэффициенты характеристического многочлена c(?) и присоединенной функции G(?): где G1=1. Поскольку c1=c3=c5=c6=c7=c8=0, c2=-3.765 и c4=-121.5, характеристическое уравнение имеет вид ?8+с2?6+с4?4=0. Восемь корней уравнения. Подстановка c2 и c4 дает два действительных и два мнимых корня ?1=3.607, ?2=-3.607 и ?3=3.056i, ?4=-3.056i. Порядок матрицы n(P)=8, ранг матрицы r(P)=4, дефект матрицы d(P)=4, tr(P)=0 и |P|=0. Присоединенные матрицы G(?1) и G(?2) содержат действительные числа: Матрица G(?2) отличается от матрицы G(?1) знаками некоторых элементов: Присоединенные матрицы G(?3) и G(?4) содержат комплексные числа: Матрица G(?4) отличается от матрицы G(?3) знаками мнимых частей: Для вырожденного уровня ?5 (m5=4) ненулевой след имеет матрица третьей производной G???(?5): Матрица правых собственных векторов X содержит по одному столбцу из матриц G(?1), G(?2), G(?3), G(?4) и столбцы (3), (5), (4) и (6) из матрицы G???(?5), причем они нормировались на следы соответствующих матриц, а столбец (3) из матрицы G???(?5) еще и умножался на 2. Матрица X содержит комплексные числа: Эта матрица невырожденная, а матрица правых собственных векторов YT=X-1. Для обращения представим матрицу X в блочной форме. Для удобства вычислений переставим некоторые столбцы в матрице X: Определитель блочной матрицы при |A|?0:. Если 4?4-матрица A невырождена, то для обращения X применима формула. С помощью этой формулы получаем YT (после перестановки столбцов): Матрица YTPX имеет квазидиагональную структуру: Матрица бухгалтерских проводок P не является простой матрицей. 4.1. Матричная алгебра. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел из поля K, называемых элементами матрицы aij (1?i?m, 1?j?n). Любой m?n-матрице A (m - число строк, n - число столбцов)с элементами aij отвечает транспонированная n?m-матрица AT с элементами aji: строки матрицы A становятся столбцами в матрице AT, а столбцы - строками в AT. Сложение m?n-матриц A и B с элементами aij и bij приводит к m?n-матрице C=A+B с элементами cij=aij+bij. Умножение матрицы A на число ??K ведет к матрице C=?A с элементами cij=?aij. Эти две операции превращают множество m?n-матриц из поля K в линейное пространство над полем K. Умножение m?l-матрицы A на l?n-матрицу B дает m?n-матрицу с элементами. Эта операция определена только для соответствующих друг другу матриц: число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы. Множество всех действительных m?n-матриц обозначается Rm?n. Обозначим столбцы матрицы A?Rm?n через A*1,A*2,…,A*n и ее строки - через A1*,A2*,…,Am*. Рангом по строкам матрицы A называют наибольшее число линейно независимых векторов порядка n среди Ai*, i=1,2,…,m, рангом по столбцам - наибольшее число линейно независимых векторов порядка m среди A*j, j=1,2,…,n. Ранг по строкам матрицы равен рангу по ее столбцам. Роль нулевого элемента при сложении играет m?n-матрица 0 из Rm?n, все ее элементы которой равны 0. Роль единичного элемента при умножении играет матрица 1: для A?Rm?n и A?1=A она должна быть n?n-матрицей, для 1?A=A - m?m-матрицей. Умножение матриц является бинарной операцией из Rm?l?Rl?n в Rm?n. Если существует матрица AB и столбцами A являются A1,A2,…,An, а строками B являются B1T,B2T,…,BnT, то. Вообще говоря, BA?AB. Если BA=AB, то говорят, что A и B коммутируют. Если матрицы A и B коммутируют, они являются квадратными матрицами одного порядка n. Скалярная матрица кратна единичной матрице 1: матрица A - скалярная, если существует такое число ??K, что A=??1 (1 - единичная матрица в Rn?n). Элементы aij матрицы A с i=j образуют ее главную диагональ. Ненулевые элементы диагональной матрицы D находятся на главной диагонали. След n?n-матрицы A - это сумма ее диагональных элементов. Существует n! произведений элементов a1,j1,a2,j2,…,an,jn с перестановками j1,j2,…,jn натуральных чисел 1,2,…,n, и в каждом произведении есть элемент из строки и из столбца. Функция определителя матрицы A имеет вид, где p пробегает все n! перестановок чисел 1,2,…,n, а t(p) - число транспозиций. Выделяя члены aij для j=1,2,…,n, получим разложение по i-ой строке, где коэффициент Aij при aij называют алгебраическим дополнением элемента aij. Минор Mij порядка n-1- это определитель матрицы, получаемой из n?n-матрицы A выбрасыванием i-ой строки и j-го столбца. Пять важных свойств определителя: (1) |AT|=|A|, (2) если матрица B получена из A перестановкой двух строк (или столбцов), то |B|=-|A|, (3) если матрица A имеет одинаковые две строки (или столбца), то |A|=0, (4) Aij=(-1)i+jMij, (5) если s?r, то и. Ранг матрицы равен порядку ее наибольшего ненулевого минора. Ранг матрицы по минорам равен ее рангам по строкам и по столбцам. Дефект матрицы A равен разности n(A)-r(A) порядка n(A) и ранга r(A). Присоединенная матрица A+ - это транспонированная матрица алгебраических дополнений для матрицы A. Матрицы A и A+ коммутируют:. Матрица A вырожденная при |A|=0 и r(A)<n(A), матрица A невырожденная при |A|?0 и r(A)=n(A). Обратная матрица A-1=A+/|A| и. Если существует A-1, то (A-1)T=(AT)-1, а если для B существует B-1, то (АВ)-1=В-1А-1. Определитель произведения квадратных матриц |AB|=|A||B| равен произведению определителей этих матриц. Квадратом матрицы A?Rn?n называется произведение AA?A2. Для инволютивной матрицы A-1=A и AA=1, для идемпотентной матрицы AA=A. Из ассоциативности произведения следует, что Ap=AA…A (p раз) является однозначно определенной матрицей. Нулевая степень матрицы A0=1. Матрицу A называют нильпотентной степени m, если Am-1?0 и Am=0 (m>1). Нильпотентная матрица вырождена. Cтолбцы матрицы A линейно независимы при |ATA|>0 и зависимы при |ATA|=0 (определитель Грамма). Матрицу A при AT=A называют симметричной. Симметричная матрица S имеет разложение Чолески S=LLT с нижней треугольной матрицей L. Если xTSx>0 для всех ненулевых векторов x?Rn, то матрица S?Rn?n называется положительно определенной. Если же xTSx?0 для всех x?Rn и xTSx=0 для какого-то x?0, то матрица S неотрицательно определенная. Положительно определенная матрица невырожденная, так как для вырожденной матрицы S есть вектор x?0, для которого Sx=0 и xTSx=0. Матрица A называется ортогональной при AT=A-1, а ее определитель |A|=?1. Ортогональная матрица Q с |Q|=1 описывает вращение, а матрица Z с |Z|=-1 - вращение с отражением. Квадратную матрицу представляют разложения A=QR или A=ZU и A=LU c верхними треугольными матрицами R и U. Обратная матрица L-1(U-1) для нижней (верхней) треугольной матрицы L(U) также треугольная. Квадратная матрица A может быть представлена блоками, где A11 и A22 - квадратные матрицы. Определитель блочной матрицы при |A11|?0:. Формула Фробениуса для обратной матрицы при |A11|?0:. Если A?Rn?n имеет разбиение вида, то |A|=|A11|?|A22|. Если A?Rn?n, u,v?Rn и w?R, то и, где u=A? и v=AT?. Столбец n?1-матрицы называют вектором (упорядоченной «энкой» чисел), а 1?n-матрица - транспонированным вектором. Пространство действительных n?1-матриц совпадает с Rn. Элементы Rn можно рассматривать как 1?n-матрицы, но удобнее транспонировать вектор. Внутреннее произведение векторов x и y из Rn можно записать как xTy. Если x?Rm и y?Rn, то внешнее произведение xyT будет m?n-матрицей. Матрицу А размером m?n можно составить из m вектор-строк Ai* и из n вектор-столбцов A*j. Эти представления связаны с понятием двойственности: m?n-матрица А преобразует вектор x?Rn в вектор Ax?Rm и транспонированный вектор yT?Rm в вектор yTA?Rn. Отображения x?Ax и yT?yTA двойственные. Среди квадратных матриц с действительными элементами находятся такие, которые в арифметических действиях ведут себя так же, как комплексные числа. Поставим в соответствие каждому комплексному числу a+bi матрицу порядка 2. Сумме, разности, произведению двух комплексных чисел будет соответствовать сумма, разность, произведение соответствующих матриц. Эта мысль выражается так: совокупность всех матриц указанного вида изоморфна совокупности всех комплексных чисел. Определитель матрицы a2+b2 равен норме (квадрату модуля) комплексного числа a+bi. Аналогичная картина имеет место и для кватернионов. Если кватерниону a+bi+cj+dk ставить в соответствие матрицу, то соответствие тоже окажется изоморфным. Определитель матрицы a2+b2+c2+d2 равен норме (квадрату модуля) кватерниона. Матричные уравнения. Существование решений системы уравнений Ax=b зависит от ранга матриц r(A)?min(m,n), размерности векторных пространств строк и столбцов. Достаточное условие существования единственного решения r(A)=n (матрица A должна быть невырожденной). Но это условие не является необходимым. Если r(A)<n, а уравнения в системе переставить так, чтобы r уравнений были линейно независимы, то систему можно записать в блочной форме и, где A11-1 - обратная матрица. Решение x1(x2) зависит от x2: имеется множество решений соответственно положениям точки x2 в (n-r)-мерном пространстве. Чтобы три прямые, пересекались в точке или были параллельны, необходимо и достаточно иметь или, т.е. чтобы левые части уравнений были линейно зависимы. Однородное уравнение Ax=0 (A?Rn?n) имеет нетривиальное решение, если матрица A вырождена. Неоднородное уравнение Ax=b имеет решение, если матрица A?Rn?n обратимая. В этом случае или, где j=1,2,…,n. Сумма совпадает с разложением определителя |A| по j-му столбцу, если элементы столбца заменить на b1,b2,…,bn (правило Крамера). Для решения можно использовать разбиение n?n-матрицы A на блоки:. Выразим вектор x2 из второго уравнения и подставим в первое уравнение:,. В результате приходим к системе n1 уравнений B11x1=с1, и. Если ранг матрицы r(A)<n, то система имеет решение при условии совместности r(A|b)=r(A) (теорема Кронекера-Капелли). Система совместна, если компоненты вектора b имеют ту же самую линейную зависимость, что и строки матрицы A. Условие совместности при n1=r и n2=n-r дает. Если уравнения совместны, можно найти решение в том смысле, что любое значение x2 однозначно определяет значение x1. Поскольку x2 может быть произвольным, существует бесконечное множество решений, каждое из которых отвечает одной точке в (n-r)-мерном пространстве решений. В приводимой матрице A21=0 и переменные x1 зависят от x2, но переменные x2 не зависят от x1:. Если блоки A11 и A22 неприводимы, а A12=0 и A21=0, то матрица A называется приводимой. Ей отвечают независимые совокупности переменных. Понятие приводимости появляется в связи с неотрицательными матрицами, так как положительные матрицы неприводимы. Неприводимость означает обоюдную зависимость переменных x1?x2. Решение системы n уравнений Ax=b с невырожденной n?n-матрицей А записывается в виде x=A-1b. Обратная матрица A-1 устойчива, если при малых изменениях элементов матрицы A малы изменения элементов обратной матрицы. Матрица A плохо обусловленная, если обратная матрица неустойчива. Решения уравнений с плохо обусловленной матрицей A сильно изменяются даже при малых изменениях ее элементов. Для характеристики обусловленности n?n-матрицы A используют K(A)=||A||?||A-1|| (произведение норм матриц). Число K(A)=(лmax/лmin)1/2 определяется наибольшим лmax и наименьшим лmin собственным значением матрицы ATA (Уилкоксон). Рассмотрим систему двух линейных уравнений a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2. Если матрица имеет ранг r=1, то a21/a11=a22/a12=...=a2n/a1n (гиперплоскости параллельны). Если ранг матрицы A равен 2, то система уравнений определяет (n-2)-мерную плоскость. Если ранг расширенной матрицы равен 2 (a21/a11=a22/a12=...=a2n/a1n?b2/b1), то система уравнений несовместная (гиперплоскости не пересекаются). Если ранг расширенной матрицы B равен 1 (a21/a11=a22/a11=...=a2n/a1n=b2/b1), то система сводится к одному уравнению (гиперплоскости совпадают). Матричный метод анализа работ. Введем вектор длительности работ t размерностью m и n?m-матрицы инцидентности D и C. Элемент dkj=1, если k-ое событие является начальным для j-ой работы, и 0 в противном случае. Элемент clj=1, если l-ое событие является конечным для j-ой работы, и 0 в противном случае. В таблице 7 дана матрица смежности B=DCT для сетевого графика рис.1. Число выходящих дуг указано в дополнительном столбце, входящих дуг - в дополнительной строке. Основное свойство матрицы B: ее ненулевые элементы лежат выше главной диагонали. Первый столбец нулевой (начальная вершина), последняя строка нулевая (конечная вершина). Таблица 7. Матрица смежности для графика рис 1. Введем m?m-матрицу длительностей работ T=diag(t) и n?n-матрицу S=DTCT. Для графика рис.1 она дана в таблице 8. Ранние и поздние сроки событий и указаны в дополнительной строке и дополнительном столбце. Резерв времени наступления события k. Некритические события 3, 4, 34, 6, 9 и 11. Длительность критического пути 1|2|23|5|7|67|8|10|12 равна tmax=84. Полный и свободный резерв времени и. Независимый резерв и гарантированный резерв времени и. Резервы времени работ даны в таблице 9. Таблица 8. Матрица длительностей работ. Таблица 9. Резервы времени выполнения работ. Независимые резервы времени отрицательны как для критического пути, так и для кратчайшего пути 1|3|34|6|67|9|11|12 с длительностью tmin=57. Коэффициент использования времени K=57/84=0,679. Время выполнения работ можно уменьшить, сокращая длительность критических работ, но это связано с увеличением затрат. Какой из вариантов при данной длительности работ можно осуществить с меньшими затратами? Пусть по каждой работе известны (1) нормальная длительность t и затраты с, (2) срочная длительность t? и затраты c?, стоимость ускорения работы a за единицу времени (таблица 10). Резервы времени работ даны в таблице 11. Таблица 10. Параметры сетевого графика. Критический путь 1|2|5|6|7 при нормальной длительности tmax=38, а при срочной длительности t?max=29, а кратчайший путь 1|3|7 соответственно tmin=23 и t?min=18 (K=0,605 и K?=0,621). Таблица 11. Резервы времени работ. Исследуем первый вариант на возможность сокращения срока работ. Среди критических работ наименьший прирост затрат дает 5|6. Сокращая ее на 1 день, уменьшаем критический путь до 37 дней, а удорожание составит 35. Работу 6|7 сокращаем на 3 дня, критический путь сократится до 34 дней, а удорожание составит 135. Pаботу 1|2 сокращаем на 1 день, tmax сократится до 33 дней, а удорожание составит 50. Cокращая работу 2|5 на 4 дня, получаем tmax в 29 дней, удорожание составит 240. В таблице 12 даны резервы времени работ в окончательном варианте. Затраты составляют 5820, на 250 меньше, чем при срочном варианте. Кратчайший путь имеет длительность t?min=23 и K?=0,721. Построив оптимальный график, можно сократить расходы, исходя из резерва времени. Свободный резерв времени tpp использует исполнитель, а работу 3|7 можно увеличить на 6 дней, уменьшив затраты на 180, и работу 4|6 продлить на 1 день, уменьшив затраты на 25. Остальные резервы можно использовать только с разрешения центра. Нормальной длительности работ отвечают минимальные затраты, а увеличение длительности приведет к повышению затрат, что лишено смысла. Сокращение длительности по сравнению со срочным вариантом считается по разным причинам невозможным. Работа может иметь любую длительность в промежутке между нормой с минимальной величиной затрат и срочной с наиболее высокими затратами. Для задания параметров вероятностных сетей широко используется метод усреднения. Исходными данными являются временные оценки работ: (1) минимальное время tmin выполнения работы при благоприятном стечении обстоятельств (оптимистическая); (2) максимальное время tmax выполнения работы при неблагоприятном стечении обстоятельств (пессимистическая); (3) вероятное время tpro выполнения работы при наиболее часто встречающихся условиях. Для каждой работы оценивается и дисперсия ?t2. При двух оценках. При трех оценках. Оценка дисперсии раннего строка наступления события равна сумме дисперсий работ самого длительного пути, предшествующего этому событию и определенного по ожидаемым значениям mt длительности работ. Если таких путей несколько, используется максимум оценок дисперсий этих путей. Закон распределения времени завершающего события - нормальное распределение со средним t* и дисперсией ?t*. Вероятность, что длительность работ t* не превысит значение T, где ? - функция стандартного распределения. Директивная длительность работ td, длительность критического пути tc, а сумма дисперсий работ критического пути ?2:. По функции стандартного распределения находим вероятность реализации решения в заданных условиях. Если 0,6<z<1,0 считаем, что решение будет реализовано. Если z<0,6, то необходимо увеличить ресурсы для уменьшения дисперсии и увеличения z. Если z>1,0, то лишние ресурсы нужно изъять. Директивное время td=tc+?. 2. Множественная регрессия. Множество значений случайной величины называется популяцией. Задачей является выяснение свойств популяции: распределения вероятностей и числовых характеристик. Из нее делают выборку, а по выборке оценивают популяцию. Одно и то же значение (вариант) может встречаться несколько раз, и результаты наблюдений состоят из значений xi и частот ni случайной величины X. Популяция имеет неизвестную функцию распределения F(x). По выборке находят эмпирическую функцию Fn(x) накопленных частот. По выборкам находят оценки лn параметров популяции л. Гипотезой называется утверждение о свойствах распределения случайной величины. Гипотезы о неизвестном параметре л бывают простые и сложные: простая гипотеза утверждает, что он имеет одно значение, а сложная гипотеза - множество значений. Основная гипотеза Н0, альтернативная гипотеза Н1 отрицает гипотезу Н0. В результате проверки принимают одну из гипотез и отвергают другую гипотезу. Гипотезу проверяют на основании выборки. Из-за случайности выборки возникают ошибки. Ошибка I рода - отвергается верная гипотеза Н0. Ошибка II рода - принятие неверной гипотезы Н1. Для оценки среднего ? =M[X] используется среднее арифметическое (xmax+xmin)/2, медиана me и мода m0. Выборочное среднее или, где n - объем выборки, m - число вариант. Дисперсия выборки или. Стандартное отклонение и коэффициент вариации и. Оценка лп несмещенная, если среднее M[лn]=л. Дисперсия выборки - смещенная оценка дисперсии популяции ?2: и. Поскольку смещение при n?? стремится к нулю, то выборочную дисперсию при больших n можно считать несмещенной оценкой. Несмещенной оценкой при малом объеме выборки является исправленная дисперсия. Оценки лп параметра л называются точечными: они определяют точку на числовой оси. Если точность оценки ?>0, то |л-лn|??. Чем меньше ?, тем точнее оценка. Любая точность обеспечивается с некоторой вероятностью, и. Интервал от лn-? до лn+? покрывает значение л с вероятностью ?. Доверительная вероятность ?, точность ? и объем выборки n взаимосвязаны: если заданы две, то задана и третья. Для оценки среднего ? нормальной популяции N(?,?) со стандартом ? используется выборочное среднее. Для нормального распределения (Ц - интеграл ошибок) и, и. При г=0,95 имеем zг=1,96. При статистических наблюдениях можно измерять значения многих признаков, делая многомерную выборку. Статистическую обработку выборок используют для установления связи между признаками. Связи могут быть функциональными (каждому значению одной случайной величины отвечает одно значение другой случайной величины), стохастическими, если одной случайной величине отвечает распределение другой случайной величины, корреляционными, если среднее значение случайной величины зависит от среднего значения другой величины. Имеется n наблюдений показателя yi и m факторов xi,j. Нужно найти k=m+1 оценок bj параметров регрессии ?j. Модель регрессии содержит n?k-матрицу факторов X и случайный вектор u. Строки матрицы факторов и вектор коэффициентов имеют вид и. Если b - оценка ?, то регрессия yr=Xb+e включает вектор остатков e. Оценкой МНК вектора ? является вектор b, минимизирующий, где учтено свойство скаляра yTXb=bTXTy. Продифференцируем uTu по b и приравняем нулю: или. Эта система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг матрицы XTX равен k<n: число наблюдений n больше числа параметров k и факторы не связаны линейно. Линейная зависимость столбцов матрицы X приведет к вырождению матрицы XTX, и тогда обратная матрица (XTX)-1 не существует. Достаточное условие минимума XTX?0. Если элементы матрицы X - постоянные числа, то подстановка y дает, а математическое ожидание параметров регрессии. При M[u]=0 имеем M[b]=?: оценки несмещенные. Матрица ковариаций. Здесь учтено правило транспонирования произведения (ABC)T=ATBTCT и тот факт, что обратная к симметричной матрице XTX является симметричной. Если элементы матрицы X - постоянные числа, то, где M[uuT]=?u21 и использовано свойство единичной матрицы 1. Обычно ?u2 неизвестна. Наблюдаемые остатки, где A=1-X(XTX)-1XT - симметричная идемпотентная матрица A=A2 со следом tr(A)=n-m. Cкалярный квадрат отклонений. Из-за eTe?0 матрица A неотрицательно определенная. Существует матрица P (P-1=PT), а диагональная матрица PTAP=1n-m имеет n-m единиц и m нулей. Матрица P используется для преобразования вектора u=P? в вектор ?:. Если M[ui]=0, M[ui2]=?u2 и M[ui,uj]=0 для i?j, то M[uTAu]=?u2tr(A)=(n-k)?u2 и несмещенная оценка дисперсии наблюдаемых остатков. Квадратный корень из этой величины называется стандартной ошибкой. Если симметричная матрица А порядка k содержит элементы aij, то неотрицательная квадратичная форма xiaijxj имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы k=r(А). Если ui имеет нормальное распределение, то вектор b подчиняется нормальному распределению. Если дисперсия ?u2 известна, она используется для проверки значимости b. Поскольку e=Au и b=?+(XTX)-1XTu, то M[e(b-?)T]=0. Следовательно, e и b независимы, и для проверки гипотезы по j-му параметру регрессии можно использовать критерий Стьюдента. Если xjj - диагональный элемент матрицы (XTX)-1, то случайная величина (j=0,1,…,m) имеет распределение Стьюдента с n-k степенями свободы. Для проверки гипотезы о ?j нужно подставить его гипотетическое значение, и если Tj будет в критической области для уровня значимости ?, то гипотеза отклоняется. Доверительный интервал. Для проверки адекватности модели применяют статистику Фишера - отношение дисперсии регрессии к остаточной дисперсии., и. Если расчетное значение фактора Фишера больше критического значения с k-1 и n-т-1 степенями свободы при уровне значимости ?, то модель адекватна наблюдениям. Статистика R2 - доля суммы квадратов ошибок регрессии. Улучшенная статистика дается в виде. Проверить множественную регрессию - значит проверить H0: ?0=0, ?1=0,...,?m=0 против H1: не все ?i=0. Получить (1-?)-доверительную область для всех параметров ? можно из неравенства. Это представление доверительного множества полезно при малых k (2, 3, 4). Индивидуальные доверительные интервалы получают из выражения, где sbi - оценка стандартного отклонения параметра bi. Множество значений статистики распадается на 2 подмножества: значения, при которых гипотеза Н0 не отклоняется (допустимая область) и значения, при которых Н0 отклоняется, а принимается Н1 (это критическая область). Допустимая вероятность ? ошибки I рода называется уровнем значимости. Уменьшение вероятности ошибки I рода ведет к увеличению вероятности ? ошибки II рода. Нужно минимизировать ? и ?. Проверка гипотезы состоит из этапов: (а) определение гипотез Н0 и Н1, (б) выбор статистики и значимости ?, (в) определение критической области по альтернативной гипотезе Н1 и уровню значимости б, (г) расчет статистики по выборке, (д) сравнение значения статистики с критической областью, (е) если значение статистики не попадает в критическую область, то отвергается Н1, а если попадает, то отклоняется Н0 и принимается Н1. Результаты проверки гипотез интерпретируют так: если вы приняли Н1, то можно считать ее доказанной, а если приняли Н0, то признали, что Н0 не противоречит наблюдениям. Этим свойством наряду с Н0 могут обладать и другие гипотезы. Предположение M[uuT]=?u21 - это компактная запись гипотез, в силу которых возмущение имеет постоянную дисперсию (гомоскедастичность) и отсутствуют автокорреляции. Во многих исследованиях гомоскедастичность остатков нарушается. Например, дисперсия остатков бюджетов потребителей увеличивается с ростом дохода. Воспользуемся M[uuT]=V с положительно определенной симметричной n?n-матрицей V. Оценка в методе Эйткена (обобщенный метод наименьших квадратов ОМНК), а ковариационная матрица. При гетероскедастичности МНК-оценки параметров неэффективны. В тесте Спирмена полагается, что дисперсия случайного члена изменяется с x, а абсолютные величины остатков и значения фактора коррелированы. Коэффициент ранговой корреляции, где di - разность рангов x и e. Если принять, что коэффициент корреляции в популяции равен 0, то коэффициент ранговой корреляции имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 1/(n-1), а. Гипотеза H0 об отсутствии гетероскедастичности для двухстороннего теста отклоняется при уровне значимости 5%, если S>1,96. В тесте Гольдфельда и Квандта дисперсия возмущения возрастает с квадратом j-ой объясняющей переменной vii=xij2 (i=1,...,n). Нужно (1) упорядочить наблюдения в соответствии с величиной xij. (2) Отбросить c (c=8 при n=30) наблюдений в центре выборки. (3) Оценить с помощью ОМНК регрессии первых (n-c)/2 и последних (n-c)/2 наблюдений. (4) При выполнении гипотезы гомоскедастичности статистика имеет распределение Фишера с (n-c-2k)/2 и (n-c-2k)/2 степенями свободы. При альтернативных гипотезах GK имеет тенденцию к росту. Эконометрист включил в модель факторы x1,x2 и имеет набор данных (yi,x1i,x2i) для i=1,2,...,n. Он подозревает, что хотя факторы влияют на отклик, важна только разность x1-x2. Как это проверить? Ставится вопрос «может ли быть ?1+?2=0?». Нужно проверить гипотезу H0: ?1+?2=0 против альтернативы H1: ?1+?2?0. В общем случае в гипотезе участвуют q линейных функций от ?0,?1,…,?m и они необязательно независимы. Гипотеза может быть задана в матричной форме H0: С?=0. Она вводит q ограничений на параметры. Можно использовать q независимых уравнений, чтобы выразить q параметров ? через остальные k-q параметры. Подстановка решений в модель даст новую модель y=Z? с вектором оцениваемых параметров ?. Рассматривая многофакторную регрессию y=X?+u, мы исходили из предположения, что объясняющие переменные X принимают фиксированные значения. Если переменные X случайные, можно сохранить большую часть результатов по значимости и доверительным интервалам при условии, что они подчиняются функции распределения, не связанной с параметрами ? и ?2, и что переменные X распределены независимо от u. Корреляция между объясняющими переменными и случайным возмущением является серьезным препятствием для применения МНК. Альтернативу дает метод инструментальных переменных. Допустим, что существует n?k-матрица Z с такими свойствами,, при n??. Переменные Z в пределе не коррелируют с возмущениями, а их перекрестные моменты с переменными X не равны нулю и составляют невырожденную матрицу. Если некоторые из переменных X не коррелируют с u, то их можно использовать в качестве столбцов матрицы Z и находить инструментальные переменные. Для оценки вектора ? применяется формула. Она обеспечивает состоятельную оценку, поскольку из следует. Множественная регрессия Если значение ? неизвестно, то статистика подчиняется распределению Стьюдента с числом степеней свободы п-1. Полуширина доверительного интервала зависит от квантиля tб/2,n-1 распределения Стьюдента. Статистика подчиняется ?2 - распределению с числом степеней свободы п-1. Можно найти два числа и1 и и2, которые удовлетворяют условию. Подставляя ?2, получаем доверительный интервал для дисперсии популяции. Для определения и1 и и2 используются условия и. Доверительный интервал для стандартного отклонения. Основная гипотеза Н0 о значении параметра л. Альтернативная гипотеза Н1 может иметь вид или для левосторонней, правосторонней или двухсторонней критической области. Пример. Проверим гипотезу Н0: ?=?0 при уровне значимости ? для нормальной популяции с известным ?. Альтернативные гипотезы Н1: ?<?0, Н1: ?>?0 или Н1: ???0. В качестве статистики возьмем случайную величину, которая при верной Н0 подчиняется стандартному распределению. Если Н1: ?<?0, то используется левосторонняя критическая область P(Z<zб)=Ц(-zб)=б. Если Н1: ?>?0, используется правосторонняя критическая область z>z?. Если Н1: ???0 используется двухсторонняя критическую область P(|Z|>zб)=б. Из определения абсолютной величины следует и. На зависимую переменную y может влиять много фактора. Аксиомы множественной регрессии: (а) случайные величины ei нормальные с нулевым средним и равными дисперсиями, (б) значения ei не зависят от независимых переменных x, (в) значения ei не зависят друг от друга. Имеется n наблюдений показателей yi и m факторов xi,j. Нужно найти оценки bj параметров ?j регрессии y=X?+? с n?(m+1) матрицей X и случайным вектором ?. Если b - оценка ?, то выражение y=Xb+e включает остатки e. Полученная система уравнений имеет единственное решение, если ранг матрицы XTX равен m<n. Линейная зависимость столбцов матрицы X привела бы к вырождению симметричной матрицы XTX, и тогда перестала бы существовать обратная матрица (XTX)-1. Подстановка y дает, а математическое ожидание выражается в виде. Из условия M[?]=0 следует M[b]=?: оценка b параметров ? несмещенная. Ковариационная матрица вводится выражением, где учтено правило транспонирования произведения матриц (ABC)T=ATBTCT и тот факт, что матрица (XTX)-1 является симметричной. Поскольку элементы матрицы X заданы, то, где использовано условие M[??T]=?21n и свойство единичной матрицы 1n. Чтобы проверить значимость b и найти доверительные интервалы, можно предположить, что ?i распределены нормально. Поскольку b равно сумме истинного значения ? и линейной комбинации значений ?i, то вектор b имеет многомерное распределение. Когда величина ?2 известна, этот результат может быть использован для проверки значимости вектора b и оценки доверительных интервалов. Однако дисперсия ?2 не известна, и ее еще нужно оценить. Отклонения выражает линейная функция случайного члена, где A=1n-X(XTX)-1XT - симметричная идемпотентная матрица с tr(A)=n-k. Поскольку ранг r(A)=n-k, то существует ортогональная матрица (P-1=PT), для которой PTAP=1n-k, а 1n-k - диагональная матрица с n-k единицами и k нулями. Матрица P используется для преобразования вектора ?=P? в вектор ?:. Скалярный квадрат отклонений. Поскольку eTe?0, то A неотрицательно определенная. Если ?i нормальны, и выполняются условия M[?i]=0, M[?i2]=?2, то так же распределены ?i2. Поэтому M[?TA?]=?2tr(A), а из следует, что несмещенная оценка дисперсии отклонений. Величина eTe/?2 имеет ?2-распределение Пирсона с n-k степенями свободы. Так как e=A? и b=?+(XTX)-1XT?, то M[e(?-b)T]=0 - e и b независимы. Для проверки гипотез используется распределение Стьюдента. Оценки, j=0,1,…,m, где ajj - диагональный элемент матрицы (XTX)-1. Доверительный интервал. Случайная величина имеет распределение Стьюдента с n-k степенями свободы. Для проверки гипотезы о ?j нужно подставить гипотетическое значение ?j, и если значение Tj лежит в критической области, то гипотеза отклоняется. 4.3. Многочленные матрицы. Для любой n?n-матрицы A и действительного или комплексного числа ? существует характеристическая матрица F(?)=??1-A, многочлен c(?)=|F(?)| и присоединенная матрица G(?)=(??1-A)+: c(?)=?n+c1?n-1+c2?n-2+…+cn и G(?)=G0?n-1+G1?n-2+…+Gn-1, где G0=1. Коэффициенты c1,…,cn и матрицы G1,…,Gn даются формулой Фаддеева ck=(-1/k)tr(Gk-1A), k=1,2,…,n и Gk=Gk-1A+ckG0, k=1,2,…,n-1. Уравнение c(?)=0 имеет n корней ?1,?2,…,?n (собственные значения матрицы A). Корни многочлена с(?) с коэффициентами из R невсегда принадлежат R. Поэтому используется алгебраически замкнутое поле K. Скалярные многочлены.,, равны, если равны степени l=m и коэффициенты при одинаковых степенях ?. Многочлены можно делить друг на друга. В результате деления получим, где многочлены p(?) и r(?) - частное и остаток при делении c(?) на b(?). Если r(?)=0, то многочлен c(?) делится без остатка на многочлен b(?). Cтепень остатка r(?) меньше l. Любой многочлен c(?) делится на многочлен b(?) (m?l) либо нацело, либо с остатком. Остаток от деления многочлена с(?) на (?-?) равен r=c(?) при ?=? (теорема Безу): Многочлен с(?) делится на ?-? без остатка, если число ? является корнем многочлена с(?). Элементами многочленной ?-матрицы являются скалярные многочлены от переменной ?. Степенью многочленной n?n-матрицы С(?) называют наибольшую степень ее многочленов. Если С(?) имеет степень l, то i,j-элемент имеет вид (i,j=1,2,…,n). Образуя из элементов cij(k) n?n-матрицы Ck (k=0,1,…,l), получают ?-матрицу. При |C0|?0 многочленная матрица C(?) называется регулярной. Многочленные n?n-матрицы C(?) и B(?) степеней l и m можно складывать и умножать. Степень суммы двух матриц C(?)+B(?) не больше max{l,m}, а степень произведения C(?)B(?) не больше l+m. Для регулярной n?n-матрицы B(?) при m<l cуществуют единственные n?n-матрицы P(?), Q(?), R(?) и S(?), для которых и. Матрицы P(?) и R(?) называются левым частным и левым остатком, а Q(?) и S(?) - правым частным и правым остатком многочлена C(?) при делении на B(?). Если левый и правый остаток не равен 0, то степени R(?) и S(?) меньше m. При делении n?n-матрицы C(?) степени l на регулярную n?n-матрицу B(?)=??1-A степени 1 получаем и, где многочленная матрица G(?) имеет степень l-1, а правый и левый остаток являются правым и левым значением C(A) и (A)C матрицы C(?) в A: и. Из определения матриц F(?) и G(?) следует, где матрица c(?)?1 имеет степень n. Матрица c(?)?1 делится без остатка на ??1-A. Замена в многочлене c(?) числа ? на матрицу A дает матричный многочлен c(A): матрица A удовлетворяет характеристическому уравнению c(A)=0: (теорема Кели-Гамильтона). Из замкнутости поля K следует, что многочлен с(?) n?n-матрицы A можно разложить в произведение n линейных сомножителей, где ?k собственные значения матрицы A. След и определитель n?n-матрицы A: и. Все собственные значения ?k простой n?n-матрицы A различаются. Если ?k - комплексное число, то n?n-матрицы F(?k)=?k?1-A и G(?k)=F+(?k) комплексные. Комплексно-сопряженная матрица U* получается из комплексной матрицы U транспонированием и комплексным сопряжением элементов (U*=U?T). Матрицу U унитарная при U*U=1. Унитарная матрица невырожденная, U-1=U*. Матрица H называется эрмитовской при H=H*: все собственные значения этой матрицы являются действительными числами. Собственные значения ?k простой матрицы A можно свести в диагональную n?n-матрицу. Матрицы правых и левых собственных векторов X и Y для простой матрицы A удовлетворяют матричным уравнениям и или. Столбцы x(k) n?n-матрицы X и строки y(k) n?n-матрицы YT отвечают собственному значению ?k. Если элементы строк y(k) выбрать так, чтобы YT=X-1, то и,. Эти соотношения для матриц правых и левых собственных векторов применяются только в случае простых матриц A. Два множества векторов x(1),x(2),…,x(n) и y(1), y(2),…,y(n) биортогональны при y(k)Tx(l)=?kl для k,l=1,2,…,n. Если векторы x(1),x(2),…,x(n) и y(1),y(2),…,y(n) принадлежат пространству Kn и они биортогональны, то векторы x(1),x(2),…,x(n) являются линейно независимыми. Если в линейном пространстве Kn определено внутреннее произведение, а векторы x(1),x(2),…,x(n) и y(1), y(2),…,y(n) биортогональны, то векторы x(1),x(2),…,x(n) линейно независимы. Сопутствующие n?n-матрицы Pk - внешние произведения столбца x(k) матрицы правых собственных векторов X на строку y(k) матрицы левых векторов YT. Они идемпотенты PkPk=Pk, ортогональны PkPl=0 для k?l и образуют полную систему матриц P1+P2+…+Pn=1. Собственные значения идемпотентной матрицы Pk равны 1 и 0, определитель |Pk|=0, ранг r=tr(Pk) равен числу ненулевых собственных значений. Присоединенные матрицы G(?k) и G(?l) ортогональны, но неидемпотентны: G(?k)G(?l)=0 при k?l, G(?k)G(?k)?G(?k). Сопутствующая матрица Pk=G(?k)/tr[G(?k)]=0 получается делением элементов матрицы G(?k) на ее след. Если A?Rn?n и x?Rn, то вектор Ax принадлежит Rn и является элементом из области значений матрицы A. Особенно интересны те векторы x(k), которые при умножении на матрицу A переходят в кратные векторы Ax(k)=?kx(k) с числом ?k?K. Такой ненулевой вектор x(k) называется правым собственным вектором матрицы A, а ?k - ее собственным значением. Уравнение Ax(k)=?kx(k) записывают в виде (?k?1-A)x(k)=0. Это однородное уравнение имеет нетривиальное решение, когда |?k?1-A|=0. Вектор у(k) из уравнения (?k?1-AT)y(k)=0 называют левым собственным вектором матрицы A, так как уравнение можно переписать в виде y(k)T(?k?1-A)=0. Столбцы x(k) матрицы X выбирают из матриц Pk, а YT=X-1. Спектральный радиус матрицы A - ее наибольшее собственное значение ?A. Норма матрицы ||A||=|?A| удовлетворяют неравенствам ||A+B||?||A||+||B||, ||AB||?||A||?||B||, ||cA||?|c|?||A|| и ||Ax||?||A||?||x||. Присоединенные матрицы G(?k) можно получить двумя способами. Можно просто использовать ?-матрицу G(?), подставляя в нее ?=?k для k=1,2,…,n: G(?k)=1?? kn-1+G1? kn-2+…+Gn-1. Можно также рассмотреть разность значений многочлена c(?)-c(?)=c(?,?)(?-?), которая делится без остатка на ?-?, а частное c(?,?) - это многочлен от ? и ? степени n-1: Поскольку c(? k)=0, то при ?=?k имеем. Заменим скаляр ? матрицей ?k?1, а скаляр ? - матрицей A:. Но c(?k?1)=c(?k)?1, а из теоремы Кели-Гамильтона следует c(A)=0. Поэтому. Из определения G(?)(??1-A)=c(?)?1 функций G(?) и F(?)=(??1-A) теперь следует и. Многофакторная регрессия. Показатели экономических явлений зависят от многих факторов. Экономическая активность обусловлена налоговой системой (налоговыми отчислениями, акцизным сбором, пенсионными отчислениями), формами собственности, распределением расходной части государственного бюджета, учетной ставкой и условиями кредитов. На валовой внутренний продукт влияет не один десяток факторов. Рассмотрим многофакторную модель линейной регрессии: где y - зависимая переменная, x1,…,xm - независимые переменные (факторы), b0,b1,…,bm - параметры модели (их значения нужно определить), е - случайная величина. С использованием обозначения евклидового скалярного произведения bTx элементов x и b m-мерного евклидового пространства Rm модель (1) можно переписать в виде. Как для простой регрессии будем считать известными данные п наблюдений. Основные предположения при оценивании параметров b0,b1, …,bm. 1. Математическое ожидание i-ой реализации еi случайной величины е не зависит от вектора факторов хi и равно 0. 2. Случайные величины {еi} гомоскедастичны: 3. Случайная величина распределена е нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией ??2). 4. Автокорреляция величин еi и еj равна 0: 5. Модель правильно специфицирована (правильно отображает связь х и у). 6. Отсутствует мультиколлинеарность факторов {xj}, j=1,...,m: все равенства одновременно выполняются лишь при г1=г2=…=гm=0. Среди основных этапов принято выделять: 1. Выбор всех возможных факторов, влияющих на показатель. 2. Измерение и анализ этих факторов. На этом этапе проводится описание факторов, оценивается возможность их вычисления по первичной информации. Анализируется возможность сбора и достоверность получения информации. 3. Математико-статистический анализ факторов. На этом этапе формирования проводится проверка выполнения основных предположений регрессионного анализа, получение недостающей информации, выбранные факторы проверяются на мультиколлинеарность. Для проверки строится матрица парной корреляции. Если для xi и хj абсолютная величина rxixj близка к 1, то это указывает на тесную связь между ними. В таком случае один из факторов надо изъять. Обычно оставляют фактор с большим коэффициентом корреляции rxiy. 4. После определения совокупности независимых факторов нужно выбрать тип многофакторной модели (можно применять линейные модели, частично линейные, построенные на разных совокупностях факторов). Этот этап нельзя формализовать. 5. Оценка параметров регрессионной модели. 6. Проверка модели на адекватность. 7. Построение интервалов доверия для оценок параметров модели. 8. Интерпретация полученных зависимостей, их применение для прогнозирования. Для иллюстрации этапов 5-8 рассмотрим модель двухфакторной регрессии. Выведем расчетные формулы метода наименьших квадратов для параметров b0,b1,...,bт линейной m-факторной регрессии (1). В соответствии с этим методом определяется функция. Ее безусловный минимум (совокупность значений переменных b0,b1,…,bm) принимается за параметры. Поскольку задача безусловной минимизации принадлежит к классу задач выпуклого квадратичного программирования, а любая стационарная точка целевой функции f является решением задачи, то есть любое решение системы уравнений: где обозначены. Из условия (13) my=bTmx+b0 и потому b0=my-bTmx. Учет этого равенства в (14) приводит к эквивалентной системе, которую можно привести к виду: Поделив обе части каждого равенства (17) на n, получим эквивалентную систему линейных равенств: (xk - среднее арифметическое наблюдаемого фактора xk - k-ая координата вектора х, cov(xk,у) - ковариация k-го фактора и зависимой переменной у). Для k=1,...,т левую часть равенства (18) можно переписать в виде: Поэтому, поскольку система уравнений (15) в матричной форме имеет вид. Итак, если симметричная m?m ковариационная матрица имеет обратную матрицу cov-1(х,x), то решение системы линейных уравнений. При найденном векторе b компонента b0=my-bTmx. Свойства метода наименьших квадратов для многофакторной линейной регрессии. 1. Пара (х,у) удовлетворяет равенству my=bTmx+b0. 2. Среднее значение гипотетических значений {yri} равняется среднему значению фактических данных {yi}. 3. Среднее арифметическое остатков регрессии {ei} равно нулю. 4. Остаток е имеет нулевую ковариацию с каждым фактором xk, k=1,...,т и гипотетическим значением у. Соответствие гипотетических данных {yri} модели регрессии фактическим данным {yi} определяется по коэффициенту множественной корреляции. Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации. Рассмотрим выборочную многофакторную модель, где ei - остаток регрессии. Если все параметры {bk} вычисляются по МНК, то после подстановки в (3) получим. Обозначим. Тогда равенство (6) можно переписать в виде. После приведения обоих частей к квадрату и составления п соответствующих равенств получим: Если обозначить, то из соотношения (7) получим. Поэтому, учитывая (3). Одной из важных особенностей коэффициента детерминации R2 является то, что он - неуменьшающаяся функция от числа факторов, которые входят в модель: если число m факторов растет, то значение R2 также возрастает. Действительно, из равенства (10) имеем причем значение знаменателя в этом выражении не зависит от числа факторов {xk}, а значение числителя не возрастает при увеличении т (в противном случае коэффициенты {bk} в определении {yi} можно было бы положить нулевыми). Поэтому, если сравнивать между собой две регрессионные модели с одинаковой зависимой переменной, но разным числом факторов {xk}, то преимущество нужно отдать той модели, для которой значение R2 больше. Чтобы уменьшить влияние зависимости коэффициента детерминации от количества факторов, используется специальный оцененный коэффициент детерминации, где р - число параметров {bk} модели регрессии (в рассматриваемом случае р=т +1). Можно показать, что значение R2 можно вычислять по формуле. Легко доказать, что оцененный коэффициент детерминации R?2 и коэффициент детерминации R2 связаны между собой зависимостью. Из этого равенства видно, что R?2<R2 при р>1. Кроме того, если число т факторов {xk} растет, то оцененный коэффициент детерминации возрастает медленнее, чем R2 , что объясняет использование оцененного коэффициента детерминации при сравнении разных регрессионных моделей. Следует заметить, что R?2 в отличие от R2 может быть отрицательным. Если R?2 стремится к отрицательному значению, то R2 стремится к нулю. Если R2=1, то и R?2=1. С учетом этой особенности R?2 делают вывод об адекватности принятой модели регрессии. В случае многофакторной регрессии ANOVA-таблица дисперсионного анализу имеет такое содержание. ANOVA-таблица. Из ANOVA-таблицы получают информацию, которая нужна для расчета коэффициентов детерминации R2 и оцененного коэффициента детерминации R?2. Как для линейной регрессии, проверку адекватности многофакторной модели регрессии проводят с использованием F-критерия Фишера. Для этого вычисляется F-статистика с m и n-m-1 степенями свободы: (16). Задав уровень ошибки б (обычно б=0.05 или б=0.01), по F-таблице Фишера с (т, п-т-1) степенями свободы определяется критическое значение Fкр. Если F?F?,m,n-m-1, то модель регрессии адекватна (с вероятностью 1-б) связи y и {xk}. Если F<F?,m,n-m-1, то гипотеза (4) отвергается с вероятностью ошибки б. Для построения интервалов доверия для параметров {?k} (k=0,...,т) по вычисленным значениям {bk} используется распределение Стьюдента. Для каждого параметра регрессии нужно вычислить T-статистику: (20). После выбора уровня ошибки б, по распределени. Стьюдента с п-т-1 степенями свободы находят решение ta уравнения P(|T|?t?)=1-?. Значения ?k с вероятностью 1-? удовлетворяет неравенствам (22). Монте-Карло. Наиболее трудная задача исследования реальной системы состоит в выборе гипотезы о законе распределения случайной величины. Если его выбрать необоснованно, то будет моделироваться придуманная игру, а не объективная реальность. Методы прогноза тенденций - экстраполяция, экспертные оценки и моделирование. В основе метода экстраполяции лежит утверждение, что будущее - продолжение прошлого. Поскольку тенденция развития не обязательно неизменна, данные прогноза рассматриваются как вероятностные оценки. Закономерности бизнеса проявляется статистически, расчетные значения верны в среднем, при повторении в одних и тех же условиях. Задача построения любой имитационной модели - это проблема адекватного описания реального мира. Изучение изменений показателей во времени проводят построением и анализом временных рядов (рядов динамики). Нужно обнаружить закономерность изменения уровней ряда. В одних случаях она проявляется отчетливо, в других - спрятана за случайными отклонениями. Задача прогноза состоит в выявлении тренда - линии регрессии временного ряда. Регресс - движение в прошлое, на основании которого судят о будущем. Аппроксимация - нахождение выражения, которое максимально приближает функцию регрессии. Взаимосвязь показателя и факторов описываются функциями простого вида, линейными и нелинейными. Если функция известна, можно найти числовые значения ее параметров. Для моделирования хозяйственных явлений можно поставить эксперимент, придумав какой-то способ имитации случайных величин. Основу моделирования составляет розыгрыш выборок по методу Монте-Карло. Начало методу положил Джон фон Нейман. Распределение хозяйственных величин представляется либо как определяемое одним из теоретических законов, либо из данных наблюдений, полученных постановкой специальных наблюдений. В этом случае метод Монте-Карло называют имитационным моделированием. Имитационное моделирование - это эксперимент, при котором вместо проведения испытаний хозяйственной операции проводятся опыты на ее математической модели. Термин «реальный» используют в смысле «существующий», а моделью реальной системы называют представление группы объектов в некоторой форме, отличной от их реального воплощения. Полученная информация используется для исследования операций и их оценки. Имитационное моделирование разделяет решения, потенциально ведущие к успеху, и ошибочные решения. Человек постоянно сталкивается с событиями и явлениями с неопределенным исходом. Студент не знает, сколько времени ему придется добираться до института, преподаватель не знает, сколько студентов придет на лекцию, бизнесмен - какой будет завтра курс валюты, банкир - вернут ли взятый у него заем. Всем приходится принимать решения в ситуациях риска и неопределенности. В быту можно принимать эти решения на основе интуиции, здравого смысла и жизненного опыта. Но в бизнесе, при жесткой конкуренции, решения нужно принимать на основе анализа информации. Для моделирования бизнес-ситуаций используются розыгрыши выборок по методу Монте-Карло. В имитационном моделировании применяется модель реальной системы и проводятся численные расчеты для объяснения поведения системы и оценки стратегий ее функционирования, которые обеспечат достижение поставленной цели. Построение имитационной модели - дело сложное и деликатное, так как очень многое зависит от искусства и интуиции исследователя. Если модель описывается небольшим числом линейных дифференциальных или разностных уравнений, то для оценки бизнес-ситуаций можно применить аналитику. Если модель представляет собой систему многих нелинейных дифференциальных уравнений со случайными возмущениями, то аналитические методы бесполезны. Используют модели: (1) выбор решений в условиях определенности, когда известны все последствия принимаемых решений, (2) выбор решений в условиях риска (известны лишь вероятности исходов) и (3) выбор решений в условиях неопределенности, когда вероятности возможных исходов неизвестны. Управление в условиях неопределенности не является строгой задачей, и она необязательно имеет однозначное решение. Теперь она формулируется так: нужно найти элементы управления при ограничениях, которые обеспечат оптимальное значение критерия эффективности. Теперь нет уверенности, что можно получить решение, а если оно будет получено, нет гарантии, что оно будет правильным. Так как решения в условиях неопределенности зависят от природы факторов, то задачи управления делятся на стохастические задачи исследования операций и неопределенные задачи со случайными факторами. Первый этап экономического моделирования предполагает наличие каких-то сведений об изучаемом явлении (оригинале). Модель замещает оригинал, но в ограниченном смысле: для одного и того же явления можно предложить целый ряд моделей, характеризующих его с разной степенью детализации. На втором этапе проводят модельные эксперименты, варьируют условия функционирования модели и систематизируют данные о поведении. На третьем этапе полученные знания переносят на оригинал для формирования множества знаний об изучаемом явлении. Четвертый этап содержит проверку полученных знаний и их применение для разработки экономической теории. Важную роль в проверке моделей играют приемы верификации: доказательство существования решения, проверка гипотез о связи параметров и переменных, сравнение размерностей величин. Оценивая современное состояние проблем адекватности, следует признать, что задачей экономики является создание методики верификации моделей. 3. Межотраслевой баланс. Фундаментальный принцип баланса применяется при изучении всех явлений экономики. В любой системе входные переменные преобразуются в выходные параметры. Экономика народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль проявляется двояко: как производитель некоторого продукта и как потребитель продукции других отраслей. Связь отраслей отображается таблицей межотраслевого баланса. Производственный сектор страны состоит из n отраслей, каждая из которых производит однородный продукт. Производят продукцию отрасли i=1,2,...,n, а потребляют продукцию отрасли j=1,2,...,n. Межотраслевой поток xij - объем продукции i-ой отрасли, потребляемый j-ой отраслью. Конечный выпуск yi - объем продукции i-ой отрасли для непроизводственной сферы. Добавленная стоимость vj - затраты труда и капитала j-ой отрасли. Валовой выпуск xi - объем продукции i-ой отрасли за данный промежуток времени. Валовые затраты xj - затраты j-ой отрасли за данный промежуток времени. Если n?n-матрица X содержит межотраслевые потоки ресурсов и использования, то уравнения валового выпуска и валовых затрат и, где e=(1,1,...,1)T - единичный вектор, y и v - векторы конечного выпуска и добавленной стоимости. В модели Леонтьева выпуск равен затратам: и, где S=P-PT - матрица сальдо. Поскольку eTSe=0, то eTv=eTy: конечный выпуск системы равен добавленной стоимости. Нормализация - это приведение элементов матриц и векторов к сопоставимому виду. Диагональная матрица Dx=diag(x) содержит валовые выпуски отраслей x, матрица прямых затрат A=PDx-1, а уравнение выпуска или, где 1 - единичная матрица. Матрица прямых затрат неотрицательна A?0. Главный вопрос межотраслевого анализа - как изменятся выпуски отраслей, если изменится y. Отыскать вектор x можно итерациями xk=Axk-1+y: x(0)=y, x(1)=Ay+y, …,. Ряд сходится, если Ak?0 при k??. Для y?0 есть положительное решение. Матрица полных затрат Q=(1-A)-1 - мультипликатор валового выпуска x=Qy. Дифференцируя равенство Q(1-A)=1 по aij, получим, и, где ?ij - символ Кронекера. Изменение валовых выпусков xk (k=1,…,n) с коэффициентами aij и с конечными выпусками yl (l=1,…,n): и. Коэффициенты полных затрат qkl - чувствительности валовых выпусков к конечным выпускам. Если изменяются несколько коэффициентов прямых выпусков, то приращение коэффициента qkl составит. Матрица прямых выпусков B=PTDx-1, а уравнение затрат имеет вид или. Для добавленной стоимости v?0 существует положительное решение. Матрица полных выпусков R=(1-B)-1 - это мультипликатор затрат x=Rv. Изменение валовых затрат xk (k=1,…,n) с коэффициентами bij и с добавленной стоимостью vl (l=1,…,n): и. Коэффициенты полных выпусков rkl - это чувствительности валовых затрат к добавленным стоимостям. Добавленная стоимость в межотраслевом балансе Леонтьева зависит от конечного выпуска y и валового выпуска x:. Поскольку v=(1-B)x и x=Qy, а y=(1-A)x и x=Rv, то добавленная стоимость выражается через конечный выпуск и конечный выпуск - через добавленную стоимость и. Матрицы T=(1-B)Q и S=(1-A)R переводят конечный выпуск y в добавленную стоимость v и добавленную стоимость v в конечный выпуск y. Уравнение v=Ty относится к анализу выпуски ? затраты, уравнение y=Sv - к анализу затраты ? выпуски. При умножении матриц получаем TS=1 и S=T-1. Схемы анализа не просто дуальные (y?v и T?S), но и взаимно обратные (|T|=|S|=1). Нормализация добавленной стоимости и конечного выпуска и, где Dx=diag(x). Уравнение затрат x=PTe+v после умножения слева на Dx-1. Уравнение выпуска x=Pe+y после умножения слева на Dx-1. Удельная добавленная стоимость и удельный конечный выпуск с=е-ATe и d=e-BTe. При c?0 и d?0 матрицы удовлетворяют неравенствам е?ATe и e?BTe. Система продуктивна при x?Ax: существует единственное решение x?0 уравнения (1-A)x=y для y?0. Матрица выпуска A продуктивная, если ее спектральный радиус подчиняется условию 0<?A<1. Система затратная при x?Bx: существует единственное решение x?0 уравнения (1-B)x=v для v?0. Матрица B затратная, если спектральный радиус 0<?B<1. Mатрица выпуска B подобна матрице затрат A: B=PAP-1 (матрица P=XBXA-1, XA и XB - матрицы собственных векторов). Инварианты подобных матриц: следы tr(A)=tr(B), определители |A|=|B| и собственные значения ?iA=?iB (i=1,…,n). Валовой выпуск x в закрытой системе обеспечивает внутренний спрос x=Ax или внутреннее предложение x=Bx. Конечный выпуск y=0 для закрытой системы A, а добавленная стоимость vA подчинена условию eTvA=0. Добавленная стоимость v=0 для закрытой системы B, а конечный выпуск yB подчинен условию eTyB=0. Валовой выпуск xA при y=0 - собственный вектор матрицы Б для собственного значения ?A=1. Валовой выпуск xB при v=0 - это собственный вектор матрицы B для собственного значения ?B=1. Закрытые системы A и B сбалансированы eTxA=eTxB. Закрытая система продуктивная, если x?0 при Ax?x, и равновесная, если x?0 при Ax=x. В открытой системе промежуточный выпуск Ax не больше валового выпуска x. Это условие выполняется, если спектральный радиус матрицы А меньше 1. В этом случае можно поставить две задачи оптимизации cTx?min, (1-A)x?y, x?0 и yTp?max, (1-AT)p?c, p?0. Компоненты вектора p называют скрытыми ценами конечных выпусков y. Если c?0 и x?0, то оптимальные решения x=(1-A)-1y и p=(1-AT)-1c. Рыночный спрос на продукты удовлетворяется при минимальных затратах. Равновесные цены описывает выражение. Соответствие моделей: выпуски x ? цены p, мультипликатор затрат Q ? мультипликатор цен QT, конечный спрос y ? добавленная стоимость v. Модель выпуска и модель цен являются двойственными (дуальными). В открытой системе промежуточные затраты Bx не больше валовых затрат x. Можно поставить две задачи оптимизации dTx?min, (1-B)x?v, x?0 и vTq?max, (1-BT)q?d, q?0. Компоненты вектора q - скрытые цены добавленных стоимостей v. Если d?0 и x?0, то оптимальные решения x=(1-B)-1v и q=(1-BT)-1d. Равновесные цены. Соответствие моделей: затраты x ? цены q, мультипликатор затрат R мультипликатор цен RT, добавленная стоимость v ? конечный спрос y. Модель затрат и модель цен являются двойственными (дуальными). Число продуктов m может быть не равно числу отраслей n. Валовые выпуски x=Xe+y включают m?n-матрицу денежных потоков X от продуктов к отраслям, n?1-вектор en и m?1-вектор y. Материальные затраты описывает n?1-вектор w=XTe с m?1-вектором em. Добавленная стоимость ven=xem-wen распределена пропорционально материальным затратам, j=1,2,...,n. Уравнения валовых выпусков и валовых затрат и. Чтобы перейти к чистым продуктам и отраслям, нужно найти матрицы G и H из выражений x=Gz и z=Hx. Для отыскания m?n-матрицы G и n?m-матрицы H применим теорию графов. Вершины двухдольного графа отображают m продуктов, n отраслей, конечный выпуск y и добавленную стоимость v, а дуги потоков направлены из вершин продуктов и добавленной стоимости в отрасли и конечный выпуск. По матрице инцидентности Abc определяем вектор Ib=-AbcIc; положительные компоненты - валовые выпуски xi и добавленная стоимость v, отрицательные - валовые затраты zj и конечный выпуск y. Запасы ветвей Vb=|Ib|, запасы хорд Vc=AbcTVb. Вектор адмиттансов Gc с компонентами Gck=Ick/Vck (k=1,…,c), вектор импедансов Rb с компонентами Rbl=Vbl/Ibl (l=1,…,b). Вектор потоков ветвей графа Ib удовлетворяет уравнению,, где 1bb - единичная матрица, Gcc=diag(Gc) и Rbb=diag(Rb). Системная матрица Tbb содержит блоки, где m и n - продукты и отрасли, а p - выпуск и добавленная стоимость. Выделяя аналогичные блоки в векторе потоков ветвей Ib=[xm,-zn,Ip], получаем матрицы перехода,. При умножении матрицы Gmn на уравнение валовых затрат z=XTe+v получаем уравнение чистых продуктов x=GXTe+y? с выпуском y?=Gv. При умножении матрицы Hnm на уравнение валовых выпусков x=Xe+y получаем уравнение чистых отраслей z=HXe+v? с выпуском v?=Hy. С помощью нормирующих матриц Dx=diag(x) и Dz=diag(z) получаем матрицы прямых затрат Ax=GXTDx-1 и Az=HXDz-1 уравнений Леонтьева x=Axx+y? и z=Azz+v? для чистых продуктов и чистых отраслей.